Transformacje częstotliwościowe

Transformacja Fouriera

Z rozkładu funkcji okresowej na nieskończony szereg Fouriera otrzymujemy:

X =

∫

− ∞

∞

x t e

−

j t

dt

gdzie 

=

2 f

tr. odwrotna

x t =

1

2 

∫

−∞

∞

X  e

j  t

d 

Przypadek dyskretny:

X k =

∑

n=0

N −1

x ne

−

j 2 n k

N

 gdzie

0≤k ≤ N −1

(dyskretne częstotliwości)

z zależności Eulera

e

j 

=

cos− j sin 

otrzymujemy równanie równoważne:

X k =

∑

n=0

N −1

x n

[

cos 2 n

k

N

−

j sin 2 n

k

N



]

Oba powyższe wzory stanowią definicję DFT

tr. odwrotna: 

x  n=

1

N

∑

k =0

N −1

X k e

j 2 n k

N

 gdzie 

0≤n≤N −1

Funkcja  X k =A k 

j  k 

nazywana jest dyskretnym widmem lub dyskretną transformatą 

Fouriera ( DFT ) sygnału  x  n  gdzie:

●

∣

X k ∣= Ak   widmo amplitudowe (moduł)

●

arg  X k =k   widmo fazowe (argument)

- 1 -

Własności tr. Fouriera

1) Okresowa

X k N = X k =

∑

k=0

N− 1

x n e

−

j 2 

N



kN n

2) odwracalna

N=1024;n=(0:N-1);x=randn(1,N);X=fft(x);y=ifft(X);

plot(n,x,';x;',n,real(y),';y;'); 

3) liniowa

dla  x  n=a y nb z n  mamy

X k =a Y  k b Z k 

4) przesunięcie w czasie

dla 

x  n= y nn

0



 mamy 

X k =

∑

n=0

N −1

y  ne

−

j 2 nn

0

 k

N

5) przesunięcie w częstotliwości (modulacja częstotliwości)

dla 

X k =Y  k k

0

=

1

N

∑

k=0

N −1

Y  k k

0



e

−

j 2 n



k k

0



N

 mamy 

x  n=e

j 2 n

k

0

N

y  n

6) splot (w dziedzinie czasu)

dla  x  n= y n∗zn  mamy

X k =Y  k  Z  k 

(operacja splotu pokazać wzór; dalsze wyjaśnienia przy okazji filtrów)

7) splot w częstotliwości

dla  x  n= y n z  n  mamy

X k =Y  k ∗Z k 

- 2 -

Interpretacja geometryczna DFT

X k =

∑

n=0

N −1

x ne

−

j 2 n k

N

wiemy, że  F

s

=

2  oraz  f =

2  k

N

 stąd 

f =

2  k

N

=

F

s

k

N

Kombinacja liniowa elementów bazy

w=

∑

n



nv n

Zatem 

=

x n=[ x 0 , x 1 , ... , x  N −1] oraz

v  n=e

−

j 2 n k

N

 to  w  k =? ??

Pytania:

1) Czy wektory

v  n=e

−

j 2 n k

N

tworzą bazę przestrzeni 

ℂ

N

?

2) Jaką bazę (ortonormalną czy ortogonalną) ?

N=512; n=(0:N-1);
v0=cos(2*pi*0/N*n);

v1=cos(2*pi*1/N*n);
v2=cos(2*pi*2/N*n);

v3=cos(2*pi*3/N*n);
plot(n,v0,';k=0;',n,v1,';k=1;',n,v2,';k=2;',n,v3,';k=3;');

v0*v0', v1*v1', v1*v2'

N=4;n=(0:N-1);k=(0:N-1)';

E = e^(-j*2*pi*k*n/N);
E*E'

- 3 -

Przykłady

Impuls Kroneckera

x  n= n

X k =

∑

n=0

N −1

 

ne

−

j 2 n k

N

=

1 e

−

j 0

=

1

N=256; x = zeros(N,1); x(1) = 1;

X=fft(x);f=(0:N-1)./N;
plot(f,abs(X),';abs(X);',f,real(X),'*;real(X);',f,imag(X),'o;imag(X);');

axis([0,1,-1,2]);

Funkcja grzebieniowa



T



n =

∑

k=−∞

∞

 

n−kT 

X k =

∑

n=0

N −1



T



ne

−

j 2 n k

N

=

∑

n=0

N −1

e

−

j 2 n k

N

=

{

N , k =0

0,

k ≠0

N=256; x = ones(N,1); x(1) = 1;

X = fft(x); f=(0:N-1)./N;
plot(f,abs(X),';abs(X);',f,real(X),'*;real(X);',f,imag(X),'o;imag(X);');

axis([0,1,-1,2]);

(w obu przypadkach X(k) jest rzeczywiste !!!, ale to wyjątek)

Dla sygnałów rzeczywistych  x ∈R

N

 (wszystkie próbki sygnału rzeczywiste) widmo

X k =A k 

j k 

 posiada dodatkowo własności:

=========================================================

●

A k = A−k             - widmo amplitudowe jest parzyste

●



k =−  − k      - widmo fazowe nieparzyste

=========================================================

N=512; Fs=1000; n=(0:N-1)./Fs;
x=2*sin(2*pi*113*n)+sin(2*pi*218*n)+0.01*randn(1,N); plot(x);

X=fft(x);
f=((0:N-1)./N)*Fs;plot(f,abs(X));plot(f,10*log10(abs(X)));

plot(f,unwrap(arg(X)));

Y=[X,X];

fy=((-N:N-1)./N)*Fs;
plot(fy,abs(Y));

plot(fy,unwrap(arg(Y)));

f=((-N/2:N/2-1)/N)*Fs;plot(f,10*log10(abs(fftshift(X))));

- 4 -

Przekształcenie Hilberta

x

H



n=h n∗x n

gdzie 

h n=

1



n

 

FT {hn}=

∑

n=0

N −1

1



n

e

−

j 2 n k / N

=

∑

n=0

N −1

1



n

e

−

j 2 n f

=

H  f =

{



j , f 0

0, f =0

−

j , f 0

sygnał analityczny

x

a



n= x n jx

H



n 

(wyjaśnić o sygnale kwadraturowym) IQ

FT {x

a



n}=?

N=200;n=(0:N-1)./N;x=sin(2*pi*1*n);plot(x);

y=hilbert(x);
plot(n,x,';x;',n,real(y),';real(y);',n,imag(y),';imag(y);');

N=512; Fs=1000; n=(0:N-1)./Fs;
x=2*sin(2*pi*113*n)+sin(2*pi*218*n)+0.5*randn(1,N);

y=hilbert(x);
X=fftshift(fft(x));Y=fftshift(fft(y));

f=((-N/2+1:N/2)./N)*Fs;
plot(f,abs(X),';X;',f,abs(Y),';Y;');

x

a



n= An e

j n

gdzie

A n  to amplituda chwilowa sygnału



n  to faza chwilowa sygnału

Ponadto definiuje się częstotliwość (pulsację) chwilową sygnału (w przypadku ciągłym)



t=

d

dt



t=' t

1. przypadek sygnału szerokopasmowego

trudno zinterpretować amplitudę chwilową i fazę chwilową

2. przypadek sygnału wąskopasmowego

x

a



n=[ An e

j n 

e

−

j 

0

n

]

e

j 

0

n

=

ne

j 

0

n

gdzie 



n=A ne

j n−

0

n

 nazywamy obwiednią zespoloną sygnału (ang. complex envelope)

problem wyboru 



0

- 5 -