Całka powierzchniowa zorientowana

Niech S - gładki płat powierzchniowy.

Płat orientujemy czyli rozróżniamy jego strony: dodatnią
. W każdym punkcie płata zorientowanego prowadzimy wektor normalny
o zwrocie od strony ujemnej do dodatniej.

Orientacja płata S wyznacza jednoznacznie orientację krzywej
.

Krzywa K jest zorientowana dodatnio, gdy obiegając krzywą K zgodnie z orientacją wektor normalny mamy po stronie lewej.

Jeśli S jest powierzchnią zamkniętą, to przyjmujemy, że jej zewnętrzna strona jest stroną dodatnią; a wewnętrzna - ujemną.

Niech
- wersor normalny do płata S,

Ponieważ
, więc wersor normalny zadany jest wzorem

, gdzie
są kątami między wektorem
a dodatnimi półosiami
.

Niech
- pole wektorowe określone na płacie S,

,

oraz niech

.

W każdym punkcie płata S tworzymy iloczyn skalarny

Wartość tego iloczynu jest długością rzutu wektora
na prostą normalną bo
.

Ponieważ

całka powierzchniowa niezorientowana

Definicja

Całką powierzchniową niezorientowaną funkcji
czyli

nazywamy całkę powierzchniową zorientowaną funkcji wektorowej
na płacie zorientowanym S i oznaczamy symbolem

Uwaga

Jeśli zmienimy orientację płata S na przeciwną, to

czyli

Definicja

Całkę powierzchniową zorientowaną nazywamy też strumieniem pola wektorowego
przez powierzchnię S.

Niech S - powierzchnia regularna, tzn. powierzchnia jest sumą płatów gładkich
.

Uwaga

Istnieją powierzchnie jednostronne (np. wstęga Mbiusa)

Zatem nie każdą powierzchnię regularną można zorientować.

Definicja

Niech
powierzchnia regularna dwustronna,

, gdzie
płat gładki dla

Wtedy

Uwaga

bo

Twierdzenie 1

Niech
płat powierzchniowy zorientowany

Wtedy
całka powierzchniowa po górnej stronie płata S :

,

całka powierzchniowa po dolnej stronie płata S :

Dowód

Ponieważ płat S zadany jest w postaci jawnej
, więc wektor normalny jest postaci

lub
.

Niech

Wtedy
oraz

Dowodzimy analogicznie.

Twierdzenie 2

Niech:
płat powierzchniowy zorientowany

Wtedy
-całka powierzchniowa po górnej stronie płata S :

-całka powierzchniowa po dolnej stronie płata S :

Twierdzenie 3

Niech:
płat powierzchniowy zorientowany

Wtedy
-całka powierzchniowa po górnej stronie płata S :

-całka powierzchniowa po dolnej stronie płata S :

Przykład

Obliczyć całkę
po zewnętrznej stronie powierzchni

.

Rozłóżmy całkę I na sumę trzech całek

, gdzie

i dla całki
skorzystajmy z ??????, gdzie
.

Powierzchnia S jest płatem powierzchniowym zadanym równaniem
, gdzie
. Stąd

- bo rzut powierzchni S jest krzywą
(a nie obszarem).

Rzutujemy S na płaszczyznę
. Rzut
powstaje z rzutowania zarówno części powierzchni S dla której
oraz z tej części S dla której
. Rozłóżmy zatem S na sumę

,

gdzie

oraz

.

wtedy

Z
,
,
otrzymujemy
………………………

Przykład

Obliczyć całkę

gdzie S jest zewnętrzną stroną powierzchni sfery

I sposób.

Oczywiście

Wystarczy więc obliczyć tylko jedną z tych całek, np.
Sferę S rozbijamy na dwie półsfery: górną (względem płaszczyzny OXY)
i dolną
; a następnie korzystamy z twierdzenia.

II sposób.

Tym razem skorzystamy z definicji całki powierzchniowej zorientowanej, a następnie z twierdzenia o zamianie całki powierzchniowej niezorientowanej na całkę podwójną.

Sfera S ma następującą parametryzację:

, gdzie

i wtedy wektor normalny jest postaci

dla

gdzie

Stąd

Twierdzenie

Jeśli płat powierzchniowy S zadany jest równaniami parametrycznymi

, gdzie
,

oraz

,

to

.

Dowód

Twierdzenie (Stokesa)

Jeżeli
, gdzie S jest dwustronną

powierzchnią gładką ograniczoną krzywą regularną przestrzenną zamkniętą K,

oraz

orientacja powierzchni S jest zgodna z orientacją krzywej
,

to

Uwaga

Jeśli powierzchnia S jest płaskim obszarem w płaszczyźnie OXY, to
, i z twierdzenia Stokesa otrzymujemy twierdzenie Greena.

Twierdzenie (Gaussa - Ostrogradskiego)

Jeśli S - powierzchnia zamknięta ograniczająca obszar przestrzenny V

oraz

pole wektorowe
,

to

.

Teoria pola

Niech

- obszar przestrzenny,
;

- pole skalarne,
;

- pole wektorowe,
.

Wektorowym operatorem różniczkowym (operatorem Hamiltona) nazywamy symboliczny wektor
,

.

Korzystając z symbolu
łatwo podać definicje funkcji pola skalarnego F i wektorowego
:

• gradient pola F

,

• dywergencja pola
  

• rotacja pola
  

Niech S - powierzchnia dwustronna,

.

Strumieniem pola wektorowego
przez powierzchnię S w kierunku wersora
nazywamy całkę powierzchniową zorientowaną

Niech K - krzywa zamknięta

Cyrkulacją pola
wzdłuż krzywej zamkniętej K nazywamy całkę krzywoliniową skierowaną

, gdzie
- wersor styczny do krzywej K

skierowany zgodnie z tą krzywą.

Wzór Stokesa

, gdzie krzywa K i powierzchnia S mają

zgodną orientację.

Wzór Gaussa - Ostrogradskiego

.

Definicja

Niech
,

.

Pole wektorowe
nazywamy polem potencjalnym, gdy
,
.

Funkcję U nazywamy potencjałem skalarnym pola wektorowego
.

Jeśli V - jednospójny powierzchniowo, to

- potencjalne

Ponadto potencjał U wyznaczamy ze wzoru

,

gdzie
jest ustalonym punktem,

Przykład

Obliczyć pracę wykonaną przez siłę
działającą wzdłuż obwodu trójkąta ABC o wierzchołkach A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1).

Praca

Aby skorzystać z twierdzenia Stokesa wyznaczmy wersor normalny do trójkąta ABC. Płaszczyzna zawierająca ten trójkąt ma równanie

,

a więc wektor normalny oraz wersor normalny mają współrzędne:

,
.

Ponadto

.

Zatem

,

gdzie

przy czym D jest rzutem ABC na płaszczyznę OXY.

Stąd zamieniając całkę powierzchniową niezorientowaną na całkę podwójną otrzymujemy