Kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu „Algebra liniowa”
WETI, kierunki AiR i IBM, 1 sem., r. ak. 2011/2012
1. [7p.] a) Wiadomo, że
A · B
−1
=
1 2 −1
2 3
0
3 5
7
.
Znaleźć taką macierz X, aby spełniała ona równanie B
−1
· X · A = I.
[2p.] b) Dana jest macierz A wymiaru 2 × 3 i macierz nieosobliwa B stopnia 3.
Które z iloczynów: ABA, B
−1
A
T
A, B
2
A, AA
T
B
−1
istnieją? Odpowiedź uzasadnić.
2. [7p.] Rozwiązać nierówność
1
1
1
1 1
1
2
1
x 2
3
3 x −1 0
x x x
x
2
0
1
1
1
2 1
< 0
3. [7p.] a) W zależności od parametru λ podać liczbę rozwiązań układu równań
λx + y + z = 1
x + y − z = λ
x − y + λz = 1
[2p.] b) Wyznaczyć rozwiązanie jednorodnego układu Cramera n równań z n niewiadomymi,
gdzie n jest dowolnie ustaloną liczbą naturalną. Odpowiedź uzasadnić.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. [7p.] a) Dane są proste l
1
i l
2
o równaniach
l
1
:
x = −1 + 2t
1
y = 2 + t
1
z = −1 − 2t
1
, t
1
∈ R,
l
2
:
x = −3t
2
y = 5 + t
2
z = −4 + t
2
, t
2
∈ R
Znaleźć punkt przecięcia tych prostych i równanie płaszczyzny zawierającej obie proste.
[2p.] b) Sprawdzić, czy punkty A(1, 3, 0), B(2, 4, 5) i C(3, 5, 9) należą do jednej prostej.
5. [4p.] a) Niech z = (
√
3 + i)
9
(1 − i)
5
. Obliczyć |z| oraz Argz.
[3p.] b) Korzystając ze wzoru całkowego Cauchy’ego lub jego uogólnienia obliczyć całkę
I
C
sin
π
2
z
z
2
− 1
dz,
gdzie C jest okręgiem |z − 1| = 1 zorientowanym dodatnio.
6. [7p.] a) Znaleźć oryginał, gdy dana jest transformata Laplace’a F (s) =
3s
2
+ 9s + 14
s
3
+ 4s
2
+ 7s
.
[2p.] b) Wyprowadzić wzór na transformatę Laplace’a funkcji jednostkowej.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [5p.] Znaleźć wartości własne i wektor własny odpowiadający największej z
wyznaczonych wartości własnych macierzy
A =
2 −1 −6
0
1
0
0
0
−1
.