Analiza - Całki nieoznaczone
Zadanie 1. Obliczyć całki nieoznaczone:
1)
Z
(5x
2
− 6x + 3 −
2
x
+
5
x
2
) dx
2)
Z
x(
√
x − x
2
3
√
x)
4
√
x
dx
3)
Z
tg
2
x dx
Zadanie 2. Korzystając z twierdzeń o całkowaniu przez części i o całkowaniu przez pod-
stawienie obliczyć całki nieoznaczone:
1)
Z
x sin xdx
2)
Z
xe
x
dx
3)
Z
ln xdx
4)
Z
x
3
e
x
dx
5)
Z
e
x
sin xdx
6)
Z
1
x + 5
dx
7)
Z
ln
2
x
x
dx
8)
Z
tg x dx
9)
Z
xe
−x
2
dx
10)
Z
arc tg x
1 + x
2
dx
11)
Z
x
3
1 + x
8
dx
12)
Z
3
√
tg x + 3
cos
2
x
dx
13)
Z
e
1
x
x
2
dx
14)
Z
sin
3
x cos xdx 15)
Z
dx
x · ln x · ln(ln x)
16)
Z
sin(ln x)dx
17)
Z
x
cos
2
x
dx 18)
Z
arc tg xdx
19)
Z
tgx
1 + tg
4
x
·
1
cos
2
x
dx 20)
Z
dx
e
x
+ e
−x
Zadanie 3. Obliczyć całki z funkcji wymiernych:
1)
Z
2x + 3
(x − 2)(x + 5)
dx
2)
Z
3x + 1
x
5
+ 2x
3
+ x
dx
3)
Z
dx
6x
3
− 7x
2
− 3x
4)
Z
dx
x
3
+ x
5)
Z
x + 1
x
4
+ x
2
+ 4
dx
6)
Z
dx
(1 + x
2
)
3
7)
Z
dx
x
6
+ 3x
4
− 4
8)
Z
x
5
+ x
4
− 8
x
3
− 4x
dx
9)
Z
dx
(x
2
+ 2x + 10)
3
Podstawienia Eulera – dotyczą całek postaci
Z
F (x,
√
ax
2
+ bx + c)dx,
gdzie F (x, z) jest wyrażeniem wymiernym zmiennych x, z.
Pierwsze podstawienie Eulera (dla a > 0):
√
ax
2
+ bx + c = ±
√
ax + y
x =
y
2
− c
b ∓ 2
√
ay
!
.
Drugie podstawienie Eulera (dla c > 0):
√
ax
2
+ bx + c = ±
√
c + xy
x =
b ∓ 2
√
cy
y
2
− a
!
.
Trzecie podstawienie Eulera (stosowane, gdy wielomian ax
2
+ bx + c ma dwa różne
pierwiastki rzeczywiste α, β):
√
ax
2
+ bx + c = (x − α)y
x =
aβ − αy
2
a − y
2
!
.
1
