Matematyka – wybrane zagadnienia

Równania różniczkowe cząstkowe rzędu drugiego

Lista nr 1

Zadanie 1. Znale ć zbiory, w których równania s  typu hiperbolicznego,

ź

ą

 

parabolicznego, eliptycznego.

a) 



x

2



y

2



u

xx

−

2u

xy



u

yy

−

2 xu

x

=

0

b) 



1− x

2



u

xx

−

2 xyu

xy

−



1y

2



u

yy

−

2 xu

x

−

2 yu

y

=

0

c) 

u

xx





2cos x



u

xy

−



sin

2

x



u

yy

−



sin x



u

y

=

0

Zadanie 2
Rozwiązać następujące zagadnienia brzegowe:

a.)    u

xx



x , y



=

0, u



0, y



=

y

2

, u



1, y



=

1

b.)    u

xx



x , y



=

6 xy , u



0, y



=

y , u



1, y



=

0

c.)  u

xy



x , y



=

2x , u



0, y



=

0, u



x ,0



=

x

2

Zadanie 3
Znaleźć całkę szczególną równania

u−x u

X

−

x

2

y

2

=

0

    w obszarze   D=

{



x , y



:



x−1



2



y

2



1
4

}

, 

spełniającą warunek początkowy:    u



1, y



=−

y

2

 .

Wskazówka:  Przyjmując “y”  za parametr,  rozwiązać dane równanie jako równanie 
różniczkowe zwyczajne.

Zadanie 4

Znaleźć całkę ogólną równania

∂

2

u

∂

x ∂ y

−

1

2x

∂

u

∂

y

=

0

Wskazówka. Wprowadzić nową funkcję niewiadomą   v



x , y



=

∂

u

∂

y

.