SZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE

Niech a₁, a₂,..., a_n,... (wyrazy szeregu) będzie dowolnym nieskończonym ciągiem liczbowym liczb rzeczywistych zbieżnym lub rozbieżnym.

Utwórzmy nowy ciąg liczbowy {S_n}, którego n-ty wyraz wyraża się sumą: S_n=
.

• Definicja szeregu liczbowego:

Szeregiem liczbowym nazywamy ciąg {S_n}, gdzie S_n=
i oznaczamy go przez:
(1).

Jeżeli mamy szereg (1), to ciąg postaci {S_n}, gdzie S_n=
nazywamy ciągiem sum częściowych dla szeregu (1).

• Definicja zbieżności szeregu liczbowego:

Mówimy, że szereg (1) jest zbieżny, jeżeli ciąg jego sum częściowych {S_n­}, gdzie S_n=
jest zbieżny do granicy właściwej. W przeciwnym przypadku mówimy, że szereg jest rozbieżny.

Zapis nieformalny: S_n=S lub

S - suma szeregu

- szereg zbieżny

- szereg rozbieżny

Przykład:

1. rozważmy szereg
   

- szereg zbieżny

2. rozważmy szereg
   

{S_n} nie jest zbieżny czyli
nie jest zbieżny.

• Twierdzenie: warunek konieczny zbieżności szeregu liczbowego:

Jeżeli szereg
jest zbieżny, to ciąg jego wyrazów jest zbieżny do zera, czyli:

Dowód: S_n→S
a_n = S_n - S_n-1 = a₁+a₂+...+a_n - (a₁+a₂+a_n-1) = a_n

S_n-1→S
a_n = S_n - S_n-1
S - S = 0

Przykład:

1. 
   

a_n=
- niespełniony warunek konieczny zbieżności ciągu, szereg rozbieżny

2. 
   - tzw. szereg harmoniczny - rozbieżny, chociaż spełnia warunek konieczny zbieżności

a_n=

• Definicja szeregu geometrycznego:

Szeregiem geometrycznym nazywamy szereg postaci:

,

w którym wyraz początkowy p i iloraz q są liczbami dowolnymi.

Jeżeli a=0, to szereg jest zbieżny i ma sumę równą 0.

Jeżeli a≠0 i |q| > 1, to ciąg wyrazów nie dąży do zera o szereg jest rozbieżny.

Jeżeli |q| < 1, to szereg jest rozbieżny, ponieważ nie spełnia on warunku koniecznego zbieżności:

|a_n| = |aq^n-1| > |a |> 0.

Otrzymujemy:

• Definicja szeregu harmonicznego:

Szeregiem harmonicznym nazywamy szereg, którego wyrazy są odwrotnościami liczby naturalnych:

Szereg harmoniczny jest rozbieżny, a ciąg jego sum częściowych rośnie do +∞.

Dowód: Wykażmy, że ciąg sum częściowych jest nieograniczony.

Niech A będzie dowolną liczbą.

Grupując wyrazy szeregu:
stwierdzamy, że każda grupa ma wartość większą od 0,9.

Biorąc dostatecznie wiele takich grup, otrzymamy sumę częściową większą od A.

Szereg harmoniczny rzędu r>1 jest zbieżny.

Dowód: Ciąg sum częściowych {S_n} jest rosnący; wystarczy wykazać ze jest on ograniczony. Grupując wyrazy szeregu:
stwierdzamy, że pierwsza grupa obejmuje 9 wyrazów, wśród których największym jest 1, więc wartość tej grupy nie przekracza 9. Druga grupa zawiera 90 wyrazów, z nich największym jest
, więc wartość tej grupy nie przekracza
. Wartość trzeciej grupy nie przekracza
. Uzyskane w ten sposób ograniczenia górne kolejnych grup są wyrazami szeregu geometrycznego o ilorazie
<1. Dla dowolnego n otrzymujemy:
, co oznacza, że ciąg {S_n} jest ograniczony.

Szereg harmoniczny rzędu r<1 jest rozbieżny.

Dowód: Ponieważ r<1, więc
. Wyrazy rozważanego szeregu są niemniejsze od wyrazów szeregu
, zatem ciąg sum częściowych rozważanego szeregu jest nieograniczony.

Przykład: Szereg harmoniczny rzędu 2 jest zbieżny i można udowodnić, że jest:

Szereg harmoniczny rzędu
jest rozbieżny:

Obydwa powyższe szeregi spełniają warunek:
.

• Twierdzenie:

Jeżeli szereg
jest zbieżny i szereg
jest zbieżny to:

• Twierdzenie:

Jeżeli szereg
jest zbieżny, to:

, c
R

§1. SZEREGI O WYRAZACH NIEUJEMNYCH

• Twierdzenie:

Jeżeli ciąg sum częściowych szeregu o wyrazach nieujemnych jest ograniczony z góry, to szereg ten jest zbieżny.

Dowód: Załóżmy, że ciąg a_n jest rosnący o ograniczony. Niech Z oznacza zbiór wartości wyrazów tego ciągu. Jest to zbiór ograniczony, więc istnieje kres górny tego zbioru i oznaczamy go literą g. Mamy: g=supZ. Wykażmy teraz, że g=
.

Z własności kresu górnego wynika, że:

1. a_n<g, dla n
   N

2. dla każdego ε>0 istnieje wyraz a_δ spełniający nierówność: g - ε < a_δ < g.

Ponieważ ciąg a_n jest rosnący, więc dla n>δ jest: g - ε < a_δ <a_n < g, czyli a_n
U(g,ε) dla n>δ; oznacza to, że g=
.

Zgodnie z 1) żaden wyraz ciągu nie jest większy od granicy; nie jest równy granicy, gdyż wtedy następny wyraz musiałby być większy od granicy. Zatem:
.

• Twierdzenie: kryterium porównawcze:

Jeżeli wyrazy szeregu (1):
i szeregu (2):
są nieujemne i istnieje liczba T
N, że dla każdego n>T: a_n < b_n, to:

1. ze zbieżności szeregu (2) wynika zbieżność szeregu (1)

2. z rozbieżności szeregu (1) wynika rozbieżność szeregu (2)

Przykład:

1. 
   

Szacujemy
z dołu przez
, dla n > 1:
<

- rozbieżny jako szereg harmoniczny

Na podstawie punktu 2) w/w twierdzenia szereg
jest rozbieżny.

2. 
   - szereg o wyrazach nieujemnych

Podejrzewając, że jest on zbieżny, szacujemy go z góry:
<
, dla n
N

- zbieżny, co wcześniej sprawdziliśmy

Z punktu 1) w/w twierdzenia wynika, że
jest zbieżny.

Często, jako szereg porównawczy, wykorzystuje się tzw. szereg Dirichleta:

dla α < 1 - rozbieżny

dla α > 1 - zbieżny

• Twierdzenie: kryterium d'Alemberta (ilorazowe):

Jeżeli istnieje granica
(właściwa lub niewłaściwa), to szereg o wyrazach dodatnich
jest zbieżny, gdy g < 1, a rozbieżny, gdy g > 1. Gdy g = 1, to kryterium to nie rozstrzyga zbieżności szeregu!

Przykład: Zbadać zbieżność szeregu:

- szereg zbieżny

• Twierdzenie: kryterium Cauchy'ego (pierwiastkowe):

Jeżeli istnieje granica
(właściwa lub niewłaściwa), to szereg o wyrazach nieujemnych
jest zbieżny, gdy g < 1, a rozbieżny, gdy g > 1. Gdy g = 1, to kryterium to nie rozstrzyga zbieżności szeregu!

Przykład: Zbadać zbieżność szeregu:

- szereg zbieżny

• Twierdzenie: kryterium całkowe:

Niech funkcja f(x) będzie ciągła, dodatnia i malejąca w przedziale <T,+∞), gdzie T jest pewną ustaloną liczbą naturalną i dla każdego n
N takiego, że n > T f(n)=a_n, to szereg o wyrazach nieujemnych
jest zbieżny (rozbieżny) wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżna (rozbieżna) jest całka:

Przykład: Rozważmy szereg Dirichleta:

Zauważmy, że dla α < 0 szereg ten jest rozbieżny, ponieważ nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregu.

Rozpatrzmy α > 0:

, w przedziale <1,+∞) funkcja f(x) jest ciągła, dodatnia i malejąca, bo:
, dla x
<1,+∞).

α ≠ 1:

α = 1:

Na podstawie kryterium całkowego szereg Dirichleta
jest rozbieżny dla α<1 i zbieżny dla α>1.

§2. SZEREGI O WYRAZACH NIEUJEMNYCH

• Definicja szeregu przemiennego:

Szereg o wyrazach dowolnych w postaci
, gdzie:

1. a_n > 0, dla n=1,2,...

2. a_n+1 < a_n, dla n=1,2,...

3. 
   

nazywamy szeregiem przemiennym.

Szereg postaci
nazywamy szeregiem anharmonicznym i jest on przykładem szeregu przemiennego, ponieważ: a_n=
>0, a_n+1 < a_n,

• Twierdzenie: kryterium Leibniza:

Każdy szereg przemienny jest zbieżny.

• Definicja bezwzględnej zbieżności szeregu:

Mówimy, że szereg
o wyrazach dowolnych jest bezwzględnie zbieżny, jeżeli zbieżny jest szereg
.

• Definicja warunkowej zbieżności szeregu:

Mówimy, że szereg
o wyrazach dowolnych jest warunkowo zbieżny, jeżeli rozbieżny jest szereg
, a szereg
jest zbieżny.

• Twierdzenie:

Każdy szereg bezwzględnie zbieżny jest zbieżny!!!

Przykład: Zbadać zbieżność szeregu o wyrazach dowolnych:

1. 
   

- jest zbieżny jako szereg Dirichleta, α =
>1.

Jest on bezwzględnie zbieżny.

2. 
   - jest zbieżny i przemienny jako szereg harmoniczny

- rozbieżny jako szereg harmoniczny,

czyli szereg
jest zbieżny warunkowo.

§3. CIĄG FUNKCYJNY

• Definicja ciągu funkcyjnego:

Ciąg funkcyjny to przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jednej funkcji.

{f_n}≡f₁,f₂,...,f_n,... f_k: X→R, X
R

{f_n(x)}

• Definicja zbieżności (zwykłej) ciągu funkcyjnego:

Mówimy, że ciąg funkcyjny {f_n} jest zbieżny na zbiorze X do funkcji f, co zapisujemy:

[dla każdego ε>0 i dla każdego x
X istnieje takie δ, że dla każdego n>δ

prawdziwa jest nierówność: |f_n(x)-f(x)|<ε]

* - δ zależne od ε i od x

• Definicja jednostajnej zbieżności ciągu funkcyjnego:

Mówimy, że ciąg funkcyjny {f_n} jest jednostajnie zbieżny na zbiorze X do funkcji granicznej f, co zapisujemy:

** - δ zależne tylko od ε

Uwaga: Z jednostajnej zbieżności ciągu funkcyjnego wynika zbieżność zwykła!!!

• Twierdzenie o ciągłości funkcji granicznej:

Jeżeli wyrazy ciągu {f_n} (tzw. funkcje f_n) są ciągłe na zbiorze X i ciąg {f_n} jest jednostajnie zbieżny do funkcji f na zbiorze X
to funkcja graniczna f jest ciągła na zbiorze X.

Przykład: {xⁿ}, x
<0,1>

wykres funkcji granicznej

Funkcja graniczna nie jest ciągła pomimo tego, że funkcje f_n są ciągłe w zbiorze X: <0,1>

§4. SZEREGI FUNKCYJNE

Niech będzie dany ciąg funkcyjny {f_n}≡f₁,f₂,...,f_n,... , f_k: X→R, n=1,2,... . Może on być zbieżny lub rozbieżny.

Tworzymy nowy ciąg funkcyjny {S_n}, gdzie S_n=
.

• Definicja szeregu funkcyjnego:

Szeregiem funkcyjnym nazywamy ciąg funkcyjny {S_n}, S_n=
i oznaczamy go przez:

Jeżeli mamy szereg
, to o ciągu {S_n}, S_n=
mówimy, że jest ciągiem sum częściowych w/w szeregu.

• Definicja zbieżności (zwykłej) szeregu funkcyjnego:

Mówimy, że szereg
jest zbieżny w zbiorze X do funkcji S, jeżeli ciąg jego sum częściowych {S_n}, S_n=
jest zbieżny do S w zbiorze X (S_n
S)

• Definicja jednostajnej zbieżności szeregu funkcyjnego:

Mówimy, że szereg funkcyjny
jest jednostajnie zbieżny w zbiorze X i jego suma wynosi S, jeżeli ciąg jego sum częściowych {S_n} jest zbieżny jednostajnie do S w zbiorze X (S_n
S)

• Definicja bezwzględnej zbieżności szeregu funkcyjnego:

Mówimy, że szereg funkcyjny
jest bezwzględnie zbieżny w zbiorze X, jeżeli zbieżny jest szereg
, x
X.

• Twierdzenie: kryterium Weiestrassa:

Jeżeli istnieje liczba naturalna N, że dla każdego n>N i dla każdego x
X spełniona jest nierówność |f_n(x)|<a_n
i jeżeli szereg liczbowy
jest zbieżny, to szereg funkcyjny
jest bezwzględnie i jednostajnie zbieżny w zbiorze X.

- jest to majoranta liczbowa szeregu funkcyjnego
, która szacuje go z góry.

Przykład: Rozważmy szereg
i zbadajmy jego zbieżność.

Skorzystajmy z kryterium Weiestrassa:

- jest zbieżny, jako szereg Dirichleta, α=2

Na podstawie kryt. Weiestrassa szereg funkcyjny
jest bezwzględnie i jednostajnie zbieżny.

• Twierdzenie o całkowaniu szeregu funkcyjnego:

Jeżeli wyrazy szeregu
są funkcjami ciągłymi w przedziale <a,b> i szereg ten jest jednostajnie zbieżny w przedziale <a,b>, to spełniona jest równość:

• Twierdzenie o różniczkowaniu szeregu funkcyjnego:

Jeżeli wyrazy szeregu
posiadają ciągłe pochodne (f_n' - są ciągłe, I rzędu) oraz szereg
jest zbieżny i szereg
jest jednostajnie zbieżny w przedziale <a,b>, to spełniona jest równość:

w <a,b>

Przykład: Rozważmy szereg
.

- ciągła dla x
(-∞,+∞)

- jest zbieżny, jako szereg Dirichleta, α=3

Na podstawie kryterium Weiestrassa szereg
jest bezwzględnie i jednostajnie zbieżny.

Zbadajmy zatem, czy szereg
jest zbieżny.

- jest zbieżny, jako szereg Dirichleta, α=2

Na podstawie kryterium Weiestrassa szereg
jest bezwzględnie i jednostajnie zbieżny.

Z powyższych założeń wynika, że szereg
można różniczkować wyraz po wyrazie.

§5. SZEREGI POTĘGOWE

• Definicja szeregu potęgowego:

Szereg funkcyjny postaci:

(1)

nazywamy szeregiem potęgowym, gdzie a₀,a₁,...
R -są to współczynniki szeregu potęgowego, x₀
R.

Często szereg potęgowy wyraża się w następującej postaci (gdy x₀=0)

(2)

• Twierdzenie o zbieżności szeregu potęgowego:

Jeżeli szereg potęgowy (2) jest zbieżny w x₀≠0, to jest on bezwzględnie zbieżny w przedziale

(-|x₀|,|x₀|) i jednostajnie zbieżny w każdym przedziale domkniętym zwartym w przedziale (-|x₀|,|x₀|), tj. w (-θ|x₀|,θ|x₀|), gdzie: 0<θ<1.

Oznaczmy przez Z zbiór wartości bezwzględnych wszystkich x
X, dla których szereg (2) jest zbieżny.

Rozpatrzmy kres górny tego zbioru:

0 < supZ < +∞

• Definicja promienia zbieżności:

Promieniem zbieżności R szeregu potęgowego (2) nazywamy kres górny bezwzględnych wartości x
X, dla których szereg (2) jest zbieżny.

R = supZ

1. R = 0

2. 0 < R < +∞

3. R = +∞

• Twierdzenie:

Jeżeli granica:
, to promień zbieżności jest równy:

Przykład: Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego

(-1,1) - przedział zbieżności; w nim szereg jest zbieżny, a poza nim rozbieżny. W punktach: -1 i 1

nie wiemy czy jest zbieżny czy rozbieżny.

x = -1

- jest to szereg harmoniczny, rozbieżny

x = 1

- jest to szereg anharmoniczny, zbieżny

Przedziałem zbieżności szeregu
jest przedział (-1,1>

Uwaga: Jeżeli:
, to:

Przykład: Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu
.

- przedział zbieżności; w nim szereg jest zbieżny, a poza nim rozbieżny. W punktach: -1 i 1

nie wiemy czy jest zbieżny czy rozbieżny.

x =

- szereg rozbieżny

x =

- szereg rozbieżny

Przedział pozostaje otwarty:
.

• Twierdzenie o całkowaniu szeregu potęgowego:

Jeżeli x należy do przedziału zbieżności szeregu potęgowego (2), to prawdziwa jest równość:

przy czym promień zbieżności otrzymanego szeregu jest taki sam jak szeregu wyjściowego.

• Twierdzenie o różniczkowaniu szeregu potęgowego:

Jeżeli x należy do przedziału zbieżności szeregu potęgowego (2), to prawdziwa jest równość:

przy czym promień zbieżności otrzymanego szeregu jest taki sam jak szeregu wyjściowego.

§6. SZEREG TAYLORA

• Twierdzenie:

Jeżeli funkcja f posiada wszystkie pochodne (jest klasy C^∞) w otoczeniu Q punktu x₀, to można napisać dla tej funkcji następujący wzór:

R_n(x) - reszta wzoru Taylora, c
(x₀,x) lub c
(x,x₀)

Jeżeli uda się dobrać takie otoczenie Q₀ punktu x₀ o promieniu δ i zajdzie zależność:
dla x
Q₀(x₀,δ), to funkcja f(x) jest sumą następującego szeregu:

(1)

czyli spełniona jest równość:

f(x)=
(2)

Szereg (1) nazywamy szeregiem Taylora funkcji f w otoczeniu Q₀(x₀,δ), a o równaniu (2) mówimy, że funkcja f(x) jest rozwijalna w szereg Taylora.

Jeżeli funkcja f posiada wszystkie pochodne (jest klasy C^∞), to można dla niej napisać szereg Taylora, ale szereg ten nie musi być do niej zbieżny, tzn. że równość (2) nie musi być spełniona. Dopiero, jeśli w toczeniu Q₀(x₀,δ) zachodzi:
, to możemy stwierdzić, że szereg jest zbieżny do funkcji f, czyli równość (2) jest spełniona.

Jeżeli w szeregu (1) x₀=0, czyli:

to taki szereg nazywamy szeregiem Maclaurina dla funkcji f.

• Lemat o reszcie wzoru Taylora:

Jeżeli istnieje taka liczba naturalna N i istnieje liczba M, że dla każdego n>N spełniona jest nierówność:
, dla x
Q₀(x₀,δ), to:

, dla x
Q₀(x₀,δ)

Dowód:

Oszacujmy

Łatwo sprawdzić, że z kryterium d'Alemberta szereg:

Z warunku koniecznego zbieżności szeregu wynika, że

Czyli:

Przykład: Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję f(x)=e^x.

f(x)=e^x f(0)=1

f'(x)= e^x f'(0)=1

f”(x)= e^x f”(0)=1

f⁽ⁿ⁾(x)=e^x

Rozważmy otoczenie Q₀(0,δ)

dla x
Q₀(0,δ)

, dla x
Q₀(0,δ)

Utwórzmy szereg Maclaurina:

(*)
, dla x
Q₀(0,δ)

Ze względu na dowolność doboru δ, x
(-∞,+∞)

(*) Jeżeli przyjmiemy, że x=1, to:

- definicja liczby e

Jeżeli dla jakiejś funkcji f posiadającej wszystkie pochodne napiszemy, że funkcja ta jest sumą następującego szeregu potęgowego:

to szereg ten jest szeregiem Maclaurina i
.

Przykład: Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję f(x)=(1+x)^α, α
R

f(x)=(1+x)^α f(0)=1

f'(x)=α(1+x)^α-1 f'(0)=1!

f”(x)=α(α-1)(1+x)^α-2 f”(0)=2!

f”'(x)=α(α-1)(α-2)(1+x)^α-3 f”'(0)=3!

f⁽ⁿ⁾(x)= α(α-1)(α-2)∙...∙[α -(n-1)](1+x)^α-n f⁽ⁿ⁾(c)=

R_n(x)=
, jeżeli |x|<1

, |x|<1

§7. SZEREGI TRYGONOMETRYCZNE FOURIERA

Niech funkcja jednej zmiennej będzie całkowalna w przedziale <-l,l>. Dla tej funkcji można napisać szereg trygonometryczny Fouriera w postaci:

gdzie:

n = 1, 2, 3, ...

~ - odpowiada

• Definicja funkcji przedziałami monotonicznej:

Mówimy, że funkcja f jest przedziałami monotoniczna w przedziale (a,b), jeżeli przedział (a,b) da się podzielić na skończoną liczbę przedziałów, w których funkcja ta jest monotoniczna.

• Definicja punktów nieciągłości pierwszego i drugiego rodzaju:

Punkt x₀ jest punktem nieciągłości I rodzaju funkcji f, jeżeli w tym punkcie istnieją właściwe granice jednostronne tej funkcji.

Punkt x₀ jest punktem nieciągłości II rodzaju funkcji f, jeżeli co najmniej jedna z granic jednostronnych tej funkcji jest niewłaściwa.

Przykład:

1)
x₀=0

x₀=0 - punkt nieciągłości I rodzaju

2) f(x) = tgx

x₀=
- punkt nieciągłości II rodzaju

• Definicja warunków Dirichleta:

Mówimy, że funkcja f spełnia warunki Dirichleta w przedziale <a,b>, jeżeli

1. funkcja f jest przedziałami monotoniczna w (a,b)

2. funkcja f jest ciągła z wyjątkiem skończonej liczby punktów nieciągłości I rodzaju, przy czym w punkcie nieciągłości x₀ zachodzi równość:

f(x₀) =

3. w końcach przedziału <a,b> funkcja f przyjmuje postać:

f(a) = f(b) =

* - granica prawostronna

** - granica lewostronna

• Twierdzenie Dirichleta:

Jeżeli funkcja f spełnia warunki Dirichleta w przedziale <-l,l>, to jest ona rozwijalna w szereg trygonometryczny Fouriera, czyli:

, dla x
<-l,l>

gdzie:
,
,
, n = 1, 2, 3, ...,

a ponadto, jeżeli funkcja f jest okresowa o okresie 2l, to powyższa równość jest prawdziwa dla x
R

§7.1 SZEREG FOURIERA DLA FUNKCJI PARZYSTEJ I NIEPARZYSTEJ

1. Załóżmy, że funkcja f jest funkcją parzystą w przedziale <-l,l>. Wtedy współczynniki a₀, a_n i b_n upraszczają się do następującej postaci:

,
,

i szereg Fouriera przyjmuje postać:

2. Załóżmy, że funkcja f jest funkcją nieparzystą w przedziale <-l,l>. Wtedy współczynniki a₀, a_n i b_n upraszczają się do następującej postaci:

,
,

i szereg Fouriera przyjmuje postać:

Niech funkcja f spełnia warunki Dirichleta w przedziale (0,l).

Przedłużmy tę funkcję w sposób nieparzysty do przedziału <-l,l>,

czyli rozważmy funkcję:

Szereg Fouriera dla funkcji f*(x) przyjmuje postać:

,
,

Niech funkcja f spełnia warunki Dirichleta w przedziale (0,l).

Przedłużmy tę funkcję w sposób parzysty do przedziału <-l,l>,

czyli rozważmy funkcję:

Szereg Fouriera dla funkcji f*(x) przyjmuje postać:

,
,

|x₀|

x₀

-|x₀|

y=x²

y=x

y=x³

y=x⁴

?

?

0

w tych punktach nie wiadomo

zbieżny w tym przedziale

X

X

0

zbieżny

rozbieżny

rozbieżny

X

0

zbieżny

rozbieżny

rozbieżny

-R

+R

?

?

w tych punktach nie wiadomo

0

z b i e ż n y

X

f(x₂)

f(x₁)

x₂

x₁

a

b

X

Y

f(x)

-f(-x)

0

X

Y

-l

l

f(x)

f(-x)

0

X

Y

-l

l

---