Matematyka I lista zada« nr 10.
1 Caªki - proste podstawienia
U»ywaj¡c stosownych podstawie«,bliczy¢ caªki:
1.
Z
x
1 + x
2
dx;
2.
Z
x
√
1 + x
2
dx;
3.
Z
xe
−x
2
dx;
4.
Z
x
2
e
x
3
dx;
5.
Z
dx
(2x − 5)
3
;
6.
Z
5
q
(7 − 2x)
6
dx;
7.
Z
x
3
3
√
2 + x
4
dx;
8.
Z
sin
5
x cos x dx;
9.
Z
sin
7
x cos
3
x dx;
10.
Z
cos
3
x cos 2x dx;
11.
Z
sin x
3
√
cos
2
x
dx;
12.
Z
cos 3x dx;
13.
Z
sin(2 − 4x) dx;
14.
Z
√
ln x
x
dx;
15.
Z
(arctg x)
2
1 + x
2
dx;
16.
Z
(arcsin x)
3
√
1 − x
2
dx;
17.
Z
cos xe
sin x
dx;
1
18.
Z
e
x
e
x
+ 1
dx;
19.
Z
sin 2x
1 + cos
2
x
dx;
20.
Z
ctg x dx;
21.
Z
a
x
dx;
22.
Z
(ln x)
m
x
dx;
2 Caªkowanie przez cz¦±ci
Wykorzystuj¡c metod¦ caªkowania przez cz¦±ci, obliczy¢ caªki:
23.
Z
x
2
e
x
dx;
24.
Z
arctg x dx;
25.
Z
arcsin x dx;
26.
Z
x
10
ln x dx;
27.
Z
x(ln x)
2
dx;
28.
Z
e
ax
sin bx dx,
(a, b staªe), a przy okazji:
29.
Z
e
ax
cos bx dx;
30.
Z
xarctg x dx;
31.
Z
x sin 2x dx;
32.
Z
x5
x
dx;
33.
Z
ln(x
2
+ 1) dx;
34.
Z
xarctg x dx;
35.
Z
(arcsin x)
2
dx;
2
4 Caªki z funkcji trygonometrycznych
Obliczy¢ caªki:
53.
Z
sin
5
x cos
2
x dx;
54.
Z
sin
7
x cos
7
x dx;
55.
Z
sin
6
x cos
5
x dx;
56.
Z
sin
4
x dx;
57.
Z
cos
6
x dx;
58. Niech S
n
=
R
sin
n
x dx
, n ∈ N. Napisa¢ wzór rekurencyjny, wyra»aj¡cy S
n
przez
S
n−2
.
59. Niech C
n
=
R
cos
n
x dx
, n ∈ N. Napisa¢ wzór rekurencyjny, wyra»aj¡cy C
n
przez
C
n−2
.
60.
Z
sin
3
x
cos
4
x
dx;
61.
Z
1
sin x cos x
dx;
62.
Z
1
cos
3
x
dx;
63.
Z
1
sin
3
x cos x
dx;
64.
Z
sin
4
x
cos
2
x
dx;
65.
Z
1
sin
4
x cos
4
x
dx;
66.
Z
tg
3
x dx;
67.
Z
1
tg
8
x
dx;
68.
Z
1
4 − 3 sin x
dx;
69.
Z
2 + sin x
2 − cos x
dx;
70.
Z
1
a + b cos x
dx,
a > b > 0;
71.
Z
dx;
4
5 Caªki wymierne z R(x,
√
ax
2
+ bx + c)
Obliczy¢, stosuj¡c podstawienia Eulera lub inne sposoby:
72.
Z
√
x
2
+ x + 1 dx;
73.
Z
1
x
√
2 + x − x
2
dx;
74.
Z
x
2
√
1 − 2x − x
2
dx;
75.
Z
√
1 + x
2
2 + x
2
dx;
76.
Z
√
x
2
+ 2x + 2
x
2
dx;
77.
Z
x − 1
x
2
√
2x
2
− 2x + 1
dx;
78.
Z
x
4
√
x
2
+ 4x + 5
dx;
79.
Z
1
(x
2
+ x + 1)
√
x
2
+ x − 1
dx;
80.
Z
1
x
2
(x +
√
1 + x
2
)
dx;
81.
Z
√
3x
2
− 3x + 1 dx;
82.
Z
3x
2
√
x
2
+ 4x + 5
dx;
6 Caªki wymierne z R
x,
n
v
u
u
u
t
ax + b
cx + d
83.
Z
x
x −
√
x
2
− 1
dx;
84.
Z
3
s
1 − x
1 + x
1
x
dx;
85.
Z
s
1 − x
1 + x
1
x
dx;
5
86.
Z
1
4
q
(x − 1)
3
(x + 2)
5
dx;
87.
Z
x
3
√
2 + x dx;
88.
Z
4
√
1 + x
x
dx;
7 Calki z funkcji hiperbolicznych
89.
Z
cosh x dx;
90.
Z
1
cosh
2
x
dx;
91.
Z
sinh
3
x dx;
92.
Z
sinh
2
x dx;
93.
Z
√
tanh x dx;
6
