I ELEKTROTECHNIKA,LISTA 1
1. Wyznaczy´c punkt, w kt´orym styczna do paraboli f (x) = x
2
jest
a) r´ownolegÃla do prostej y = 4x − 5,
b) prostopadÃla do prostej 2x − 6y + 5 = 0.
2. Funkcja f (x) =
5−x
2
x
4
przyjmuje na ko´ncach przedziaÃlu [-1,1] takie same warto´sci
(sprawdzi´c). Wyznaczy´c punkty, w kt´orych f
0
(x) = 0 i odpowiedzie´c na pytanie,
dlaczego teza twierdzenia Rolla nie jest speÃlniona.
3. Napisa´c wz´or Taylora dla funkcji:
y =
3
√
x, x
0
= −1, n = 4;
y = tan x, x
0
=
π
4
, n = 3.
4. Napisa´c wz´or Maclaurina n-tego rz
,
edu dla funkcji:
(a) y = e
x
,
(b) y = cos x, (wsk. (cos x)
(n)
= cos(x +
nπ
2
)),
(c) y = ln(1 + x), (wsk. (ln(1 + x))
(n)
= (−1)
n−1
(n − 1)!
1
(1+x)
n
).
a nast
,
epnie obliczy´c z dokÃladno´sci
,
a do 0,001:
cos 1/2,
√
e,
ln 1, 05.
5. Wyznaczy´c ekstrema i przedziaÃly monotoniczno´sci danych funkcji:
a) f (x) =
1 − x + x
2
1 + x + x
2
,
b) f (x) =
x
ln x
,
c) f (x) = 2x
2
− ln x,
d) f (x) = ln(x +
√
1 + x
2
),
e) f (x) = −x
2
√
x
2
+ 2, f ) f (x) = x − ln(1 + x
2
).
6. Wyznaczy´c punkty przegi
,
ecia, oraz zbada´c wkl
,
esÃlo´s´c i wypukÃlo´s´c wykres´ow funk-
cji:
a) f (x) =
x
3
1 + x
2
,
b) f (x) = ln(1 + x
2
),
c) f (x) = e
sin x
.
7. Stosuj
,
ac reguÃl
,
e de l’Hospitala obliczy´c granice funkcji:
lim
x→0
ln cos x
x
,
lim
x→0
e
x
− 1
sin x
,
lim
x→0
x − arctan x
x
3
,
lim
x→+∞
x
m
e
x
, m > 0
lim
x→+∞
x sin
a
x
,
lim
x→∞
x(e
1
x
− 1),
lim
x→0
x
2
e
1
x2
,
lim
x→1
µ
x
x − 1
−
1
ln x
¶
,
lim
x→0
+
µ
1
x
¶
tan x
,
lim
x→0
+
x
sin x
,
lim
x→0
+
x
6
1+2 ln x
.
1
