Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
27-1
Wykład 27
27. Optyka geometryczna i falowa
27.1 Wstęp
27.1.1 Odbicie i załamanie
Przypomnienie kilku podstawowych wiadomości:
•
współczynnik załamania; bezwzględny i względny
n = c/v, n
2,1
= v
1
/v
2
(27.1)
•
prawo odbicia i załamania: promień odbity i załamany leżą w jednej płaszczyźnie
utworzonej przez promień padający i prostopadłą do powierzchni odbijającej w punkcie
padania (normalna padania) tzn. W płaszczyźnie rysunku poniżej.
•
dla odbicia
θ
1
=
θ
1
’
•
dla załamania
1
,
2
2
1
sin
sin
n
=
θ
θ
Prawa te można wyprowadzić z równań Maxwella, ale jest to matematycznie zbyt trud-
ne. Jednak te prawa optyki można wyprowadzić w oparciu o prostą (ale ważną) zasadę
odkrytą w 1650 r przez Pierre Fermata.
27.1.2 Zasada Fermata
Zasadę tę formułujemy w następujący sposób:
Promień świetlny biegnący z jednego punktu do drugiego przebywa drogę, na której
przebycie trzeba zużyć w porównaniu z innymi, sąsiednimi drogami, minimum albo
maksimum czasu
.
normalna
promie
ń odbity
promie
ń załamany
promie
ń padający
θ
1
θ
1
’
θ
2
czo
ło fali płaskiej
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
27-2
Np. najkrótszy czas między dwoma punktami w próżni - linia prosta.
Z tej zasady można wyprowadzić prawa odbicia i załamania.
Na rysunku są przedstawione dwa punkty A i B oraz łączący je promień APB.
Całkowita długość drogi promienia wynosi
2
2
2
2
)
(
x
d
b
x
a
l
−
+
+
+
=
gdzie x jest zmienną zależną od położenia punktu P (punkt odbicia promienia).
Zgodnie z zasadą Fermata punkt P (zmienną x) wybieramy tak, żeby czas przebycia
drogi APB był minimalny (lub maksymalny, lub niezmieniony). Matematycznie oznacza
to warunek
0
d
d
=
x
l
czyli
0
)
1
)(
(
2
]
)
(
[
2
1
2
)
(
2
1
d
d
2
/
1
2
2
2
/
1
2
2
=
−
−
−
+
+
+
=
−
−
x
d
x
d
b
x
x
a
x
l
lub przekształcając
2
2
2
2
)
(
x
d
b
x
d
x
a
x
−
+
−
=
+
Porównując z rysunkiem widzimy, że jest to równoważne zapisowi
sin
θ = sinθ’
czyli
θ = θ’
co jest prawem odbicia.
Podobnie postępujemy w celu wyprowadzenia prawa załamania. Rozpatrzmy sytuację
przedstawioną na rysunku poniżej.
A
B
d-x
x
P
d
a
b
θ
1
’
θ
1
’
θ
1
θ
1
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
27-3
Czas t, przelotu światła, z A do B dany jest wzorem
2
2
1
1
v
v
l
l
t
+
=
Uwzględniając n = c/v możemy przepisać to równanie w postaci
c
l
c
l
n
l
n
t
=
+
=
2
2
1
1
Wielkość l = n
1
l
1
+ n
2
l
2
nazywamy
drogą optyczną promienia
(nie mylić z drogą geome-
tryczną równą l
1
+ l
2
). Ponownie dobieramy x (punkt P), aby droga l była minimalna
czyli, aby dl/dx = 0. Ponieważ droga optyczna wynosi
2
2
2
2
2
1
2
2
1
1
)
(
x
d
b
n
x
a
n
l
n
l
n
l
−
+
+
+
=
+
=
otrzymujemy
0
)
1
)(
(
2
]
)
(
[
2
1
2
)
(
2
1
d
d
2
/
1
2
2
2
2
/
1
2
2
1
=
−
−
−
+
+
+
=
−
−
x
d
x
d
b
n
x
x
a
n
x
l
lub po przekształceniu
2
2
2
2
2
1
)
(
x
d
b
x
d
n
x
a
x
n
−
+
−
=
+
Porównując to z rysunkiem otrzymujemy
n
1
sin
θ
1
= n
2
sin
θ
2
A
B
P
d
v
2
v
1
n
2
n
1
x
d-x
l
1
l
2
θ
1
θ
1
θ
2
θ
2
a
b
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
27-4
co jest prawem załamania.
W omawianych obu przypadkach czas (i droga) był minimalny.
27.2 Warunki stosowalności optyki geometrycznej
Omawiając odbicie i załamanie fal (płaskich) posługiwaliśmy się pojęciem
pro-
mienia
. Ta wygodna konstrukcja myślowa przydatna do opisu tych zjawisk nie jest po-
mocna przy opisie
ugięcia światła
(fal) gdyż niemożliwe jest wydzielenie pojedynczego
promienia z padającej fali płaskiej. Żeby to sprawdzić prześledźmy zachowanie fali pła-
skiej padającej na szczeliny o różnej szerokości. To zachowanie jest przedstawione
schematycznie na rysunku poniżej dla szczelin o szerokości a = 5
λ, a = 3λ oraz a = λ.
Widzimy, że ugięcie staje się coraz bardziej wyraźne gdy a/
λ
→
0.
To ugięcie jest charakterystyczne dla
wszystkich rodzajów fal
. Dzięki temu możemy np.
słyszeć fale głosowe znajdując się za załomem muru.
Ugięcie fal na szczelinie (albo przeszkodzie) wynika z zasady Huyghensa.
a=5
λ
a=3
λ
a=
λ
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
27-5
27.2.1 Zasada Huyghensa
W tej teorii światła podanej przez Christiana Huyghensa w 1678 r. zakłada się,
że światło jest falą ( a nie strumieniem cząstek). Nie wspomina ona o elektromagne-
tycznym charakterze światła ani nie wyjaśnia, że światło jest falą poprzeczną. Teoria
Huyghensa oparta jest na konstrukcji geometrycznej (zwanej zasadą Huyghensa), która
pozwala przewidzieć gdzie znajdzie się czoło fali w dowolnej chwili w przyszłości, je-
żeli znamy jej obecne położenie. Zasada ta głosi, że
wszystkie punkty czoła fali można
uważać za źródła nowych fal kulistych. Położenie czoła fali po czasie t będzie dane
przez powierzchnię styczną do tych fal kulistych
. Poniżej przedstawiony jest na rysunku
elementarny przykład obrazujący, za pomocą elementarnych fal Huyghensa, rozchodze-
nie się fali płaskiej w próżni.
Dane jest czoło fali płaskiej w próżni. Zgodnie z zasadą Huyghensa kilka dowolnie wy-
branych punktów na tej powierzchni traktujemy jako źródła fal kulistych. Po czasie t
promienie tych kul będą równe ct, gdzie c jest prędkością światła. Powierzchnia styczna
do tych kul po czasie t jest nową powierzchnią falową. Oczywiście powierzchnia falowa
fali płaskiej jest płaszczyzną rozchodzącą się z prędkością c.
Uwaga: Można by oczekiwać ( w oparciu o tę zasadę), że wbrew obserwacji fala Huy-
ghensa może się rozchodzić zarówno do tyłu jak i do przodu. Tę „trudność” w modelu
eliminuje się poprzez założenie, że natężenie tych fal kulistych (Huyghensa) zmienia się
w sposób ciągły od maksimum dla kierunku „w przód” do zera dla kierunku „w tył”.
Metoda Huyghensa daje się zastosować jakościowo do
wszelkich zjawisk falowych
.
Można przedstawić za pomocą fal elementarnych Huyghensa zarówno odbicie fal jak
i ich załamanie.
My zastosujemy je do wyjaśnienia ugięcia fal na szczelinie (przeszkodzie).
ct
czo
ło fali
w chwili
t = 0
nowe po
łożenie
czo
ła fali
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
27-6
Rozpatrzmy czoło fali dochodzącej do szczeliny. Każdy jej punkt możemy potraktować
jako źródło fal kulistych Huyghensa. Jednak przez szczelinę przechodzi tylko część fal.
Fale leżące poza brzegami szczeliny zostają wyeliminowane i z tym jest związane zagi-
nanie wiązki w obszar tzw. cienia geometrycznego. Szczegóły dotyczące fal ugiętych
zostaną przedstawione dokładnie w dalszych wykładach. Tutaj zwróćmy jedynie uwagę
na to, że gdy szerokość szczeliny staje się duża (w stosunku do długości fali) a >>
λ to
ugięcie można zaniedbać. Wydaje się, że światło rozchodzi się po liniach prostych co
można przedstawić w postaci promieni podlegających prawom odbicia i załamania.
Mówimy, że mamy do czynienia z
optyką geometryczną
.
Warunkiem stosowalności optyki geometrycznej jest więc aby wymiary liniowe wszyst-
kich obiektów (soczewek, pryzmatów, szczelin itp.) były o wiele większe od długości
fali.
Jeżeli tak nie jest to nie możemy przy opisie światła posługiwać się promieniami, lecz
trzeba wziąć pod uwagę
falowy charakter światła
. Widać jak znaczące jest ugięcie fali
gdy szczelina ma rozmiar porównywalny z długością fali.
Mamy wtedy do czynienia z
optyką falową
.
Optyka geometryczna jest więc szczególnym (granicznym) przypadkiem optyki falowej.
Zajmiemy się teraz właśnie optyką falową.