Poprawkowe kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu „Analiza matematyczna II”

WETI, kierunki AiR i IBM, 2 sem., r. ak. 2011/2012

1. [7p.] a) Obliczyć całkę

Z Z

V

Z

dxdydz

x

2

+ y

2

+ z

2

,

gdzie bryła V opisana jest nierównościami: 4 ¬ x

2

+ y

2

+ z

2

¬ 16 oraz x ¬ 0, y ¬ 0 i z ­ 0.

Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych sferycznych.

2. [7p.] a) Sprawdzić, czy całka

Z

K

x

y

y

x

dx + ln xdy

nie zależy od drogi całkowania i obliczyć jej wartość, gdy K jest dowolnym łukiem gładkim od
punktu A(1, 1) do B(2, 1).

[2p.] b) Wyznaczyć dywergencję i rotację pola wektorowego ~

W =

x sin z

2

,

yz

x

, y ln 2z

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [7p.] a) Wyznaczyć całkę szczególną równania y

0

+ tgx y = cos

2

x sin x spełniającą warunek

początkowy y(π/4) =

√

2/2.

[2p.] b) Sprawdzić, czy równanie

 

sin 2x

y

+ x

!

dx+

 

y −

sin

2

x

2y

2

!

dy = 0 jest równaniem różnicz-

kowym zupełnym.

4. [7p.] Wyznaczyć całkę ogólną równania y

000

+ 2y

00

− y

0

− 2y = 2e

x

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [7p.] Zbadać zbieżność szeregów liczbowych i w punkcie b) określić jej rodzaj

a)

∞

X

n=1

(n + 2)!(n − 1)!

(2n)!

π

n

b)

∞

X

n=1

(−1)

n

n

n

2

+ 4

[2p.] c) Pokazać rozbieżność szeregu

∞

X

n=1

n − 1

n + 1

2n

.

6. [7p.] Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego

∞

X

n=1

(x + 2)

n

√

n · 4

n

i zbadać jego zbieżność na końcach przedziału.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [5p.] Funkcja f (x) = x(π − x) dla x ∈ (0, π) posiada rozwinięcie w szereg

trygonometryczny Fouriera postaci

f (x) =

∞

X

n=1

4

πn

3

[1 − (−1)

n

] sin nx.

W oparciu o to rozwinięcie wyznaczyć sumę szeregu

∞

X

n=1

(−1)

n−1

(2n − 1)

3

.