1
00536 Fale EM i optyka D – part 5
TEORIA
00536
Fale EM i optyka D, część 5
Przejście światła przez płaską płytkę.
Soczewki i zwierciadła.
Rozpraszanie światła.
Instrukcja dla zdającego
1.
Proszę sprawdzić, czy arkusz teoretyczny zawiera 12
stron. Ewentualny brak naleŜy zgłosić.
2.
Do arkusza moŜe być dołączona karta wzorów i sta-
łych fizycznych. Jeśli jest, naleŜy ją dołączyć do od-
dawanej pracy.
3.
Proszę uwaŜnie i ze zrozumieniem przeczytać zawar-
tość arkusza.
4.
Proszę precyzyjnie wykonywać polecenia zawarte w
arkuszu: rozwiązać przykładowe zadania, wyprowa-
dzić wzory, gdy jest takie polecenie.
5.
Proszę analizować wszelkie wykresy i rysunki pod
kątem ich zrozumienia.
6.
W trakcie obliczeń moŜna korzystać z kalkulatora.
7.
Wszelkie fragmenty trudniejsze proszę zaznaczyć w
celu ich późniejszego przedyskutowania.
8.
Uzupełniaj wiadomości zawarte w arkuszu o informa-
cje zawarte w Internecie i dostępnej ci literaturze.
ś
yczymy powodzenia!
(Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy)
PESEL ZDAJĄCEGO
Aktualizacja
Styczeń
ROK 2009
Dane osobowe właściciela arkusza
2
00536 Fale EM i optyka D – part 5
TEORIA
Temat 175
Przejście światła przez pryzmat i płytkę
płaską równoległościenną.
1.
Bryła ograniczona ścianami płaskimi przecinającymi się pod kątem
ϕ
stanowi pryzmat.
Kąt dwuścienny
ϕ
nosi nazwę
kąta łamiącego pryzmatu
. Prosta AB, wzdłuŜ której przeci-
nają się płaszczyzny ścian bocznych, nosi nazwę
krawędzi pryzmatu
(rys. 1). Ściana prze-
ciwległa kątowi
ϕ
moŜe mieć kształt dowolny, gdyŜ nie ma ona wpływu na bieg promieni.
Często na schematycznych rysunkach pryzmatów trzecia ściana przecina ściany boczne w
równych odległościach od krawędzi. Wtedy pryzmat w przekroju prostopadłym do kra-
wędzi przedstawia się jako trójkąt równoramienny (rys. 2). Ściana przeciwległa do krawę-
dzi nosi nazwę
podstawy pryzmatu
.
2.
Niech promień monochromatyczny pada na ścianę pryzmatu pod kątem
α
, załamuje się
pod kątem
β
(rys. 2), pada na drugą ścianę pod kątem
β
1
i wychodzi z niej pod kątem
α
1
.
Normalne do obu ścian bocznych pryzmatu tworzą ze sobą kąt równy kątowi łamiącemu
pryzmatu
ϕ
. PrzedłuŜenie promieni padającego i wychodzącego z pryzmatu tworzą kąt
δ
,
zwany
kątem odchylenia pryzmatu
.
3.
Postaramy się wyrazić współczynnik załamania pryzmatu w zaleŜności od kątów
ϕ
i
δ
. W
tym celu musimy znaleźć zaleŜności między kątami
ϕ
,
δ
,
α
i
β
, aby móc podstawić odpo-
wiednie wartości na współczynnik załamania
(1)
β
α
sin
sin
=
n
.
Z twierdzenia o kącie zewnętrznym w trójkącie wynika, Ŝe
(2a)
1
β
β
ϕ
+
=
oraz (2b)
1
1
β
α
β
α
δ
−
+
−
=
.
We wzorach wystąpiły dodatkowo kąty
α
1
i
β
1
. Doświadczenie uczy, Ŝe zmiana kąta pa-
dania
α
pociąga za sobą zmianę kąta
α
1
i zmianę kąta
δ
. Początkowo przy zmniejszaniu
kąta padania
α
kąt odchylenia
δ
stopniowo się zmniejsza, przy pewnej wartości kąta
α
osiąga minimum, a następnie przy dalszym zmniejszaniu kąta
α
kąt odchylenia
δ
znów
rośnie. Tej najmniejszej wartości kąta odchylenia
δ
min
, zwanej kątem najmniejszego
odchylenia, odpowiada równość kątów
β
i
β
1
. Stąd wynika równość kątów
α
i
α
1
. Promień
załamany biegnie w tych warunkach równolegle do podstawy pryzmatu (rys. 3).
Rys. 2
ϕϕϕϕ
B
A
Rys. 1
β
1
δ
ϕ
α
1
α
N’
N
β
ϕ
3
00536 Fale EM i optyka D – part 5
TEORIA
Gdy spełnione są omówione powyŜej
zaleŜności, to równania (2a) i (2b)
przyjmą postać:
(3)
ϕ
= 2
β
oraz
(4)
δ
min
= 2
α
– 2
β
, a zatem
(5)
2
ϕ
β
=
i...
(6)
2
min
ϕ
δ
α
+
=
.
Po wstawieniu do wzoru (1)
otrzymamy:
(7)
2
sin
2
sin
min
ϕ
ϕ
δ
+
=
n
.
4.
Kąt
ϕ
zaleŜy od kształtu pryzmatu i jest dla danego pryzmatu stały. Kat
δ
min
natomiast jest
róŜny dla promieni róŜnych barw. Gdy na pryzmat pada wiązka promieniowania
złoŜonego (niemonochromatycznego), to kaŜdy ze składowych promieni załamuje się pod
innym kątem. Mówimy wówczas o zjawisku rozszczepienie (dyspersji) światła w
pryzmacie. JeŜeli na pryzmat szklany pada wąska wiązka światła białego, to na ekranie
ustawionym poza pryzmatem, otrzymamy smugę świetlną, w której barwy przechodzą
jedna w drugą w sposób ciągły. Smugę tę nazywamy widmem ciągłym. Najbardziej
odchylony od biegu pierwotnego jest promień fioletowy, najmniej odchylony – czerwony.
5.
Inna zaleŜność między wartością współczynnika załamania, kątem odchylenia i kątem
łamiącym znajdziemy przy załoŜeniu, Ŝe kąt łamiący pryzmatu i kąt padania promienia na
pryzmat są bardzo małe. Wtedy opierając się na przybliŜonej równości sin
α
≈
α
, a takŜe
sin
β
≈
β
piszemy:
(8)
β
α
=
n
oraz (9)
1
1
β
α
=
n
, czyli
(8a)
β
α
⋅
=
n
i (9a)
1
1
β
α
⋅
=
n
Podstawiając powyŜsze toŜsamości do wzoru na kąt odchylenia pryzmatu
δ
otrzymujemy:
(10)
(
)
(
) (
)
1
1
1
1
β
β
δ
β
β
α
α
δ
+
⋅
−
=
⇒
−
−
+
=
n
.
Ostatecznie dostajemy:
(11)
(
)
ϕ
δ
⋅
−
=
1
n
β
δ
min
ϕ
α
α
N’
N
β
ϕ
Rys. 3
4
00536 Fale EM i optyka D – part 5
TEORIA
6.
Płytka płasko-równoległościenna
. Podczas przejścia przez płytkę o ścianch płaskich i
równoległych promień ulega dwukrotnemu załamaniu (rys. 4). Jeśli ośrodek, z którego
promień wchodzi do płytki i ośrodke, do którego on z płytki wychodzi jest ten sam,
promień ulega równoległemu przesunięciu.
Temat 176
Soczewki i ich rodzaje.
1.
Dotychczas analizowaliśmy załamanie światła na powierzchniach płaskich; obecnie
przejdziemy do badania załamania światła w soczewkach.
2.
Soczewkami nazywamy bryły przezroczyste, ograniczone powierzchniami regularnymi:
kulistymi, parabolicznymi, walcowymi itp. Zajmiemy się soczewkami sporządzonymi z
materiału posiadającego większą gęstość optyczną niŜ ośrodek. Tego rodzaju soczewki
działają skupiająco na wiązkę promieni, jeśli w środkowej części są grubsze niŜ na brze-
gach. Na rys. 1 przedstawione są trzy rodzaje soczewek kulistych skupiających i trzy ro-
dzaje soczewek kulistych rozpraszających. Są to soczewki dwuwypukłe, płasko-wypukłe,
wklęsło-wypukłe. Soczewki zbierające przyjęto oznaczać schematycznie na rysunkach
symbolem ↕, a soczewki rozpraszające – symbolem .
β
β
α
α
Rys. 4
5
00536 Fale EM i optyka D – part 5
TEORIA
3.
Soczewka wykonana jest z przezroczystego materiału i moŜe skupiać przechodzące przez
nią promieniowanie i wytwarzać obraz. Soczewki wykonywane przez człowieka i stoso-
wane w przyrządach optycznych z reguły ze szkła lub plastyku, natomiast soczewkę oczną
tworzy przezroczysta błona wypełniona przejrzystą cieczą.
4.
Soczewka skupiająca załamuje promienie w kierunku swojej osi, która jest linią przecho-
dzącą przez środki krzywizn jej powierzchni ograniczających. W ten sposób równoległa
wiązka promieni jest przez soczewkę skupiana w jednym punkcie (rys. 2). KaŜdy wie, Ŝe
soczewka skupiająca moŜe skupić promienie słoneczne w punkcie i Ŝe natęŜenie światła w
takim punkcie moŜe być wystarczająco wysokie na to, Ŝeby zapalić np. papier. W so-
czewkach rozpraszających promienie są odchylane od osi soczewki (rys. 3).
5.
JeŜeli do soczewki docierają promienie z odległego źródła, tworząc wiązkę promieni pra-
wie równoległych do osi soczewki, to zostają one załamane przez soczewkę i skupione w
jednym punkcie F, zwanym
ogniskiem, tworząc tam obraz źródła. W soczewce rozprasza-
jącej promienie równoległe po przejściu przez soczewkę rozchodzą się na zewnątrz osi
soczewki, tak Ŝe wydaje się, iŜ wyszły one z jednego punktu F’ znajdującego się po dru-
giej stronie soczewki – jest to ognisko soczewki rozpraszającej. Odległość od środka so-
czewki do ogniska nazywa się
ogniskową f. Zwyczajowo przyjmuje się, Ŝe ogniskowa dla
soczewki skupiającej jest dodatnia, a dla soczewki rozpraszającej ujemna.
6.
Ogniskowa soczewki zaleŜy od współczynnika załamania światła n materiału, z którego
jest wykonana oraz od promieni krzywizn r
1
i r
2
powierzchni ograniczających soczewkę.
Związek pomiędzy tymi wielkościami moŜna wyprowadzić korzystając z prawa Snelliusa,
przy załoŜeniu, Ŝe kąty padania są małe. Wyprowadzenie tej zaleŜności jest stosunkowo
długie i podamy tu tylko ostateczną postać wzoru, która dla materiału o współczynniku
załamania n, w ośrodku o współczynniku załamania 1 (próŜnia), jest następująca:
F
f
główna oś optyczna soczewki
Rys. 2
Rys. 3
F’
f
6
00536 Fale EM i optyka D – part 5
TEORIA
(1)
( )
+
⋅
−
=
2
1
1
1
1
1
r
r
n
f
,
natomiast dla soczewki zanurzonej w cieczy o współczynniku załamania n
1
mamy:
(2)
+
⋅
−
=
2
1
1
1
1
1
1
r
r
n
n
f
Wzory (1) i (2) to
wzory szlifierzy soczewek
. Przy korzystaniu z tych równań warto pamię-
tać o przestrzeganiu kilku reguł:
⇒
powierzchnia płaska (np. przy analizie soczewek płasko-wypukłych) jest traktowana
jako wycinek powierzchni sferycznej o nieskończonym promieniu krzywizny,
⇒
w przypadku soczewek dwuwypukłych oba promienie krzywizny r
1
i r
2
uwaŜamy za
dodatnie,
⇒
w przypadku soczewek dwuwklęsłych oba promienie krzywizny r
1
i r
2
uwaŜamy za
ujemne,
⇒
jeśli stosując wzory (1) i (2) otrzymamy ujemną wartość ogniskowej, to oznacza, Ŝe
mamy do czynienia z soczewką rozpraszającą,
⇒
odwrotność ogniskowej zwana jest zdolnością skupiającą soczewki Z, którą mierzymy
w dioptriach:
f
1
= Z oraz [Z] = [m
-1
].
Temat 177
Wzór soczewkowy Gaussa.
1.
Na rys. 1 przedstawiono metodę graficznego wyznaczania połoŜenia obrazu. Do kon-
strukcji jest przydatna znajomość biegu tzw. promieni głównych:
⇒
promień (1) wychodzący z ogniska po przejściu przez soczewkę staje się równoległy
do osi optycznej soczewki,
⇒
promień (2) biegnący równolegle do osi optycznej, po przejściu przez soczewkę, prze-
cina oś optyczną w punkcie zwanym ogniskiem soczewki,
⇒
promień (3) przechodzący przez środek geometryczny soczewki nie zmienia kierunku
swojego biegu.
2.
WyposaŜenie w powyŜsze informacje najpierw rysujemy promień (2), a następnie pro-
mień (3):
f
y
x
F
P
0
A’
B’
B
A
7
00536 Fale EM i optyka D – part 5
TEORIA
W celu usystematyzowania symboli stosowanych przy opisie soczewek i obrazów za ich pomocą otrzymy-
wanych, podajemy poniŜej ich zestawienie:
⇒
AB – strzałka przedstawiająca symbol świecącego przedmiotu, jego rozmiary najczę-
ściej oznaczamy przez X,
⇒
x – odległość przedmiotu od soczewki, zwana odległością przedmiotową,
⇒
A’B’ – strzałka przedstawiająca symbol otrzymanego za pomocą soczewki obrazu,
którego wielkość oznaczamy jako Y,
⇒
y – odległość obrazu od soczewki, zwana odległością obrazową,
⇒
f – odległość ogniska od soczewki, zwana ogniskową,
3.
Wyprowadzimy teraz ilościowy związek między odległością przedmiotową, odległością
obrazową i ogniskową soczewki. Trójkąty ABO i A’B’O są trójkątami podobnymi, a za-
tem spełniona jest równość:
(1)
x
y
AB
B
A
=
'
'
,
trójkąty POF oraz A’B’F są takŜe trójkątami podobnymi, toteŜ:
(2)
f
f
y
PO
B
A
−
=
'
'
.
PoniewaŜ PO = AB, więc prawe strony równań (1) i (2) są sobie równe:
(3)
f
f
y
x
y
−
=
, czyli
(4)
y
x
f
1
1
1
+
=
Wzór (4) nazywamy wzorem dla cienkich soczewek lub wzorem soczewkowym Gaussa.
4.
Powiększenie liniowe soczewki określamy następująco:
(5)
x
y
X
Y
p
=
=
.
Im dalej od soczewki tworzy się obraz, tym jego rozmiary poprzeczne są wieksze.
Rys. 1
8
00536 Fale EM i optyka D – part 5
TEORIA
Temat 178 Obrazy otrzymywane za pomocą soczewek.
1.
W celu graficznego przedstawienia obrazów tworzących się w soczewkach cienkich, nale-
Ŝy zaznaczyć schematycznie soczewkę, nakreślić jej oś główną i zaznaczyć po obu stro-
nach soczewki punkty F i 2F. Obraz punktu znajdujemy biorąc pod uwagę bieg dwóch w
zasadzie dowolnych promieni (wybieramy je z reguły z trzech tzw. głównych promieni).
Punkt S na poniŜszych rysunkach jest zwany środkiem optycznym soczewki cienkiej. Pa-
miętajmy jeszcze, Ŝe obrazy rzeczywiste tworzą się na przecięciach promieni rzeczywi-
stych, a obrazy pozorne – na przecięciach przedłuŜeń promieni rzeczywistych.
2.
Obrazy otrzymywane za pomocą soczewek skupiających.
a)
odległość przedmiotowa jest większa od podwójnej ogniskowej: x
>
2f. Powstaje ob-
raz rzeczywisty, odwrócony i pomniejszony.
b)
odległość przedmiotowa spełnia warunek: f
<
x
<
2f. Powstaje obraz rzeczywisty, od-
wrócony i powiększony.
2F
2F
F
S
F
2F
2F
F
S
F
9
00536 Fale EM i optyka D – part 5
TEORIA
c)
przedmiot znajduje się w odległości mniejszej niŜ ogniskowa: x
<
f. Powstaje obraz
pozorny, prosty i powiększony.
3.
Obrazy otrzymywane za pomocą soczewek rozpraszających są pozorne, pomniejszone i
proste w kaŜdym przypadku, dlatego zamiast trzech rysunków podamy tylko jeden:
4.
Po analizie powyŜszych rysunków spróbuj odpowiedzieć na dwa pytania:
⇒
jaki obraz wytworzy soczewka skupiająca, jeŜeli przedmiot (świecącą strzałkę) umie-
ścimy w odległości x = 2f,
⇒
jaki obraz wytworzy soczewka skupiająca, jeŜeli przedmiot (świecącą strzałkę) umie-
ścimy w odległości x = f.
2F
2F
F
S
F
2F
2F
F
S
F
10
00536 Fale EM i optyka D – part 5
TEORIA
Temat 179
Równanie zwierciadła sferycznego.
1.
Zwierciadłami nazywać będziemy powierzchnie, które odbijają (całkowicie lub prawie
całkowicie) padające na nie promieniowanie. Dobrymi zwierciadłami są np. wypolerowa-
ne powierzchnie metali lub szkła. Jeszcze lepszym zwierciadłem jest powierzchnia świeŜo
nalanej do naczynia rtęci. Gdy światło przy przejściu z wody lub szkła do powietrza albo
ze szkła do wody pod odpowiednio duŜym kątem na powierzchnię graniczną, zachodzi
całkowite odbicie promieni padających. Powierzchnie całkowicie odbijające stanowią naj-
lepsze zwierciadła, jakimi rozporządzamy.
2.
Niech przedmiotem będzie punkt 0 na osi optycznej. Obrazem, w kierunku którego zbiega
się światło odbite przez zwierciadło, jest inny punkt I, takŜe na osi optycznej. Aby spełnić
prawo odbicia światła
α
=
α
’, powierzchnia zwierciadła musi być zakrzywiona, jak ilu-
struje to rysunek 1. Normalna wystawiona w jakimkolwiek punkcie powierzchni, jeŜeli
ma długość równą promieniowi krzywizny R zwierciadła, wyznacza środek krzywizny C.
Punkt, w którym oś przebija tę powierzchnię, nazywamy punktem wierzchołkowym W
zwierciadła. Odległość od przedmiotu do punktu wierzchołkowego nazywamy nazywana
jest odległością przedmiotową o, odległość zaś od punktu wierzchołkowego do obrazu –
odległością obrazową i.
3.
Równanie zwierciadła
moŜna wyprowadzić z twierdzenia mówiącego, Ŝe kąt zewnętrzny
w trójkącie równy jest sumie dwu przeciwległych kątów wewnętrznych. Jak wynika z
konstrukcji:
(1)
α
+
β
=
γ
, oraz
(2)
β
+ 2
α
=
δ
.
MnoŜąc równanie (1) przez 2 i
odejmując równanie (2) dosta-
jemy:
(3)
β
+
δ
= 2
γ
JeŜeli kąty są małe, to są równe
(lub w przybliŜeniu równe)
wyraŜeniom:
(4)
o
PW
W
PW
=
≈
0
β
,
(5)
R
PW
CW
PW
=
≈
γ
,
(6)
i
PW
IW
PW
=
≈
δ
.
Podstawiając wyraŜenia (4), (5)
i (6) do równania (3) dostaje-
my:
(7)
R
PW
i
PW
o
PW
2
=
+
,
Ostatecznie mamy:
(8)
R
f
i
o
2
1
1
1
=
=
+
JeŜeli o
→
∞
, wówczas odległość obrazowa staje się równa ogniskowej, i = f.
P
i
R
o
W
I
C
0
α
’
α
γ
δ
β
Rys. 1
Równanie zwierciadła
sferycznego.
11
00536 Fale EM i optyka D – part 5
TEORIA
4.
Równanie zwierciadła sferycznego zawiera dwa parametry opisowe, ogniskową f i pro-
mień krzywizny R, oraz dwie wielkości funkcyjne, odległość przedmiotową o oraz odle-
głość obrazową i. ChociaŜ to równanie wyprowadzone zostało dla zwierciadła wklęsłego i
dla przedmiotów umieszczonych dalej od zwierciadła niŜ jego środek krzywizny, to samo
równanie obowiązuje równieŜ dla kaŜdego połoŜenia przedmiotu, a takŜe dla zwierciadła
płaskiego i wypukłego.
5.
Reguła znaków
: Stosować będziemy następującą regułę znaków:
⇒
odległość przedmiotową przyjmuje się za dodatnią,
⇒
odległość obrazową przyjmuje się za dodatnią dla obrazu rzeczywistego i jako ujemną
dla obrazu pozornego (obraz leŜący po tej samej stronie co przedmiot jest rzeczywisty,
po przeciwnej – pozorny),
⇒
ogniskowe są dodatnie dla układów skupiających, ujemne dla układów rozpraszają-
cych,
⇒
promień krzywizny zwierciadła, tak jak ogniskowa, jest dodatni dla zwierciadła wklę-
słego (skupiającego) i ujemny dla zwierciadła wypukłego (rozpraszającego).
6.
Zwierciadło płaskie
. Dla zwierciadła płaskiego R
→
∞
. Dlatego z równania zwierciadła
sferycznego otrzymujemy:
(9)
∞
=
+
2
1
1
i
o
, czyli o = – i. ,
co oznacza, Ŝe zwierciadła płaskie tworzą obrazy pozorne, symetryczne względem zwier-
ciadła.
Temat 180
Obrazy otrzymywane za pomocą
zwierciadeł sferycznych.
1.
Bieg promieni docierających i odbijających się od zwierciadeł przypomina analizy zwią-
zane z soczewkami cienkimi:
Promień (1) nazywamy promieniem
równoległym.
Promień (2) nazywamy promieniem
ogniskowym.
Promienień (3) nazywamy promieniem
głównym.
C
F
(3)
(2)
(1)
Rys. 1
12
00536 Fale EM i optyka D – part 5
TEORIA
2.
Zwierciadła wklęsłe znali juŜ staroŜytni Grecy. Archimedes miał podobno podpalić statek
atakujących Rzymian za pomocą ogromnego zwierciadła wklęsłego. Tworzenie obrazów
przedstawiają poniŜsze rysunki. Strzałka oznaczona jako X oznacza przedmiot, zaś Y –
obraz.
Odległość przedmiotowa jest większa od
podwójnej ogniskowej (rys. 2). Powstaje
obraz
rzeczywisty,
odwrócony
i
pomniejszony.
Odległość przedmiotowa jest większa od
ogniskowej, ale mniejsza od podwójnej
ogniskowej. Powstaje obraz rzeczywisty,
odwrócony i powiększony.
Przedmiot znajduje się w odległości mniej-
szej od ogniskowej zwierciadła. Powstaje
obraz powiększony, pozorny i prosty.
Obraz utworzony za pomocą zwierciadła
wypukłego
jest
zawsze
pozorny,
pomniejszony i prosty.
Y
X
C
F
Rys. 2
X
Y
C
F
Rys. 3
C
F
Rys. 4
C
F
Rys. 5