41
POCHODNA FUNKCJI
Informacje i zestawy
ć
wicze
ń
Niech b
ę
dzie dana funkcja f: A
∋
x
→
y = f(x)
∈
R, A
⊂
R. Niech
oznacza przyrost (dodatni lub ujemny ) liczony od punktu x, tak aby
Przyrostowi h zmiennej x odpowiada przyrost warto
ś
ci funkcji
Ilorazem ró
Ŝ
nicowym
warto
ś
ci funkcji f(x) dla przyrostu h =
∆
x
(argumentu) zmiennej x nazywamy wyra
Ŝ
enie
Ć
wiczenie 1.
Wyznaczy
ć
ilorazy ró
Ŝ
nicowe
h
x
f
)
(
∆
dla funkcji:
1) f(x) = ax;
2) f(x) = ax
2
;
3) f(x) = ax
2
+ bx + c;
4)
x
a
x
f
=
)
(
;
5) f(x) = x;
6)
3
)
(
−
=
x
x
x
f
.
Ć
wiczenie 2.
Przyjmuj
ą
c dane z
Ć
wiczenia 1 wyznacz ilorazy ró
Ŝ
nicowe
h
x
f
)
(
∆
w
punkcie x
o
, gdy
1) x
o
= -3;
2) x
o
= -1;
3) x
o
= 0,5 i h = 0,0001;
4) x
o
= 4 i h = 0,002;
5) x
o
= -2 i h = 0,009.
x
h
∆
=
A
x
x
h
x
∈
∆
+
=
+
).
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
f
x
x
f
x
f
h
x
f
x
f
−
∆
+
=
−
+
=
∆
h
x
f
h
x
f
h
x
f
x
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
−
+
=
∆
=
∆
∆
42
Ć
wiczenie 3.
Wyznaczy
ć
pochodne funkcji z
Ć
wiczenia 1.
Ć
wiczenie 4.
Uwzgl
ę
dniaj
ą
c dane z
Ć
wiczenia 1 (i ewentualnie z
Ć
wiczenia 3)
wyznaczy
ć
1) f'(-5);
2) f'(0);
3) f'(1, 2); 4) f'(4) (o ile istniej
ą
).
Pochodne funkcji elementarnych
1) y = ax,
y' = a;
2) y = c (c - stała),
y' = 0;
3) y = ax
2
,
y' = 2ax;
4) y = x
n
(n
∈
N),
y' = n
•
x
n-1
;
5) y = ,
y' = ;
6) y = x
α
dla x > 0 i
α
∈
R,
y' =
α
•
x
α
- 1
;
7) y = sin x,
y
'
= cos x;
8) y = cos x;
y' = -sin x;
JeŜeli istnieje granica skończona
R
x
g
h
x
f
h
x
f
h
∈
=
−
+
→
)
(
)
(
)
(
lim
0
, to granicę g(x)
nazywamy
pochodną funkcji
f
w punkcie
x i oznaczamy f
'
(x) lub
.
)
(
dx
x
df
x
1
2
1
x
−
43
9) y = ln x dla x > 0,
y'
= ;
10) y = log
a
x dla x > 0 i a
∈
(0, 1)
∪
(1, +
∞
), y' = ;
11) y = e
x
,
y' = e
x
;
12) y = a
x
dla a > 0,
y' = a
x
ln a;
13) y = arcsin x dla -1 < x < 1,
y' =
14) y= arccos x dla -1 < x < 1,
y' = .
Ć
wiczenie 5.
Dane s
ą
funkcje x
→
f(x) i x
→
g(x). Zakładaj
ą
c,
Ŝ
e istniej
ą
funkcje
x
→
f'(x) i x
→
g'(x) wyznaczy
ć
(f(x) + g(x))', (f(x) - g(x))', (f(x)
•
g(x))',
(f(x) : g(x))'.
Uwaga:
Poda
ć
odpowiednie warunki dla dziedziny funkcji danych oraz
ich pochodnych.
Ć
wiczenie 6.
Dane s
ą
funkcje x
→
y
→
f(x) = 2x - 1, x
→
y
→
g(x) = -3x + 2
(naszkicowa
ć
wykresy). Wyznaczy
ć
pochodne tych funkcji i naszkicowa
ć
ich wykresy.
x
1
a
x ln
1
•
;
1
1
2
x
−
2
1
1
x
−
−
44
Ć
wiczenie 7.
Dane s
ą
funkcje:
1) x
→
y = x
2
- 3x;
2) x
→
y = -x
2
+ 3;
3) x
→
y = x
2
+ x +7;
4) x
→
y
→
= -2x
2
+ 3x - 1.
Naszkicowa
ć
wykresy funkcji danych oraz ich pochodnych.
Ć
wiczenie 8.
Wyznaczy
ć
pochodne funkcji:
1) x
→
y
→
tg x = ;
2) x
→
y
→
ctg x = ;
3) x
→
y
→
cosec x = ; 4) x
→
y
→
sec x = .
Pochodne funkcji zło
Ŝ
onej
Twierdzenie.
Niech b
ę
d
ą
dane funkcje x
→
y
→
f(x) i y
→
z
→
g( y) takie,
Ŝ
e istnieje
funkcja
x
→
z = (g f)(x) = g(f(x)).
Je
ś
li istniej
ą
pochodne x
→
f
'
(x) i y
→
g
'
(y) dla y = f(x), to dla funkcji
zło
Ŝ
onej
x
→
z = g(f(x)) istnieje pochodna x
→
z' = g'(f(x))
•
f'(x).
x
x
cos
sin
x
x
sin
cos
x
sin
1
x
cos
1
o
45
Ć
wiczenie 9.
Wyznaczy
ć
pochodne funkcji:
1) x
→
y = (x
2
+1)
5
,
2) x
→
y = 1 + x
2
,
3) x
→
y = A
•
sin(
ω
t +
ℵ
),
4) x
→
y = A
•
e
ax
.
Ć
wiczenie 10.
Wyznaczy
ć
pochodne funkcji:
1) x
→
y = f(x) = A
•
e
-ax
, 2) x
→
y = f(x) = dla -
∞
< x < +
∞
.
Pochodna funkcji odwrotnej
Niech b
ę
d
ą
dane: funkcja x
→
y = f(x) oraz funkcja do niej odwrotna
y
→
x = f
-1
(y).
Twierdzenie
Je
Ŝ
eli istnieje pochodna x
→
f'(x) oraz f'(x)
≠
0, to istnieje pochodna
funkcji odwrotnej y
→
(f
-1
(y))' w punkcie y = f(x), przy czym
(f
-1
(y))' = 1 : f'(y) =
)
(
'
1
x
f
.
Ć
wiczenie 11.
Wyznaczy
ć
funkcje odwrotne do funkcji:
1) x
→
y = f(x) = ax + b, a
≠
0;
2) x
→
y = g(x) = x
3) x
→
y = a
x
dla a
∈
(0, 1)
∪
(1, +
∞
),
a nast
ę
pnie wyznaczy
ć
pochodne funkcji odwrotnych.
2
2
2
)
(
2
1
δ
δ
m
x
e
−
−
∏
46
Pochodna logarytmiczna
Niech b
ę
dzie dana funkcja f: A
∋
x
→
y = f(x)
∈
R, A
⊂
R, f(x)
≠
0.
Wyznaczy
ć
pochodn
ą
funkcji x
→
y = ln f(x). Funkcja x
→
y = ln f(x) jest
funkcja zło
Ŝ
on
ą
, a wi
ę
c y' = (ln f(x))' =
)
(
)
(
'
)
(
'
)
(
1
x
f
x
f
x
f
x
f
=
•
, zatem (ln f(x))' =
)
(
)
(
'
x
f
x
f
. Wyra
Ŝ
enie
)
(
)
(
'
x
f
x
f
nazywamy
pochodn
ą
logarytmiczn
ą
funkcji f(x).
Ć
wiczenie 12.
Dane s
ą
funkcje;
1) x
→
y = ln (x
2
- 3);
2) x
→
y = A
•
e
ax
.
Wyznaczy
ć
dziedziny tych funkcji oraz ich pochodne.
Pochodne wy
Ŝ
szych rz
ę
dów
Ć
wiczenie 13.
Dla funkcji x
→
y = f(x) wyznaczy
ć
pochodne:
1) f(x) = ax + b,
f'(x), f''(x);
2) f(x) = ax
2
+ bx + c, f'(x), f''(x), f'''(x);
3) f(x) =
x
1
,
f'(x), f''(x), f
(n)
(x);
4) f(x) = sin x ,
f'(x), f''(x), f'''(x), f
(4)
(x);
5) f'(x) = e
x
,
f'(x), f''(x), f
(n)
(x).