22
ODBICIE ŚWIATŁA ZWIERCIADŁO PŁASKIE
Z punktu P wybiegają promienie świetlne w róŜnych kierunkach. Część z nich
trafia na zwierciadło płaskie. Promienie te ulegają odbiciu zgodnie z prawem
odbicia. Oznacza to, Ŝe kąt padania jest równy kątowi odbicia.
Do oka obserwatora wpada wiązka rozbieŜna, która zdaje się wychodzić z punktu
P
′
. Obraz punktu P, jaki widzi obserwator nazywamy pozornym. Powstaje on w
miejscu przecięcia się przedłuŜeń promieni świetlnych.
Zaznaczone
trójkąty
są
przystające, bowiem mają wspólny jeden bok i równe kąty przylegające do tego
boku. Wynika stąd, Ŝe pozorny obraz punktu P powstaje w takiej odległości za
zwierciadłem, w jakiej przedmiot jest
przed zwierciadłem.
P
P
′
P
P
′′′′
P
1
P
′′′′
2
P
′′′′
1
P
P
2
poziom oczu
23
ZWIERCIADŁA KULISTE
1. Ogniskowanie promieni świetlnych .
Zwierciadło kuliste wklęsłe stanowi część powierzchni kulistej wypolerowana tak, Ŝe
moŜe odbijać promienie świetlne. Prosta przechodząca przez środek czaszy
zwierciadła i środek krzywizny zwierciadła (O) jest nazywana osią optyczną
zwierciadła. Wiązka promieni równoległych do osi optycznej zwierciadła kulistego
wklęsłego po odbiciu od zwierciadła zostaje skupiona w jednym punkcie, w ognisku
zwierciadła (F). odległość ogniska od zwierciadła stanowi jego ogniskową (f).
Promienie równoległe do osi optycznej zwierciadła kulistego wklęsłego po odbiciu
od zwierciadła tworzą wiązkę rozbieŜną, przy czym przedłuŜenia tych promieni
przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten nazywamy pozornym ogniskiem
zwierciadła
2. Związek ogniskowej z promieniem krzywizny zwierciadła .
((((
))))
cos
αααα ====
−−−−
r
r
f
2
r
f
r
−−−− ====
2cos
αααα
Obrazy wytworzone przez dwa
zwierciadła tworzące kąt
α
Powstawanie obrazu człowieka stojącego
przed zwierciadłem.
O r F
f
F
O
f
αααα
αααα
αααα
O
r/2
F
r-f
24
f
r
r
==== −−−−
2cos
αααα
αααα ≈≈≈≈
⇒
⇒
⇒
⇒
0
f
r
≈≈≈≈
2
3. Aberracja sferyczna zwierciadła .
PoniewaŜ ogniskowa zwierciadła sferycznego zaleŜy od kąta padania promieni
ś
wietlnych, więc ognisko zwierciadła nie jest punktem. Aby powyŜsza wada nie była
istotna, zwykle wykorzystuje się jedynie środkowy fragment zwierciadła
4. Promienie uŜyteczne w konstrukcji obrazu .
F
O
O
F
P
F O
P’
P
P’
O
F
25
5. Równanie zwierciadła.
Rozwiązując powyŜszy układ
równań mamy:
y
x
y
f
f
x
==== −−−−
−−−−
2
2
2 f y - x y = x y - 2 f x
2 f y + 2 f x = 2 x y
: 2 x y f
1
1
1
x
y
f
++++ ====
- równanie zwierciadła
p
b
a
y
x
==== ====
- powiększenie
5. ZaleŜność y ( x).
Równanie zwierciadła określa zaleŜność między odległością obrazu od zwierciadła
(y) i odległością przedmiotu od zwierciadła (x). Dla zwierciadła wklęsłego
otrzymujemy:
1
1
1
x
y
f
++++ ====
y
xf
x
f
====
−−−−
Dla zwierciadła kulistego wypukłego, którego ogniskowa ma wartość ujemną
równanie zwierciadła przyjmuje postać:
1
1
1
x
y
f
++++ ==== −−−−
a
x
b
2f
y
Korzystając z podobieństwa zaznaczonych
trójkątów otrzymujemy:
b
a
y
x
b
a
y
f
f
x
====
==== −−−−
−−−−
2
2
26
y
xf
x
f
==== −−−−
++++
ZaleŜności te przedstawiają poniŜsze wykresy:
Korzystając z tych wykresów moŜna uzyskać istotne informacje o cechach obrazu
wytworzonego przez zwierciadło sferyczne:
Jeśli y
>>>>
0
, to obraz jest rzeczywisty .
Jeśli y
<<<<
0 , to obraz jest pozorny .
Porównanie (y) i ( x) pozwala ocenić, czy obraz jest powiększony, czy
pomniejszony.
ZWIERCIADŁO PARABOLICZNE
Zwierciadło takie stanowi wewnętrzna część wypolerowanej powierzchni tzw.
paraboloidy obrotowej. Jest to bryła, która powstaje w wyniku obrotu paraboli
wokół jej osi geometrycznej.
y
f
f
x
y
-f
x
-f
27
Wszystkie promienie równoległe do osi optycznej zwierciadła przecinają się w jego
ognisku . Zwierciadło to nie ma wady aberracji sferycznej.
ZWIERCIADŁO ELIPTYCZNE
Zwierciadło takie ma kształt elipsoidy obrotowej. Jest to bryła, która powstaje w
wyniku obrotu elipsy.
Wszystkie promienie wychodzące z jednego ogniska zwierciadła, po odbiciu od jego
powierzchni zostają skupione w drugim ognisku.
ZWIERCIADŁO HIPERBOLICZNE
Zwierciadło takie ma kształt hiperboloidy obrotowej. Jest to bryła , która powstaje w
wyniku obrotu hiperboli wokół jej osi geometrycznej.
28
Wszystkie promienie zbieŜne w jednym ognisku ,po odbiciu od powierzchni
zwierciadła zostają skupione w drugim ognisku . Zwierciadło jest stosowane do
zamiany wiązki silnie zbieŜnej na wiązkę o mniejszej zbieŜności.
WSPÓŁCZYNNIK ZAŁAMANIA
1. Bezwzględny współczynnik załamania.
Bezwzględnym współczynnikiem załamania danego ośrodka nazywamy stosunek
prędkości światła w próŜni do prędkości światła w danym ośrodku.
n
C
V
====
====
sin
sin
αααα
ββββ
2. Współczynnik załamania jednego ośrodka względem drugiego .
n
V
V
C
V
C
V
n
n
2 1
1
2
2
1
2
1
/
sin
sin
====
====
====
====
αααα
ββββ
n
n
n
2 1
2
1
/
====
CAŁKOWITE WEWNĘTRZNE ODBICIE KĄT GRANICZNY
Jeśli światło pada na granicę ośrodków od strony ośrodka o większym
współczynniku załamania, to kąt padania jest
mniejszy od kąta załamania. Przy pewnym
kącie padania
γγγγ
promień wychodzący ślizga
się po powierzchni granicznej Jeśli kąt
padania jest jeszcze większy, to ma miejsce
odbicie
promienia
od
powierzchni
C
próŜnia
α
αα
α
ββββ
ośrodek
V
V
1
ośrodek I
α
αα
α
ββββ
ośrodek II
V
2
1
C
2
V n
γ
3
3
2 1
29
granicznej. Zjawisko to nazywamy całkowitym wewnętrznym odbiciem, a kąt
γ
γ
γ
γ
kątem granicznym.
sin
sin
90
o
γγγγ
====
n
sin
γγγγ ====
1
n
Kąt graniczny dla szkła jest mniejszy od 45
o
. Całkowite wewnętrzne odbicie
znajduje zastosowanie w światłowodach , oraz w pryzmatach odbijających światło.
światłowód
pryzmat prostokątny odbijający światło
PRZECHODZENIE ŚWIATŁA JEDNOBARWNEGO PRZEZ PRYZMAT
Pryzmat jest bryłą przeźroczystą , której dwie ściany tworzą kąt
ϕ .
Promień światła
pada na pryzmat pod kątem
α .
Promień ten załamuje się na pierwszej ścianie
pryzmatu, a następnie biegnie do drugiej ściany pryzmatu, gdzie załamuje się
ponownie. Przechodząc przez pryzmat zostaje odchylony o kąt
ϑ.
Bieg promienia świetlnego w pryzmacie ilustruje poniŜszy rysunek.
Korzystając z twierdzenia o kącie zewnętrznym w trójkącie otrzymujemy :
1
2
2
1
δ−γ
δ−γ
δ−γ
δ−γ
α−β
α−β
α−β
α−β
ϕϕϕϕ
δδδδ
ββββ
ϕϕϕϕ
γγγγ
αααα
ϑϑϑϑ
30
ϑ = α − β + δ − γ
ϑ = α − β + δ − γ
ϑ = α − β + δ − γ
ϑ = α − β + δ − γ
ϑ = α + δ −( β + γ )
ϑ = α + δ −( β + γ )
ϑ = α + δ −( β + γ )
ϑ = α + δ −( β + γ )
; β + γ = ϕ
; β + γ = ϕ
; β + γ = ϕ
; β + γ = ϕ
ϑ = α
ϑ = α
ϑ = α
ϑ = α + δ − ϕ
+ δ − ϕ
+ δ − ϕ
+ δ − ϕ
αααα ====
S
r
sin
αααα ====
h
r
tg
H
r
αααα ====
S = h = H ⇒
⇒
⇒
⇒
α =
α =
α =
α =
sin
α =
α =
α =
α =
tg
αααα
Dla małych kątów :
n
==== αααα
ββββ
; n
==== δδδδ
γγγγ
ϑ =
ϑ =
ϑ =
ϑ =
n
β +
β +
β +
β +
n
γ − ϕ
γ − ϕ
γ − ϕ
γ − ϕ
= n (
β + γ ) − ϕ ; β + γ = ϕ
β + γ ) − ϕ ; β + γ = ϕ
β + γ ) − ϕ ; β + γ = ϕ
β + γ ) − ϕ ; β + γ = ϕ
MoŜna wykazać , Ŝe jeśli promień świetlny biegnie przez pryzmat symetrycznie , to
kąt odchylenia tego promienia jest najmniejszy.
ϑ = ϑ
ϑ = ϑ
ϑ = ϑ
ϑ = ϑ
min
⇔
⇔
⇔
⇔
α = δ ; β = γ
α = δ ; β = γ
α = δ ; β = γ
α = δ ; β = γ
ϑϑϑϑ
min
= 2
α − δ
α − δ
α − δ
α − δ
2 β = ϕ
2 β = ϕ
2 β = ϕ
2 β = ϕ
αααα
ϑϑϑϑ
ϕϕϕϕ
====
++++
min
2
ββββ ϕϕϕϕ
====
2
współczynnik załamania materiału pryzmatu :
n
====
sin
sin
αααα
ββββ
ϑ = (
ϑ = (
ϑ = (
ϑ = (
n - 1 )
ϕϕϕϕ
S
r
h H
r
31
n
====
++++
sin
sin
min
ϑϑϑϑ
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
2
2
Wyznaczając doświadczalnie
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
min
i
ϕϕϕϕ
moŜna zatem wyznaczyć współczynnik
załamania materiału, z którego wykonano pryzmat.
Współczynnik załamania zaleŜy od barwy światła i jest największy dla barwy
fioletowej, a najmniejszy - dla czerwonej. PoniewaŜ kąt odchylenia zaleŜy od
współczynnika załamania, stąd pryzmat rozszczepia światło.
Ś
wiatło białe przechodząc przez pryzmat tworzy wachlarz barw nazywany widmem
ś
wiatła.
SOCZEWKI
Soczewka jest bryłą przeźroczystą ograniczoną przez dwie powierzchnie sferyczne ,
lub jedną powierzchnię sferyczną a drugą płaską .Przekrój soczewki ma
charakterystyczny kształt :
promień fioletowy
promień czerwony
Światło białe
soczewki wypukłe soczewki wklęsłe
32
1. Ogniskowanie promieni świetlnych .
Promienie świetlne po przejściu przez soczewkę skupiającą przecinają się w jednym
punkcie. Punkt ten nazywamy ogniskiem ( F ). Odległość ogniska od soczewki
nazywamy ogniskową.
Promienie przechodzące przez soczewkę rozpraszającą tworząc wiązkę rozbieŜną , a
przedłuŜenia tych promieni przecinają się w punkcie zwanym ogniskiem pozornym .
2. Promienie uŜyteczne w konstrukcji obrazu.
3. Równanie soczewki.
Korzystając
z podobieństwa zaznaczonych trójkątów otrzymujemy:
b
a
y
x
====
F
F
P
P
F
P’
F
F
F
P’
a
f
y
x
b
33
b
a
y
f
f
==== −−−−
y
x
y
f
f
yf
xf
xy
==== −−−−
⇒
⇒
⇒
⇒
++++
====
1
1
1
x
y
f
++++ ====
-
równanie soczewki
p
y
x
b
a
==== ====
-
powiększenie
4. Związek ogniskowej z promieniami krzywizny i współczynnikiem załamania.
Promień świetlny wychodzi z punktu P i tworzy obraz w punkcie O.
Przyjmując , Ŝe soczewka odchyla promienie podobnie jak pryzmat otrzymujemy :
ϑ = (
ϑ = (
ϑ = (
ϑ = (
n - 1 )
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
Korzystając z twierdzenia o kącie zewnętrznym w trójkącie otrzymujemy :
α + β = (
α + β = (
α + β = (
α + β = (
n - 1 ) (
β + γ )
β + γ )
β + γ )
β + γ )
Jeśli kąty
α , β , γ , δ ,
α , β , γ , δ ,
α , β , γ , δ ,
α , β , γ , δ ,
są niewielkie , to:
((((
))))
h
x
h
y
n
h
r
h
r
++++ ====
−−−−
++++
1
1
2
ϕϕϕϕ
h
r
1
r
2
P
x
y
γγγγ
ϑ
ϑϑ
ϑ
ϕϕϕϕ
α
αα
α
ββββ
δδδδ
O
34
((((
))))
1
1
1
1
1
1
2
x
y
n
r
r
++++ ====
−−−−
++++
((((
))))
1
1
1
1
1
2
f
n
r
r
====
−−−−
++++
Jeśli soczewka o współczynniku załamania
n
s
znajduje się w ośrodku o
współczynniku załamania
n
0
, to powyŜsza zaleŜność przyjmuje postać:
1
1
1
1
1
2
f
n
n
r
r
s
o
====
−−−−
++++
5 . Zdolność skupiająca soczewki i układu soczewek.
Miarą zdolności skupiającej soczewki jest odwrotność jej ogniskowej:
D
f
====
1
Zdolność skupiająca soczewki w dioptriach jest odwrotnością jej ogniskowej
wyraŜonej w metrach.
Jeśli obraz wytworzony przez pierwszą soczewkę stanowi przedmiot dla drugiej
soczewki, to muszą być spełnione równania obu soczewek.
1
1
1
1
1
x
y
f
++++
====
1
1
1
1
2
d
y
y
f
−−−−
++++ ====
PowyŜszy układ równań jest spełniony zawsze , niezaleŜnie od wartości
f
1
, f
2
, x
i
d
.
W szczególności, gdy
d = O
otrzymujemy:
d
y
1
x
y
f
1
f
2
35
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
x
y
f
y
y
f
++++
====
−−−−
++++ ====
1
1
1
1
1
2
x
y
f
f
++++ ====
++++
1
1
1
1
2
f
f
f
u
====
++++
Zdolność skupiająca układu soczewek przylegających do siebie stanowi zatem sumę
zdolności skupiających poszczególnych soczewek.
D
u =
D
1
+ D
2
OKO
Gałka oczna ma średnicę około
24 mm
. Za tęczówką znajduje się soczewka.
Soczewka ma średnicę około
10 mm
i grubość
4 mm
. Składa się ona z kilku warstw
o współczynnikach załamania od
1,386
do
1,406
. Zdolność skupiająca oka wynosi
w przybliŜeniu
63
dioptrie, w tym soczewka ok.
20
dioptrii. Obraz przedmiotu
powstaje na siatkówce. Warstwa światłoczuła zawiera około
130 milionów
pręcików
czułych na światło, oraz około
7 milionów
czopków czułych na barwę. Czopki
rozmieszczone są głównie w centralnej części oka , w tzw. Ŝółtej plamce.
Jeśli przedmiot jest w odległości
X
od oka, to aby obraz na siatkówce był wyraźny
musi być spełnione równanie:
1
1
1
0
x
a
f
++++ ====
Zmiana odległości przedmiotu od oka powoduje zmianę ogniskowej układu
optycznego. UmoŜliwia to mięsień rzęskowy, który zmienia kształt soczewki.Tę
własność oka nazywamy zdolnością akomodacji. Odległość przedmiotu od oka, przy
której oko się nie męczy nazywamy odległością dobrego widzenia. Jej wartość dla
zdrowego oka wynosi
25 cm
. Oświetlenie siatkówki reguluje tęczówka.
x
a
36
WraŜenie świetlne w oku moŜe powstać juŜ wtedy gdy przez źrenicę przenika około
1000 fotonów światła widzialnego w ciągu sekundy.
LUPA
Ilość szczegółów przedmiotu, jakie potrafimy rozróŜnić, zaleŜy od kąta widzenia.
Jeśli przedmiot znajduje się w odległości dobrego widzenia, jest widoczny pod
kątem
αααα
. W wyniku zbliŜenia przedmiotu do oka zwiększa się kąt widzenia
ββββ
, ale
oko nie jest w stanie przystosować się i obraz staje się niewyraźny. Lupa
umieszczona przed okiem zwiększa zdolność skupiającą układu i obraz staje się
znowu ostry. Patrząc przez lupę widzimy obraz przedmiotu ponownie w odległości
dobrego widzenia . Powiększenie lupy wynosi:
p
h
x
h
d
d
x
====
====
====
ββββ
αααα
z równania lupy:
1
1
1
x
d
f
x
df
d
f
−−−− ====
⇒
⇒
⇒
⇒
====
++++
p
d
f
f
==== ++++
p
d
f
==== ++++
1
p
d
f
≈≈≈≈
Przy pomocy lupy moŜna otrzymać powiększenie kilkakrotne. Maksymalne
powiększenie jakie moŜna uzyskać za pomocą lupy złoŜonej z kilku soczewek
sięga 20.
MIKROSKOP
f
h
h
αααα
ββββ
d
x
37
Obiektyw i okular mikroskopu są rozmieszczone na wspólnej osi optycznej w
odległości wzajemnej
1
. (
1
- długość tubusa
mikroskopu ).
Niewielki przedmiot umieszczony w odległości
x
od obiektywu zostaje dobrze oświetlony.
Obiektyw wytwarza obraz rzeczywisty tego
przedmiotu w odległości
y
od obiektywu.
Okular wytwarza powiększony i pozorny obraz
przedmiotu w odległości dobrego widzenia
d
.
Powiększenie
mikroskopu
jest
iloczynem
powiększenia obiektywu i okularu. Muszą być
spełnione równania obiektywu i okularu.
1
1
1
x
y
f
ob
++++ ====
1
1
1
l
y
d
f
ok
−−−−
−−−− ====
p
y
x
d
l
y
==== ⋅⋅⋅⋅
−−−−
Rozwiązując powyŜszy układ równań moŜna określić powiększenie mikroskopu w
zaleŜności od
f
ob
, f
ok
, l
i
d
. Zwykle jednak stosuje się rozwiązanie przybliŜone,
wykorzystując zaleŜności:
x
≈≈≈≈
f
ob
y
≈≈≈≈
l - f
ok
p
l
f
f
d
f
ok
ob
ok
≈≈≈≈
−−−−
⋅⋅⋅⋅
f
ok
<<<<<<<<
l ⇒
⇒
⇒
⇒
p
ld
f
f
ob
ok
====
⋅⋅⋅⋅
LUNETA ASTRONOMICZNA (Keplera )
Lunetę stanowi układ dwóch soczewek - obiektywu i okularu, umieszczonych na
wspólnej osi optycznej. Obiektywem jest soczewka skupiająca o moŜliwie duŜej
ś
rednicy i długiej ogniskowej. Okular jest soczewką o krótkiej ogniskowej i pełni
funkcję lupy.
Promienie światła dobiegające z bardzo odległego obiektu trafiają do obiektywu
f
ok
l
d
y
f
ob
x
αααα
α
α
α
α
d
β
β
β
β
h
f
ob
f
ok
38
lunety pod niewielkim kątem
αααα
i tworzą obraz obiektu praktycznie w ognisku
obiektywu . Okular daje ostateczny obraz pozorny w odległości dobrego widzenia,
widoczny pod kątem
ββββ.
Powiększenie kątowe lunety wynosi:
p
h
f
h
f
ok
ob
====
====
ββββ
αααα
p
f
f
ob
ok
====
Oprócz powiększenia kątowego luneta zapewnia większą jasność obrazu , poniewaŜ
do obiektywu lunety trafia duŜo więcej promieni świetlnych niŜ mogło by trafić
bezpośrednio do źrenicy oka. Dlatego właśnie przez lunetę widać gwiazdy
niewidoczne gołym okiem.
Układ optyczny lunety astronomicznej
jest stosowany w lornetce . Układ
pryzmatów słuŜy w niej do odwrócenia
obrazu, a jednocześnie pozwala na
skrócenie układu optycznego.
LUNETA ZIEMSKA ( Galileusza )
W tej lunecie okularem jest soczewka rozpraszająca.
Aby uzyskać ostateczny obraz pozorny i powiększony, obraz pośredni, który
powstaje niemal w ognisku obiektywu, musi wypaść za okularem, w odległości nieco
większej od wartości ogniskowej okularu. Układ optyczny lunety Galileusza ma
długość w przybliŜeniu równą róŜnicy ogniskowych obiektywu i okularu i jest
stosowany w lornetce teatralnej.
SPEKTROSKOP
Urządzenie to słuŜy do
otrzymywania
widma
ś
wiatła. Przed szczeliną
d
ϕϕϕϕ
39
kolimatora ustawia się źródło światła , którego skład widmowy trzeba ustalić.
Szczelina kolimatora jest w ognisku soczewki skupiającej, dzięki czemu na
pryzmat
pada wiązka równoległa. W wyniku rozszczepienia, wiązka ta dzieli się na tyle
wiązek równoległych ile barw zawiera analizowane światło. Wiązki te trafiają do
obiektywu lunetki obserwacyjnej, gdzie w płaszczyźnie ogniskowej obiektywu
powstaje tyle obrazów szczeliny spektroskopu, ile jest barw w badanym świetle.
Widmo światła stanowi seria barwnych prąŜków, z których kaŜdy jest obrazem
wąskiej szczeliny kolimatora.