Szeregi liczbowe

mgr Zofia Makara

9 lipca 2004

1

Szeregi liczbowe - wprowadzenie

Definicja 1 Szereg liczbowy (nieskończony szereg liczbowy) jest sumą ele-
mentów ciągu liczbowego:

∞

X

n=1

a

n

= a

1

+ a

2

+ . . . + a

n

+ . . . ,

gdzie a

1

, a

2

, . . . , a

n

są wyrazami szeregu.

Jeśli elementy ciągu a

i

∈ R, dla 1 ¬ i ¬ n są liczbami rzeczywistymi, to

szereg nazywa się szeregiem liczbowym rzeczywistym.
Sumą częściową nazywa się sumę:

S

n

=

n

X

i=1

a

i

= a

1

+ a

2

+ . . . + a

n

,

Więc {S

n

} jest ciągiem sum częściowych szeregu

P

∞
n=1

a

n

, takim, że:

S

1

= a

1

;

S

2

= a

1

+ a

2

;

S

3

= a

1

+ a

2

+ a

3

;

. . .

S

n

= a

1

+ a

2

+ . . . + a

n

;

. . .

Definicja 2 Szereg liczbowy

P

∞
n=1

a

n

nazywa się zbieżnym (zbieżnym do

S ∈ R) jeśli ciąg sum częściowych jest zbieżny:

∞

X

n=1

a

n

= lim

n→∞

S

n

= lim

n→∞

n

X

i=1

a

i

= S

1

Definicja 3 Szereg liczbowy nazywa się rozbieżnym jeśli nie jest szeregiem
zbieżnym.

Twierdzenie 1 Warunkiem koniecznym zbieżności każdego szeregu

∞

X

n=1

a

n

jest:

lim

n→∞

a

n

= 0

Co łątwo wykazać, bo:
a

n

= S

n

− S

n−1

Więc:
lim

n→∞

a

n

= lim

n→∞

(S

n

− S

n−1

) = lim

n→∞

S

n

− lim

n→∞

S

n−1

= 0 − 0 = 0.

Twierdzenie 2 Jeśłi dany jest szereg

P

∞
n=1

a

n

i stała c, to jeśli szereg

P

∞
n=1

a

n

jest zbieżny, to również

P

∞
n=1

c · a

n

jest zbieżny.

Co łatwo wykazać, bo jeśli:

P

∞
n=1

a

n

= S

to:

P

∞
n=1

c · a

n

= c

P

∞
n=1

a

n

= cS

Twierdzenie 3 Jeśli dany jest szereg

P

∞
n=1

a

n

i stała c 6= 0, to jeśli szereg

P

∞
n=1

a

n

jest rozbieżny, to również

P

∞
n=1

c · a

n

jest rozbieżny.

Twierdzenie 4 Jeśli dane są szeregi

P

∞
n=1

a

n

i

P

∞
n=1

b

n

, to jeśli są zbieżne

to szereg

P

∞
n=1

(a

n

+ b

n

) też jest zbieżny.

Co łatwo wykazać, bo jeśli:

P

∞
n=1

a

n

= S

P

∞
n=1

b

n

= T

to:

P

∞
n=1

(a

n

+ b

n

) =

P

∞
n=1

a

n

+

P

∞
n=1

b

n

= S + T

Twierdzenie 5 Jeśli dane są szeregi

P

∞
n=1

a

n

i

P

∞
n=1

b

n

, to jeśli są zbieżne

to szereg

P

∞
n=1

(a

n

− b

n

) też jest zbieżny.

Co łatwo wykazać, bo jeśli:

P

∞
n=1

a

n

= S

P

∞
n=1

b

n

= T

to:

P

∞
n=1

(a

n

− b

n

) =

P

∞
n=1

a

n

−

P

∞
n=1

b

n

= S − T

2

2

Wybrane rodzaje szeregów

Podczas badania zbieżności szeregów rozróżnia się ”dwie kategorie” szere-
gów:

1. o wyrazach nieujemnych, czyli:

∀

0¬i¬n

a

i

­ 0;

2. szeregi przemienne, czyli takie, których wyrazy na przemian są ujemne

i dodatnie:

∀

0¬i¬(n−1)

a

i

· a

i+1

< 0;

Są oczywiście szeregi, które nie należą do żadnej z tych grup.

2.1

Szereg arytmetyczny

∞

X

n=1

a

1

+ (n − 1) · r

jest zawsze rozbieżny. Nietrudno zauważyć, że jeśli:

• a ­ 0 i r ­ 0, to szereg rozbieżny do +∞;

• a ¬ 0 i r ¬ 0, to szereg rozbieżny do −∞;

• a ­ 0 i r ¬ 0, wówczas skończona ilość wyrazów jest dodatnia i szereg

rozbieżny do −∞;

• a ¬ 0 i r ­ 0, wówczas skończona ilość wyrazów jest ujemna i szereg

rozbieżny do +∞;

2.2

Szereg geometryczny

∞

X

n=1

a

1

· q

n−1

jest rozbieżny dla |q| > 1, bo nie spełnia warunku koniecznego. Jeśli zaś
|q| < 1, wówczas szereg jest zbieżny do S =

a

1−q

.

Można to wykazać:

S

n

= a + aq + aq

2

+ . . . + aq

n−1

qS

n

= aq + aq

2

+ . . . + aq

n−1

+ aq

n

S

n

− qS

n

= a − aq

n

3

Stąd

S

n

(1 − q) = a(1 − q

n

)

Co daje:

S

n

=

a(1 − q

n

)

1 − q

Czyli:

S = lim

n→∞

S

n

= lim

n→∞

a(1 − q

n

)

1 − q

=

a

1 − q

.

2.3

Szereg harmoniczny

∞

X

n=1

1

n

jest rozbieżny do +∞, co można udowodnić wprowadzając pojęcie reszty R

n

szeregu:

∞

X

n=1

a

n

=

n

X

i=1

a

i

+

∞

X

i=n+1

a

i

= S

n

+ R

n

Stąd:

R = lim

n→∞

R

n

= lim

n→∞

(S − S

n

) = 0.

Obliczając resztę szeregu harmonicznego, która nie dąży do 0 (R >

1
2

),

stwierdza się, że szereg jest rozbieżny do +∞.

2.4

Szereg harmoniczny rzędu α

∞

X

n=1

1

n

α

jest szeregiem zbieżnym dla α > 1, zaś rozbieżnym dla α = 1, co wynika z
poprzedniego podpunktu i rozbieżnym dla α < 1, bo nie spełnia warunku
koniecznego.

3

Kryteria zbieżności szeregów

3.1

Kryterium d’Alemberta zbieżności szeregów

Jeśli iloraz

a

n+1

a

n

elementów danego szeregu

P

∞
n=1

a

n

, od pewnego miejsca i,

gdzie i ­ 1 jest zawsze:

• mniejszy od pewnej stałej p < 1 to szereg jest zbieżny;

• większy lub równy pewnej stałej p ­ 1 to szereg jest rozbieżny;

4

Wnioski:

• lim

n→∞

a

n+1

a

n

< 1, szereg zbieżny;

• lim

n→∞

a

n+

a

n

> 1, szereg rozbieżny;

• lim

n→∞

a

n+

a

n

= 1, zbieżność/rozbieżność szeregu nie jest znana (należy

zastosować inne kryterium badania zbieżności);

Przykład 1 Zbadać zbieżność szeregu:

∞

X

n=1

n

10

10

n

.

Rozwiązanie:

lim

n→∞

(n+1)

10

10

n+1

n

1

0

10

n

= lim

n→∞

(n + 1)

10

10

n+1

·

10

n

n

10

= lim

n→∞

1

10

· (

n + 1

n

)

10

=

1

10

.

Szereg zbieżny.

3.2

Kryterium Cauchy’ego zbieżności szeregów

Jeśli n-ty pierwiastek z a

n

n

√

a

n

elementu danego szeregu

P

∞
n=1

a

n

, (dla pra-

wie wszystkich wyrazów ciągu, za wyjątkiem co najwyżej skończonej ilości)
jest zawsze:

• mniejszy od pewnej stałej p < 1 to szereg jest zbieżny;

• większy lub równy pewnej stałej p ­ 1 to szereg jest rozbieżny;

Wnioski:

• lim

n→∞

n

√

a

n

< 1, szereg zbieżny;

• lim

n→∞

n

√

a

n

> 1, szereg rozbieżny;

• lim

n→∞

n

√

a

n

= 1, zbieżność/rozbieżność szeregu nie jest znana (należy

zastosować inne kryterium badania zbieżności);

Uwaga 1 Kryterium Cauchy’ego jest silniejsze niż kryterium d’Amberta.

Przykład 2 Zbadać zbieżność szeregu:

∞

X

n=1

log n

2

n

.

Rozwiązanie:

lim

n→∞

n

s

log n

2

n

=

1

2

lim

n→∞

n

p

log n =

1

2

.

Szereg zbieżny.

5

3.3

Kryterium całkowe

Jeśli jest dana nierosnąca i nieujemna funkcja f na przedziale [i, ∞), to
szereg:

∞

X

n=i

f (n)

i całka

Z

∞

i

f (x)

są jednocześnie zbieżne lub rozbieżne.

Przykład 3 Zbadać zbieżność szeregu:

∞

X

i=1

n

e

n

2

Rozwiązanie:
Jest więc dana funkcja f (x) =

x

e

x2

. Funkcja f , przyjmuje wartości dodatnie

jest funkcją malejącą, zatem wyznacza się całkę:

Z

∞

1

x

e

x

2

Nim zostanie policzona dana całka niewłaściwa, wyznaczona zostanie całka
nieoznaczona (metoda: przez podstawianie):

t = −x

2

,

dt = −2xdx

Zatem:

1

2

Z

1

e

−t

=

1

2

Z

e

t

= e

t

+ C,

C ∈ R.

Stąd:

Z

x

e

x

2

= e

−x

2

+ C

C ∈ R.

Całka niewłaściwa:

Z

∞

1

x

e

x

2

= lim

a→∞

Z

a

1

x

e

x

2

= lim

a→∞

(e

−a

2

− e

−1

) = −

1

e

.

3.4

Kryterium ilorazowe

Jeśli są dane dwa szeregi

P

∞
n=1

a

n

oraz

P

∞
n=1

b

n

zachodzi:

lim

n→∞

a

n

b

n

= p,

gdzie p ∈ (0, ∞), to oba szeregi są jednocześnie zbieżne lub jednocześnie
rozbieżne.

6

Przykład 4 Zbadać zbieżność szeregu:

∞

X

n=1

1

n

2

− n

Rozwiązanie:
Niech będzie także dany szereg

P

∞
n=1

1

n

2

.

Granica ilorazu n − tych wyrazów tych szeregów wynosi:

lim

n→∞

1

n

2

−n

1

n

2

= lim

n→∞

1

n

2

− n

· n

2

= 1,

a więc skoro

P

∞
n=1

1

n

2

jest zbieżny, to również szereg

P

∞
n=1

1

n

2

−n

jest zbieżny.

3.5

Kryterium porównawcze

Jeśli są dane dwa szeregi

P

∞
n=1

a

n

oraz

P

∞
n=1

b

n

i jeśli dla każdych n−tych

wyrazów szeregu, zaczynając od i−tych, i ¬ 1, zachodzi nierówność:

a

n

¬ b

n

to jeśli wiadomo, że:

1. szereg

P

∞
n=1

b

n

jest zbieżny, to szereg

P

∞
n=1

a

n

również jest zbieżny;

2. szereg

P

∞
n=1

a

n

jest rozbieżny, to szereg

P

∞
n=1

b

n

również jest rozbież-

ny;

Przykład 5 Zbadać zbieżność szeregu:

∞

X

n=1

1

log n

.

Rozwiązanie:
Nietrudno zauważyć, że skoro:

∀

n

log n < n,

to:

∀

n

1

log n

>

1

n

.

Wiadomo, że szrereg

P

∞
n=1

1

n

jest rozbieżny, zatem również

P

∞
n=1

1

log n

jest

rozbieżny.

Uwaga 2 TO KRYTERIUM JEST RÓWNIEŻ PRAWDZIWE DLA SZE-
REGÓW O WYRAZACH NIEDODATNICH!

7

4

Zadania

4.1

Wyznaczyć sumy szeregów:

1.

∞

X

n=1

2 · 3

n

;

2.

∞

X

n=1

5

n+3

;

3.

∞

X

n=1

3

n

+ 6

n

9

n

;

4.

∞

X

n=1

4 · 3

n

+ 3 · 6

n

9

n

;

5.

∞

X

n=1

2 + 4 + 8 + . . . + 2

n

4

n

;

6.

∞

X

n=1

ln

n + 1

n

;

7.

∞

X

n=1

ln

2n + 1

2n + 3

;

8.

∞

X

n=1

−2

n(n + 1)

;

9.

∞

X

n=1

2

(n + 1)(n + 2)

;

8

10.

∞

X

n=1

3

(2n + 1)(2n + 3)

;

11.

∞

X

n=1

2

1

n+1

− 2

1

n+2

;

12.

∞

X

n=1

2n+1

√

3 −

2n+3

√

3;

4.2

Zbadać zbieżność szeregów:

1.

∞

X

n=1

(

n + 2

n + 1

)

−n+1

;

2.

∞

X

n=1

2

n + 1

;

3.

∞

X

n=1

2n

n

2

+ 1

;

4.

∞

X

n=1

| sin n

3

|

n

3

;

5.

∞

X

n=1

n!

10

n

;

6.

∞

X

n=1

n

4

4

n

;

9

7.

∞

X

n=3

log n

10

n

;

8.

∞

X

n=3

n + 1

n

3

log n

;

9.

∞

X

n=1

n

10

3

n

4

n

;

10.

∞

X

n=1

n

10

4

n

3

n

;

11.

∞

X

n=1

4

n

n

10

3

n

;

12.

∞

X

n=3

2

n log n

;

13.

∞

X

n=3

4

n log

2

n

;

14.

∞

X

n=3

3

n

· n!

n

n

;

15.

∞

X

n=3

n!

n

n

;

16.

∞

X

n=3

n!

3

n

· n

n

;

10

17.

∞

X

n=1

3

q

√

n + 3

3

√

n

;

18.

∞

X

n=1

2

√

n

q

√

n + 3

3

√

n

;

19.

∞

X

n=1

1

q

n + 3

3

√

n

;

20.

∞

X

n=1

n

q

n +

√

n

;

21.

∞

X

n=1

n!

(2n)!

;

22.

∞

X

n=1

(n!

2

)

(2n)!

;

23.

∞

X

n=1

3

n!

n!

;

24.

∞

X

n=1

n! · (2n)!

(3n)!

;

25.

∞

X

n=5

(

n + 1

2n

2

− 15

)

n

;

11

26.

∞

X

n=2

(

n + 1

2n − 3

)

n

;

27.

∞

X

n=1

n

1

00

100

n

;

28.

∞

X

n=1

n

2

+ n

n

n

+ 3

;

29.

∞

X

n=1

5

n

2

n

+ 3

n

;

30.

∞

X

n=1

3

n

+ 4

n

2

n

+ 5

n

;

31.

∞

X

n=1

4

n

− 3

n

5

n

− 4

n

;

32.

∞

X

n=1

1 −

n

√

2;

33.

∞

X

n=1

n

2

(

1

2

)

n

;

34.

∞

X

n=1

n

2

· 2

n

;

35.

∞

X

n=1

(1 +

1

n

)

−n

2

;

12

36.

∞

X

n=1

(

n + 2

n + 1

)

n

2

;

37.

∞

X

n=1

(

n + 1

n + 2

)

n

2

;

38.

∞

X

n=1

n · ln(

2n + 4

2n + 1

);

39.

∞

X

n=1

sin

1

√

n+n

1

2

√

n+n

;

40.

∞

X

n=1

2n

n

n

2n

+ 3

;

41.

∞

X

n=1

3n

n

n

3n

+ 3

;

42.

∞

X

n=1

n

n

n

n

2

+ 3

;

43.

∞

X

n=3

log

−n

n;

44.

∞

X

n=1

(

n+1

n

)

2n

2

7

n

;

13

45.

∞

X

n=1

(

n+1

n

)

2n

2

3

n

;

46.

∞

X

n=1

√

n

2

+ 1 −

√

n

2

− 1

n

;

47.

∞

X

n=1

√

1 + n

2

−

√

1 − n

2

n

;

48.

∞

X

n=1

3

1

n2

n

2

;

49.

∞

X

n=1

3

1

√

n

√

n

;

50.

∞

X

n=1

n sin

3

n

2

;

51.

∞

X

n=1

sin

2

1

n

;

52.

∞

X

n=1

(1 − cos

1

n

2

;

4.3

Zamień ułamki dziesiętne (okresowe) na zwykłe:

1.

0.(3)

14

2.

0.21(2)

3.

0.(2)

4.

0.(12)

5.

0.(9)

15