Tę stronę ostatnio zmodyfikowano 20:30, 11 lis 2008.
Treść udost ępniana na licencji
GNU Free Documentation License
(szczegóły:
Prawa autorskie
).
Wikibooks ® jest zarejestrowanym znakiem towarowym
Wikimedia Foundation
.
Zasady ochrony prywatności
O Wikibooks
Informacje prawne
nawigacja
utwórz książkę
narzędzia
Analiza matematyczna/Szeregi liczbowe
Szeregi
Wstęp
Szereg to wyraz będący sumą kolejnych wyrazów nieskończonego ciągu. W szeregach jednymi z najbardziej istotnych spraw są ich zbieżność i
granice.
Zapis szeregu
Szeregi nie mają swojego własnego oznaczenia zapisuje się je za pomocą sumy nieskończonej i przepisu ogólnego (jak w ciągach) co zapisuje sie
jako
np.
Czasem można spotkać zapis
Jednakże jest on używany wyłącznie gdy rozpisujemy kilka ciągów naraz w celu skrócenia zapisu.
Suma szeregu
Mogło by się wydawać, że skoro dodajemy do siebie nieskończoną ilość liczb (często wszystkie z nich są dodatnie) to ich suma powinna być
również nieskończona. Jednakże matematycy nie takie przekręty potrafią robić. Musimy zauważyć że jeżeli szereg jest zbieżny to dodajemy coraz
mniejsze wyrazy które są już tak blisko zera, że z czasem nasz szereg prawie się niezwiększa możemy też zaobserwować że kolejne sumy są
bardzo blisko pewnej liczby. Liczba ta nazywa się suma szeregu.
np.
jest równa 2 gdyż
Graficzne przedstawienie szeregu
Jak widzimy szereg zapełnia kwadrat jednakże go nigdy nie wypełni do końca zawsze
zostanie pewien bardzo malutenki kawałek.
Zbieżność szeregu
Czasem obliczenie sumy nie jest nam potrzebne (czasem jest to bardzo trudne). Czasem
wystarcza określić czy szereg jest zbieżny (wtedy istnieje suma szeregu) lub szereg jest
rozbieżny wtedy sumy nie ma gdyż dodając kolejne składniki suma rozrasta się coraz
mocnej w sposób nieograniczony. Kryteria zbieżności szeregu
Warunek konieczny zbieżności
Jeżeli szereg ∑a
n
jest zbieżny, to lim
n→∞
a
n
= 0. Jeśli więc wyraz ogólny szeregu nie
zbiega do 0, to szereg ten jest rozbieżny.
Warunek Cauchy'ego zbieżności
Dla szeregów liczbowych zachodzi następujący warunek zbieżności, pochodzący od
:
Szereg liczbowy ∑a
n
jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy:
Jest to równoważne temu, że ciąg sum
częściowych ciągu (a
n
) jest
ciągiem Cauchy'ego
.
Zbieżność bezwzględna
Szereg ∑a
n
nazywamy zbieżnym bezwzgl ędnie, jeżeli zbieżny jest szereg ∑|a
n
|. Jeżeli dany szereg jest zbieżny bezwzględnie, to jest on
zbieżny również w zwykłym sensie.
Powyższe rozróżnienie jest istotne, może się bowiem zdarzyć, że dany szereg jest zbieżny, lecz nie jest zbieżny bezwzględnie – mówimy wtedy,
że szereg jest zbieżny warunkowo. Zadziwiające twierdzenie
Riemanna
mówi, że można tak poprzestawiać wyrazy szeregu warunkowo
zbieżnego liczb rzeczywistych, aby jako sumę nowego szeregu otrzymać dowolną, z góry zadaną liczbę.
Przykład mamy szereg anharmoniczny
Wiemy że szereg ten jest zbieżny a jego suma wynosi ln2
Jednakże możemy poukładać wyrazy tak by najpierw wyszła nam jakaś duża liczba np. 50 a potem odpowiednio składać wyrazy dodatnie i ujemne
(których nam nie zabraknie) i będziemy mieć sume szeregu 50.
Wszystkie poniższe twierdzenia rozstrzygają o zbieżności bezwzględnej szeregu ∑a
n
.
Kryterium
d'Alemberta
Jeżeli granica ciągu |a
n+1
|/|a
n
| istnieje i jest mniejsza od 1, to szereg ∑a
n
jest zbieżny; jeżeli granica ta jest większa od 1, szereg jest rozbieżny. Dla
rozbieżności szeregu wystarczy zreszt ą, by istniała taka liczba N, że nierówność |a
n+1
|/|a
n
|≥1 była spełniona dla wszystkich n większych od N.
Jest to najprostsza wersja tego kryterium. Wersja nieco subtelniejsza: je żeli
granica górna
ciągu |a
n+1
|/|a
n
| jest mniejsza niż 1, to szereg ∑a
n
jest
zbieżny.
Kryterium nie przesądza o zbieżności lub rozbieżności szeregu w przypadku gdy granica ta (lub odpowiednia granica górna) jest równa 1.
szereg ∑a
n
jest zbieżny
szereg ∑a
n
jest rozbieżny
kryterium nie rozstrzyga
Kryterium
Raabego
Jeżeli kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga czy dany szereg jest zbieżny lub rozbieżny, warto skorzystać z kryterium Raabego:
szereg ∑a
n
jest zbieżny
szereg ∑a
n
jest rozbieżny
kryterium nie rozstrzyga
Należy zwrócić uwagę na fakt, że, aby szereg był zbieżny, granica z kryterium Raabego musi być większa od 1 inaczej niż w przypadku kryterium
d'Alemberta i Cauchy'ego.
Kryterium Cauchy'ego
Jeżeli
granica ciągu
istnieje i jest mniejsza od 1, to szereg ∑a
n
jest zbieżny; jeżeli granica ta jest większa od 1, szereg jest rozbieżny.
Jak w przypadku poprzedniego kryterium, jest to wersja uproszczona. Wersja subtelniejsza mówi, że jeśli granica górna ciągu
jest
mniejsza od 1, to szereg jest zbieżny; jeżeli granica górna jest większa od 1, to szereg jest rozbieżny.
Kryterium Cauchy'ego nie przesądza nic o zbieżności szeregu w przypadku, gdy odpowiednia granica (lub granica górna) jest równa 1.
Kryterium Cauchy'ego jest silniejsze niż kryterium d'Alemberta – jeśli szereg spełnia warunek kryterium d'Alemberta, to spełnia warunek
Cauchy'ego, ale nie na odwrót.
Kryterium całkowe
Szereg o wyrazie ogólnym a
n
= f (n) jest zbieżny, jeżeli f (x) jest funkcją monotonicznie malejącą i
całka niewłaściwa
jest zbieżna;
natomiast jeżeli całka ta jest rozbieżna, to szereg o wyrazie ogólnym f (n) jest rozbieżny. Przy tym dolną granicę całkowania a należy tak obrać,
żeby funkcja f (x) w przedziale
była oznaczona i nie miała punktów nieciągłości.
Kryterium porównawcze
Jeżeli wyrazy szeregu ∑a
n
spełniają od pewnego N nierówność |a
n
| ≤ b
n
i szereg ∑b
n
jest zbieżny, to również szereg ∑a
n
jest zbieżny (i to
oczywiście bezwzględnie).
Jeżeli natomiast wyrazy szeregu ∑a
n
spełniają od pewnego N nierówność a
n
≥ b
n
≥ 0 i szereg ∑b
n
jest rozbieżny, to również szereg ∑a
n
jest
rozbieżny.
Stosowanie tego kryterium wymaga pewnego zasobu szeregów, o których wiadomo, że są zbieżne. Często wygodnie jest porównywać dany szereg
z
szeregiem harmonicznym
lub (rzadziej)
geometrycznym
.
Kryterium zagęszczania
Następujące proste kryterium również pochodzi od
Cauchy'ego
. Załóżmy, że szereg ∑a
n
jest taki, że ciąg |a
n
| jest
monotonicznie malejący
, a p jest
liczbą naturalną. Jeżeli zbieżny jest szereg ∑p
n
∙|a
p
n
|, to zbieżny jest szereg ∑a
n
.
Kryterium ilorazowe (nazywane też kryterium porównawczym w postaci granicznej)
Jeżeli mamy szeregi ∑a
n
, ∑b
n
i znamy typ (rozbieżny, zbieżny) jednego z nich, oraz 0 < lim
n→∞
(a
n
/b
n
) < ∞, to drugi z nich jest tego samego typu.
Ponadto:
Jeżeli lim
n→∞
(a
n
/b
n
) = 0 i ∑b
n
jest zbieżny, to ∑a
n
jest zbieżny.
Jeżeli lim
n→∞
(a
n
/b
n
) = ∞ i ∑a
n
jest zbieżny, to ∑b
n
jest zbieżny.
Spis treści
3.1 Graficzne przedstawienie szeregu
4.1 Warunek konieczny zbieżności
4.2 Warunek Cauchy'ego zbieżności
4.3.7 Kryterium ilorazowe (nazywane też kryterium porównawczym w postaci granicznej)
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
edytuj
]
[
edytuj
]
[
edytuj
]
[
edytuj
]
[
edytuj
]
[
edytuj
]
[
edytuj
]
[
edytuj
]
szukaj
Przejdź
Szukaj
Tę stronę ostatnio zmodyfikowano 20:30, 11 lis 2008.
Treść udost ępniana na licencji
GNU Free Documentation License
(szczegóły:
Prawa autorskie
).
Wikibooks ® jest zarejestrowanym znakiem towarowym
Wikimedia Foundation
.
Zasady ochrony prywatności
O Wikibooks
Informacje prawne
nawigacja
Strona główna
Księgozbiór
Portal użytkowników
Ostatnie zmiany
Losuj stron ę
Pomoc
Kontakt
utwórz książkę
Dodaj stron ę
Pomoc kolekcji
narzędzia
Linkujące
Zmiany w
dolinkowanych
Strony specjalne
Wersja do druku
Link do tej wersji
Wersja PDF
Logowanie i rejestracja
Analiza matematyczna/Szeregi liczbowe
Szeregi
Wstęp
Szereg to wyraz będący sumą kolejnych wyrazów nieskończonego ciągu. W szeregach jednymi z najbardziej istotnych spraw są ich zbieżność i
granice.
Zapis szeregu
Szeregi nie mają swojego własnego oznaczenia zapisuje się je za pomocą sumy nieskończonej i przepisu ogólnego (jak w ciągach) co zapisuje sie
jako
np.
Czasem można spotkać zapis
Jednakże jest on używany wyłącznie gdy rozpisujemy kilka ciągów naraz w celu skrócenia zapisu.
Suma szeregu
Mogło by się wydawać, że skoro dodajemy do siebie nieskończoną ilość liczb (często wszystkie z nich są dodatnie) to ich suma powinna być
również nieskończona. Jednakże matematycy nie takie przekręty potrafią robić. Musimy zauważyć że jeżeli szereg jest zbieżny to dodajemy coraz
mniejsze wyrazy które są już tak blisko zera, że z czasem nasz szereg prawie się niezwiększa możemy też zaobserwować że kolejne sumy są
bardzo blisko pewnej liczby. Liczba ta nazywa się suma szeregu.
np.
jest równa 2 gdyż
Graficzne przedstawienie szeregu
Jak widzimy szereg zapełnia kwadrat jednakże go nigdy nie wypełni do końca zawsze
zostanie pewien bardzo malutenki kawałek.
Zbieżność szeregu
Czasem obliczenie sumy nie jest nam potrzebne (czasem jest to bardzo trudne). Czasem
wystarcza określić czy szereg jest zbieżny (wtedy istnieje suma szeregu) lub szereg jest
rozbieżny wtedy sumy nie ma gdyż dodając kolejne składniki suma rozrasta się coraz
mocnej w sposób nieograniczony. Kryteria zbieżności szeregu
Warunek konieczny zbieżności
Jeżeli szereg ∑a
n
jest zbieżny, to lim
n→∞
a
n
= 0. Jeśli więc wyraz ogólny szeregu nie
zbiega do 0, to szereg ten jest rozbieżny.
Warunek Cauchy'ego zbieżności
Dla szeregów liczbowych zachodzi następujący warunek zbieżności, pochodzący od
Cauchy'ego
:
Szereg liczbowy ∑a
n
jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy:
Jest to równoważne temu, że ciąg sum
częściowych ciągu (a
n
) jest
.
Zbieżność bezwzględna
Szereg ∑a
n
nazywamy zbieżnym bezwzgl ędnie, jeżeli zbieżny jest szereg ∑|a
n
|. Jeżeli dany szereg jest zbieżny bezwzględnie, to jest on
zbieżny również w zwykłym sensie.
Powyższe rozróżnienie jest istotne, może się bowiem zdarzyć, że dany szereg jest zbieżny, lecz nie jest zbieżny bezwzględnie – mówimy wtedy,
że szereg jest zbieżny warunkowo. Zadziwiające twierdzenie
mówi, że można tak poprzestawiać wyrazy szeregu warunkowo
zbieżnego liczb rzeczywistych, aby jako sumę nowego szeregu otrzymać dowolną, z góry zadaną liczbę.
Przykład mamy szereg anharmoniczny
Wiemy że szereg ten jest zbieżny a jego suma wynosi ln2
Jednakże możemy poukładać wyrazy tak by najpierw wyszła nam jakaś duża liczba np. 50 a potem odpowiednio składać wyrazy dodatnie i ujemne
(których nam nie zabraknie) i będziemy mieć sume szeregu 50.
Wszystkie poniższe twierdzenia rozstrzygają o zbieżności bezwzględnej szeregu ∑a
n
.
Kryterium
Jeżeli granica ciągu |a
n+1
|/|a
n
| istnieje i jest mniejsza od 1, to szereg ∑a
n
jest zbieżny; jeżeli granica ta jest większa od 1, szereg jest rozbieżny. Dla
rozbieżności szeregu wystarczy zreszt ą, by istniała taka liczba N, że nierówność |a
n+1
|/|a
n
|≥1 była spełniona dla wszystkich n większych od N.
Jest to najprostsza wersja tego kryterium. Wersja nieco subtelniejsza: je żeli
ciągu |a
n+1
|/|a
n
| jest mniejsza niż 1, to szereg ∑a
n
jest
zbieżny.
Kryterium nie przesądza o zbieżności lub rozbieżności szeregu w przypadku gdy granica ta (lub odpowiednia granica górna) jest równa 1.
szereg ∑a
n
jest zbieżny
szereg ∑a
n
jest rozbieżny
kryterium nie rozstrzyga
Kryterium
Jeżeli kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga czy dany szereg jest zbieżny lub rozbieżny, warto skorzystać z kryterium Raabego:
szereg ∑a
n
jest zbieżny
szereg ∑a
n
jest rozbieżny
kryterium nie rozstrzyga
Należy zwrócić uwagę na fakt, że, aby szereg był zbieżny, granica z kryterium Raabego musi być większa od 1 inaczej niż w przypadku kryterium
d'Alemberta i Cauchy'ego.
Kryterium Cauchy'ego
Jeżeli
istnieje i jest mniejsza od 1, to szereg ∑a
n
jest zbieżny; jeżeli granica ta jest większa od 1, szereg jest rozbieżny.
Jak w przypadku poprzedniego kryterium, jest to wersja uproszczona. Wersja subtelniejsza mówi, że jeśli granica górna ciągu
jest
mniejsza od 1, to szereg jest zbieżny; jeżeli granica górna jest większa od 1, to szereg jest rozbieżny.
Kryterium Cauchy'ego nie przesądza nic o zbieżności szeregu w przypadku, gdy odpowiednia granica (lub granica górna) jest równa 1.
Kryterium Cauchy'ego jest silniejsze niż kryterium d'Alemberta – jeśli szereg spełnia warunek kryterium d'Alemberta, to spełnia warunek
Cauchy'ego, ale nie na odwrót.
Kryterium całkowe
Szereg o wyrazie ogólnym a
n
= f (n) jest zbieżny, jeżeli f (x) jest funkcją monotonicznie malejącą i
jest zbieżna;
natomiast jeżeli całka ta jest rozbieżna, to szereg o wyrazie ogólnym f (n) jest rozbieżny. Przy tym dolną granicę całkowania a należy tak obrać,
żeby funkcja f (x) w przedziale
była oznaczona i nie miała punktów nieciągłości.
Kryterium porównawcze
Jeżeli wyrazy szeregu ∑a
n
spełniają od pewnego N nierówność |a
n
| ≤ b
n
i szereg ∑b
n
jest zbieżny, to również szereg ∑a
n
jest zbieżny (i to
oczywiście bezwzględnie).
Jeżeli natomiast wyrazy szeregu ∑a
n
spełniają od pewnego N nierówność a
n
≥ b
n
≥ 0 i szereg ∑b
n
jest rozbieżny, to również szereg ∑a
n
jest
rozbieżny.
Stosowanie tego kryterium wymaga pewnego zasobu szeregów, o których wiadomo, że są zbieżne. Często wygodnie jest porównywać dany szereg
z
szeregiem harmonicznym
lub (rzadziej)
geometrycznym
.
Kryterium zagęszczania
Następujące proste kryterium również pochodzi od
Cauchy'ego
. Załóżmy, że szereg ∑a
n
jest taki, że ciąg |a
n
| jest
monotonicznie malejący
, a p jest
liczbą naturalną. Jeżeli zbieżny jest szereg ∑p
n
∙|a
p
n
|, to zbieżny jest szereg ∑a
n
.
Kryterium ilorazowe (nazywane też kryterium porównawczym w postaci granicznej)
Jeżeli mamy szeregi ∑a
n
, ∑b
n
i znamy typ (rozbieżny, zbieżny) jednego z nich, oraz 0 < lim
n→∞
(a
n
/b
n
) < ∞, to drugi z nich jest tego samego typu.
Ponadto:
Jeżeli lim
n→∞
(a
n
/b
n
) = 0 i ∑b
n
jest zbieżny, to ∑a
n
jest zbieżny.
Jeżeli lim
n→∞
(a
n
/b
n
) = ∞ i ∑a
n
jest zbieżny, to ∑b
n
jest zbieżny.
Spis treści
1 Wstęp
2 Zapis szeregu
3 Suma szeregu
3.1 Graficzne przedstawienie szeregu
4 Zbieżność szeregu
4.1 Warunek konieczny zbieżności
4.2 Warunek Cauchy'ego zbieżności
4.3 Zbieżność bezwzględna
4.3.1 Kryterium d'Alemberta
4.3.2 Kryterium Raabego
4.3.3 Kryterium Cauchy'ego
4.3.4 Kryterium całkowe
4.3.5 Kryterium porównawcze
4.3.6 Kryterium zagęszczania
4.3.7 Kryterium ilorazowe (nazywane też kryterium porównawczym w postaci granicznej)
[
edytuj
]
[
edytuj
]
[
edytuj
]
[
edytuj
]
[
edytuj
]
[
edytuj
]
[
edytuj
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
edytuj
]
[
edytuj
]
dyskusja
edytuj
historia i autorzy
moduł
szukaj
Przejdź
Szukaj
Tę stronę ostatnio zmodyfikowano 20:30, 11 lis 2008.
Treść udost ępniana na licencji
GNU Free Documentation License
(szczegóły:
Wikibooks ® jest zarejestrowanym znakiem towarowym
nawigacja
Strona główna
Księgozbiór
Portal użytkowników
Ostatnie zmiany
Losuj stron ę
Pomoc
Kontakt
utwórz książkę
Dodaj stron ę
Pomoc kolekcji
narzędzia
Linkujące
Zmiany w
dolinkowanych
Strony specjalne
Wersja do druku
Link do tej wersji
Wersja PDF
Logowanie i rejestracja
Analiza matematyczna/Szeregi liczbowe
Szeregi
Wstęp
Szereg to wyraz będący sumą kolejnych wyrazów nieskończonego ciągu. W szeregach jednymi z najbardziej istotnych spraw są ich zbieżność i
granice.
Zapis szeregu
Szeregi nie mają swojego własnego oznaczenia zapisuje się je za pomocą sumy nieskończonej i przepisu ogólnego (jak w ciągach) co zapisuje sie
jako
np.
Czasem można spotkać zapis
Jednakże jest on używany wyłącznie gdy rozpisujemy kilka ciągów naraz w celu skrócenia zapisu.
Suma szeregu
Mogło by się wydawać, że skoro dodajemy do siebie nieskończoną ilość liczb (często wszystkie z nich są dodatnie) to ich suma powinna być
również nieskończona. Jednakże matematycy nie takie przekręty potrafią robić. Musimy zauważyć że jeżeli szereg jest zbieżny to dodajemy coraz
mniejsze wyrazy które są już tak blisko zera, że z czasem nasz szereg prawie się niezwiększa możemy też zaobserwować że kolejne sumy są
bardzo blisko pewnej liczby. Liczba ta nazywa się suma szeregu.
np.
jest równa 2 gdyż
Graficzne przedstawienie szeregu
Jak widzimy szereg zapełnia kwadrat jednakże go nigdy nie wypełni do końca zawsze
zostanie pewien bardzo malutenki kawałek.
Zbieżność szeregu
Czasem obliczenie sumy nie jest nam potrzebne (czasem jest to bardzo trudne). Czasem
wystarcza określić czy szereg jest zbieżny (wtedy istnieje suma szeregu) lub szereg jest
rozbieżny wtedy sumy nie ma gdyż dodając kolejne składniki suma rozrasta się coraz
mocnej w sposób nieograniczony. Kryteria zbieżności szeregu
Warunek konieczny zbieżności
Jeżeli szereg ∑a
n
jest zbieżny, to lim
n→∞
a
n
= 0. Jeśli więc wyraz ogólny szeregu nie
zbiega do 0, to szereg ten jest rozbieżny.
Warunek Cauchy'ego zbieżności
Dla szeregów liczbowych zachodzi następujący warunek zbieżności, pochodzący od
Cauchy'ego
:
Szereg liczbowy ∑a
n
jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy:
Jest to równoważne temu, że ciąg sum
częściowych ciągu (a
n
) jest
ciągiem Cauchy'ego
.
Zbieżność bezwzględna
Szereg ∑a
n
nazywamy zbieżnym bezwzgl ędnie, jeżeli zbieżny jest szereg ∑|a
n
|. Jeżeli dany szereg jest zbieżny bezwzględnie, to jest on
zbieżny również w zwykłym sensie.
Powyższe rozróżnienie jest istotne, może się bowiem zdarzyć, że dany szereg jest zbieżny, lecz nie jest zbieżny bezwzględnie – mówimy wtedy,
że szereg jest zbieżny warunkowo. Zadziwiające twierdzenie
Riemanna
mówi, że można tak poprzestawiać wyrazy szeregu warunkowo
zbieżnego liczb rzeczywistych, aby jako sumę nowego szeregu otrzymać dowolną, z góry zadaną liczbę.
Przykład mamy szereg anharmoniczny
Wiemy że szereg ten jest zbieżny a jego suma wynosi ln2
Jednakże możemy poukładać wyrazy tak by najpierw wyszła nam jakaś duża liczba np. 50 a potem odpowiednio składać wyrazy dodatnie i ujemne
(których nam nie zabraknie) i będziemy mieć sume szeregu 50.
Wszystkie poniższe twierdzenia rozstrzygają o zbieżności bezwzględnej szeregu ∑a
n
.
Kryterium
d'Alemberta
Jeżeli granica ciągu |a
n+1
|/|a
n
| istnieje i jest mniejsza od 1, to szereg ∑a
n
jest zbieżny; jeżeli granica ta jest większa od 1, szereg jest rozbieżny. Dla
rozbieżności szeregu wystarczy zreszt ą, by istniała taka liczba N, że nierówność |a
n+1
|/|a
n
|≥1 była spełniona dla wszystkich n większych od N.
Jest to najprostsza wersja tego kryterium. Wersja nieco subtelniejsza: je żeli
granica górna
ciągu |a
n+1
|/|a
n
| jest mniejsza niż 1, to szereg ∑a
n
jest
zbieżny.
Kryterium nie przesądza o zbieżności lub rozbieżności szeregu w przypadku gdy granica ta (lub odpowiednia granica górna) jest równa 1.
szereg ∑a
n
jest zbieżny
szereg ∑a
n
jest rozbieżny
kryterium nie rozstrzyga
Kryterium
Raabego
Jeżeli kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga czy dany szereg jest zbieżny lub rozbieżny, warto skorzystać z kryterium Raabego:
szereg ∑a
n
jest zbieżny
szereg ∑a
n
jest rozbieżny
kryterium nie rozstrzyga
Należy zwrócić uwagę na fakt, że, aby szereg był zbieżny, granica z kryterium Raabego musi być większa od 1 inaczej niż w przypadku kryterium
d'Alemberta i Cauchy'ego.
Kryterium Cauchy'ego
Jeżeli
granica ciągu
istnieje i jest mniejsza od 1, to szereg ∑a
n
jest zbieżny; jeżeli granica ta jest większa od 1, szereg jest rozbieżny.
Jak w przypadku poprzedniego kryterium, jest to wersja uproszczona. Wersja subtelniejsza mówi, że jeśli granica górna ciągu
jest
mniejsza od 1, to szereg jest zbieżny; jeżeli granica górna jest większa od 1, to szereg jest rozbieżny.
Kryterium Cauchy'ego nie przesądza nic o zbieżności szeregu w przypadku, gdy odpowiednia granica (lub granica górna) jest równa 1.
Kryterium Cauchy'ego jest silniejsze niż kryterium d'Alemberta – jeśli szereg spełnia warunek kryterium d'Alemberta, to spełnia warunek
Cauchy'ego, ale nie na odwrót.
Kryterium całkowe
Szereg o wyrazie ogólnym a
n
= f (n) jest zbieżny, jeżeli f (x) jest funkcją monotonicznie malejącą i
całka niewłaściwa
jest zbieżna;
natomiast jeżeli całka ta jest rozbieżna, to szereg o wyrazie ogólnym f (n) jest rozbieżny. Przy tym dolną granicę całkowania a należy tak obrać,
żeby funkcja f (x) w przedziale
była oznaczona i nie miała punktów nieciągłości.
Kryterium porównawcze
Jeżeli wyrazy szeregu ∑a
n
spełniają od pewnego N nierówność |a
n
| ≤ b
n
i szereg ∑b
n
jest zbieżny, to również szereg ∑a
n
jest zbieżny (i to
oczywiście bezwzględnie).
Jeżeli natomiast wyrazy szeregu ∑a
n
spełniają od pewnego N nierówność a
n
≥ b
n
≥ 0 i szereg ∑b
n
jest rozbieżny, to również szereg ∑a
n
jest
rozbieżny.
Stosowanie tego kryterium wymaga pewnego zasobu szeregów, o których wiadomo, że są zbieżne. Często wygodnie jest porównywać dany szereg
z
Kryterium zagęszczania
Następujące proste kryterium również pochodzi od
. Załóżmy, że szereg ∑a
n
jest taki, że ciąg |a
n
| jest
, a p jest
liczbą naturalną. Jeżeli zbieżny jest szereg ∑p
n
∙|a
p
n
|, to zbieżny jest szereg ∑a
n
.
Kryterium ilorazowe (nazywane też kryterium porównawczym w postaci granicznej)
Jeżeli mamy szeregi ∑a
n
, ∑b
n
i znamy typ (rozbieżny, zbieżny) jednego z nich, oraz 0 < lim
n→∞
(a
n
/b
n
) < ∞, to drugi z nich jest tego samego typu.
Ponadto:
Jeżeli lim
n→∞
(a
n
/b
n
) = 0 i ∑b
n
jest zbieżny, to ∑a
n
jest zbieżny.
Jeżeli lim
n→∞
(a
n
/b
n
) = ∞ i ∑a
n
jest zbieżny, to ∑b
n
jest zbieżny.
Spis treści
1 Wstęp
2 Zapis szeregu
3 Suma szeregu
3.1 Graficzne przedstawienie szeregu
4 Zbieżność szeregu
4.1 Warunek konieczny zbieżności
4.2 Warunek Cauchy'ego zbieżności
4.3 Zbieżność bezwzględna
4.3.1 Kryterium d'Alemberta
4.3.2 Kryterium Raabego
4.3.3 Kryterium Cauchy'ego
4.3.4 Kryterium całkowe
4.3.5 Kryterium porównawcze
4.3.6 Kryterium zagęszczania
4.3.7 Kryterium ilorazowe (nazywane też kryterium porównawczym w postaci granicznej)
[
edytuj
]
[
edytuj
]
[
edytuj
]
[
edytuj
]
[
edytuj
]
[
edytuj
]
[
edytuj
]
[
edytuj
]
[
edytuj
]
[
edytuj
]
[
edytuj
]
[
edytuj
]
[
edytuj
]
[
]
[
]
dyskusja
edytuj
historia i autorzy
moduł
szukaj
Przejdź
Szukaj
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
pl wikibooks org wiki Optymalizacja systemu Windows XP A
pl wikipedia org wiki Zasady (polityka) rachunkowoś
pl wikipedia org wiki Kwadryka riheufzc
Analiza matematyczna, Analiza matematyczna - szeregi, granice funkcji, Granice funkcji i szeregi
pl wikipedia org wiki Zasady (polityka) rachunkowoś
http pl wikipedia org wiki Obwód rezonansowy LC
pl wikipedia org wiki Turbo (guma)
Analiza matematyczna szeregi cz 2
http, pl wikipedia org wiki Starożytny Egipt BOGUSLAWA
(2386) matematyka3 szeregi liczbowe
am4 Szeregi liczbowe, Informatyka i Ekonometria SGGW, Semestr 1, Analiza Matematyczna, materialy od
Szeregi liczbowe, Edukacja, Analiza Matematyczna
Szeregi liczbowe, Analiza matematyczna
Ćwiczenia z analizy matematycznej zadania 8 szeregi liczbowe
Ćwiczenia z analizy matematycznej zadania 8 szeregi liczbowe
Analiza matematyczna, lista analiza 2008 6 szeregi
więcej podobnych podstron