q v R

r

E

2

2

2

2

∂ ϕ 1 ∂ϕ

1 ∂ ϕ

∂ ϕ

∇ ϕ =

+

+

+

2

2

2

2

r

∂

r

r

∂

r ∂α

z

∂

d2

2

ϕ 1 dϕ 1 d ⎛ dϕ ⎞

∇ ϕ =

+

=

⎜ r

⎟

d 2

r

r d r

r d r ⎝ d r ⎠

⎧ 1 d ⎛ d 1

ϕ ⎞

q

⎪

⎜ r

⎟ = − v

0 < r ≤ R

r r

d ⎝

r

d ⎠

εε

⎪⎪

0

⎨⎪

⎪ 1 d ⎛ dϕ2 ⎞

⎜ r

⎟ = 0

r > R

⎪⎩ r r

d ⎝

r

d ⎠

⎧

q

⎪ ϕ = − v 2

r + A ln r +

1

1

1

B

⎨

εε0

⎪

⎩ ϕ = A ln r +

2

2

2

B

Warunki brzegowe:

1.

r = 0 ⇒ ln r → −∞

A = 0 i ϕ ( ) 0 = 0 ⇒ B = 0

1

1

1

⎧

v

2

A ln R +

= − q

B

R

⎪⎪

2

2

4εε0

r = R ⇒ ⎨

2.

⎪ A 2 = − q v

⎪

R

⎩ R

2εε0

⎧ 1ϕ(

v

2

r )

q

⎪

= −

r

0 < r ≤ R

4εε

⎪⎪

0

⎨⎪

⎪ ϕ2(

v

2

v

2

r ) = q

R

R ln

− q R

r > R

⎪⎩

2εε

r

0

4εε0

⎧

dϕ

q

⎪ E 1( r) = −

1 = v r

0 < r ≤ R

r

d

2εε

⎪⎪

0

⎨⎪

2

⎪

dϕ

E 2( r) = −

2 = q R

v

r >

⎪

R

⎩

r

d

2εε

r

0

E ( r) r

0

R

( r)

Rozkłady natężenia pola i potencjału dla walca naładowanego ze stałą gęstością objętościową q v