Def.
Niech : , → , ∈ , , + ℎ ∈ , , wtedy granica (jeśli istnieje):
lim
+ ℎ −
→
ℎ
=
Tw.
Równanie − = − jest równaniem stycznej do funkcji = w punkcie ,
Def.
Jeżeli funkcja w posiada pochodną to o takiej funkcji będziemy mówili, że jest w tym punkcie różniczkowalna.
Tw.
Każda funkcja różniczkowalna w jest w tym punkcie ciągła. Jest to tzw. warunek konieczny ale niewystarczający bo są funkcje ciągłe, które nie są różniczkowalne.
PODSTAWOWE WZORY!!!
Lp. Funkcje
Pochodne
1.
= , ∈
=
a)
= √
= "√
1
b)
=
= − "
2.
= $
= % &' %
a)
= ($
= )
3.
= *+,
= -./
4.
= 01*
= −/23
5.
= 45
= -./"
6.
= 045
= − /23"
7.
= 60*+,
=
√ − "
8.
= 6001*
= −
√ − "
9.
= 6045
= + "
−
10.
= 60045
= + "
11.
= 7158
= &'%
a)
= ln
=
= 01,*4 = 0
= :
=
=
Tw. Własności funkcji pochodnych Niech , 5 są różniczkowalne na , , wtedy: 1. + 5 = + 5
2. ; = ;
3. − 5 = − 5
4. 5 = 5 + 5
5. <=$? = =@$>$=$>@$
>$
A>$BC
Tw. (O pochodnej funkcji złożonej) Niech , 5 będą różniczkowalne. Wtedy funkcja ℎ = 5 jest też różniczkowalna oraz zachodzi wzór: ℎ = 5 ∗
Def.
N-ta pochodna
= <F ? , , = 2 …
Def.
Niech w ∈ , będzie różniczkowalna, + ℎ ∈ , , wtedy wielkość ∗ ℎ nazywamy
różniczką funkcji w punkcie i oznaczamy ją I , ℎ
+ ℎ ≈ I + ℎ +