plik

Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia było przypomnienie podstawowych charakterystyk widmowych sygnałów,
problemów związanych ze zjawiskiem odbicia widma (aliasing) oraz przykładów
zastosowania prostego i odwrotnego dyskretnego przekształcenia Fouriera.

Zagadnienia

 Prosta i odwrotna DFT, podstawowe zależności, właściwości
DFT (discrete Fourier transform) – transformata Fouriera wyznaczona dla sygnału próbkowanego -
dyskretnego. przekształca skończony ciąg próbek sygnału

w ciąg harmonicznych

zgodnie ze wzorem:

gdzie:

- jednostka urojona, - numer harmonicznej, - numer próbki sygnału,

- wartość

próbki sygnału,

- liczba próbek.

Przekształcenie odwrotne do DFT dane jest następującym wzorem:

 Rozdzielczość częstotliwościowa DFT

Rozdzielczość częstotliwościową definiuje się często jako różnicę częstotliwości
sąsiadujących prążków widma DFT. Tak zdefiniowana rozdzielczość widma

zależy tylko od długości DFT i wynosi f s /N .
Bardziej praktyczne jest zdefiniowanie rozdzielczości widma jako minimalnej różnicy
częstotliwości dwóch sygnałów sinusoidalnych, które przy pomocy

DFT da się wyróżnić w sygnale wejściowym. Tak definiowana rozdzielczość

zależy od: długości DFT, liczby próbek sygnału czasowego zawartych w próbkach
poddawanych DFT oraz zastosowanej funkcji okna.

 Widmo amplitudowe

Wykres widma amplitudowego (wykres modułu

) pokazuje, jakie są

amplitudy składowych widmowych sygnału o różnych częstotliwościach.

 Widmo mocy, gęstość widmowa mocy: definicje, estymatory

Widmowa gęstość mocy, która opisuje jaki jest rozkład częstotliwościowy mocy sygnału lub
szeregu czasowego. Moc może tu być faktyczną mocą fizyczną ale dużo częściej definiuje się ją
abstrakcyjnie dla sygnałów jako kwadrat wartości sygnału.
Ciągłe widmo mocy: P(f) — gęstość mocy zawartej w przedziale częstotliwości (f, f + df).
Dyskretne widmo mocy: P(fn) — estymator gęstości mocy zawartej w przedziale
częstotliwości (fn − 1/(2N∆), fn + 1/(2N∆)).

 przykładowe przebiegi dla typowych sygnałów zdeterminowanych (sinus, prostokąt, piła) i

losowych (szum biały)

 Widmo jednostronne i dwustronne.

Widmo szeregu trygonometrycznego Fouriera jest widmem jednostronnym.
Widmo dwustronne ukazuje naturalne położenie prążków.

 Próbkowanie równomierne sygnałów

Próbkowanie równomierne, jest procesem konwersji sygnału analogowego (o czasie ciągłym)
do postaci próbek pobieranych w równych odstępach czasu. Próbkowanie przeprowadza się
poprzez podanie na wejście przetwornika analogowo-cyfrowego (A/C) sygnału ciągłego. Na
jego wyjściu otrzymuje się ciąg wartości liczbowych.

 Częstotliwość Nyquista

Maksymalna częstotliwość składowych widmowych sygnału poddawanego procesowi
próbkowania, które mogą zostać odtworzone z ciągu próbek bez zniekształceń. Składowe
widmowe o częstotliwościach wyższych od częstotliwości Nyquista ulegają podczas
próbkowania nałożeniu na składowe o innych częstotliwościach (zjawisko aliasingu), co
powoduje, że nie można ich już poprawnie odtworzyć.

 Dobór częstotliwości próbkowania.

Aby spróbkowany sygnał z postaci dyskretnej dało się przekształcić bez straty informacji z
powrotem do postaci ciągłej, musi być spełniony warunek twierdzenia Kotielnikowa-
Shannona o próbkowaniu (tak zwany warunek Nyquista). Mówi on, że częstotliwość
próbkowania nie może być mniejsza niż podwojona szerokość pasma sygnału przed
spróbkowaniem. Jeśli ten warunek nie jest spełniony, wówczas występuje zjawisko aliasingu.

 Nakładanie się widm (aliasing) i sposoby eliminacji tego zjawiska.

Aliasing to nieodwracalne zniekształcenie sygnału w procesie próbkowania wynikające z
niespełnienia założeń twierdzenia Kotielnikowa-Shannona. Zniekształcenie to objawia się
obecnością w sygnale składowych o błędnych częstotliwościach (aliasów).

Aby uniknąć aliasingu należy zapewnić, aby sygnał próbkowany był ograniczony pasmowo do
częstotliwości Nyquista czyli połowy częstotliwości próbkowania. Można to uzyskać przez
ograniczenie widma sygnału przy pomocy filtra, nazywanego filtrem anty-aliasingowym. Filtr
ten powinien mieć szerokość pasma mniejszą niż połowa częstotliwości próbkowania.
Zazwyczaj stosuje się filtry o wyraźnie mniejszej szerokości pasma przepustowego po to, aby
uwzględnić niewielkie tłumienie, które zachodzi na odcinku przejściowym charakterystyki
filtra oddzielającego pasmo przepustowe od pasma zaporowego.
W praktyce, ze względu na to, że żaden sygnał o skończonym czasie trwania nie ma
ograniczonego pasma (co wynika z właściwości transformacji Fouriera), a żaden filtr nie tłumi
idealnie w swoim paśmie zaporowym, aliasing występuje zawsze. W prawidłowo
zaprojektowanym systemie wykorzystującym próbkowanie sygnału dąży się do minimalizacji
tego zjawiska, aby amplituda składowych aliasowych była pomijalnie mała.

Przebieg ćwiczenia

Na wstępie mieliśmy zbudować układ z rysunku poniżej

Funkcje modułów: Silder00 – Max. Value 1000, Resolution 1000, Unit Hz; (regulacja częstotliwości w
zakresie 0 - 1000 Hz z rozdzielczością 1 Hz), Generator00 – Modulation, Frequency modulation, Sine,
Amplitude: 4V, Offset: 0; FFT00 – Real FFT of a Real Signal; Y/t Chart00-01 – Auto Scaling. Rys. 1. Układ
do wyznaczania charakterystyk widmowych i obserwacji zjawiska aliasingu 1.2. Ustawić w menu
programu Experiment/Experiment Setup opcje: Sample Rate/Ch = 1024 Hz, Block Size = 1024.

Dla różnych przebiegów o częstotliwości kilkudziesięciu Hz (np. 50 Hz) zmieniając opcje modułów
wyznaczyliśmy i porównywaliśmy przebiegi:
• jednostronnego widma amplitudowego (Amplitude Spectrum),
• dwustronnego widma amplitudowego (Fourier Analysis),
• widma mocy (Power Spectrum),
• gęstości widmowej mocy (Power Density Spectrum).

Rysunek 1 Widmo sygnału po lewej Sygnał po prawej o częstotliwości 28Hz (nastawy podane powyżej) – FFT

Sine, Amplitude: 4V, Offset: 0, Frequency 28Hz

Analiza

Ilość prążków

Wartość prążka

Położenie prążka

Amplitude Spectrum

Przy początku charakterystyki 28Hz

Amplitude Spectrum,
Symetrical Axis

po końcach osi częstotliwości(odbite)
pierwsza 28Hz

FFT

po końcach osi częstotliwości(odbite)

FFT, Symetrical Axis

po środku osi częstotliwości

Sine, Amplitude: 4V, Offset: 2V; Frequency 28Hz

Analiza

Ilość prążków

Wartość prążka

Położenie prążka

FFT Symetrical Axis

Po środku charakterystyki - symetryczne

Amplitude Spectrum

2V drugi 4V

Przy początku charakterystyki 28Hz

Amplitude Spectrum,
Suppress DC
Component

Przy początku charakterystyki 28Hz

Power Spectrum
Suppress DC
Component

Przy początku charakterystyki 28Hz

Power Spectrum

Przy początku charakterystyki 28Hz

Power Density
Spectrum DC
Component

Przy początku charakterystyki 28Hz

Analiza

Ilość prążków

Wartość prążka

Położenie prążka

Square, Amplitude: 4V, Offset: 2V; Duty Cycle 0,5; Frequency 10Hz

Amplitude spectrum

2V; 5V; 1,7V

Przy początku charakterystyki

Triangular, Amplitude: 4V, Offset: 2V; Duty Cycle 0,5; Frequency 10Hz

Amplitude spectrum

2V; 3,25V;

Przy początku charakterystyki

Sawtooth, Amplitude: 4V, Offset: 2V; Duty Cycle 0,5; Frequency 10Hz

Amplitude spectrum

4V; 1,25V;

Przy początku charakterystyki

Wnioski

Wszystkie symulacje z programu Dasylab ukazują poprawności teorii przetwarzania sygnałów.
Ukazuje to między innymi sytuacja której nie sposób ukazać w sprawozdaniu – nieodpowiednie
dobranie częstotliwości sprawia odbicie charakterystyk widma sygnału, pogarsza parametry sygnału,
oraz deformuje je tak, że nie ma możliwości późniejszego odwzorowania sygnału.