Całka powierzchniowa zorientowana
(całka powierzchniowa funkcji wektorowej)
Niech S – gładki płat powierzchniowy.
Płat
orientujemy
czyli rozróżniamy jego strony: dodatnią
S
S
+
−
i ujemną
. W każdym
punkcie płata zorientowanego prowadzimy wektor normalny
n o zwrocie od strony ujemnej
do dodatniej.
Orientacja płata S wyznacza jednoznacznie orientację krzywej
K S
⊂
.
Krzywa K jest zorientowana dodatnio, gdy obiegając krzywą K zgodnie ze wzrostem
parametru wektor normalny mamy po stronie lewej.
Jeśli S jest powierzchnią zamkniętą, to przyjmujemy, że jej zewnętrzna strona jest stroną
dodatnią; a wewnętrzna – ujemną.
Niech
n
e
- wersor normalny do płata S. Ponieważ
n
e
=
1
, więc wersor normalny zadany jest
wzorem
[
]
n
e
=
cos , cos ,cos
α
β
γ
,
gdzie
α β γ
, ,
są kątami między wektorem
n
e
a dodatnimi półosiami
OX
OY
OZ
+
+
+
,
,
.
Niech
F
- pole wektorowe określone na płacie S,
[
]
F
P Q R
S
=
→
, ,
:
R
3
,
oraz niech
F
C S
∈
( )
.
W każdym punkcie płata S tworzymy iloczyn skalarny
F n
P
Q
R
e
=
+
+
cos
cos
cos
α
β
γ
.
Wartość tego iloczynu jest długością rzutu wektora
F
na prostą normalną, bo
9
(
)
F n
F
F n
e
e
= ⋅
∠
cos
,
.
Ponieważ
F n
C S
e
∈
⇒ ∃
( )
całka powierzchniowa niezorientowana
F n dS
e
S
∫
.
Definicja
Całkę powierzchniową niezorientowaną
funkcji
F n
e
, czyli
(
)
F n dS
P
Q
R
dS
e
S
S
∫∫
∫∫
=
+
+
cos
cos
cos
α
β
γ
nazywamy
całką powierzchniową zorientowaną
funkcji wektorowej
F
na płacie
zorientowanym S i oznaczamy symbolem
Pdydz Qdxdz
Rdxdy
S
+
+
∫∫
.
Uwaga
Jeśli zmienimy orientację płata S na przeciwną, to
czyli
Pdydz Qdxdz
Rdxdy
Pdydz
Qdxdz
Rdxdy
S
S
+
+
= −
+
+
−
∫∫
∫∫
.
Niech S – powierzchnia regularna, tzn. powierzchnia która jest sumą płatów gładkich
S
S
n
1
,..,
.
Uwaga
Istnieją powierzchnie jednostronne (np. wstęga Mbiusa)
Zatem nie każdą powierzchnię regularną można zorientować.
Definicja
Niech
S
−
powierzchnia regularna dwustronna, S
S
S
S
n
=
∪ ∪ ∪
1
2
...
, gdzie S
i
−
płat gładki
dla
i
n
=
1,...,
.
Wtedy definiujemy
Pdydz Qdxdz Rdxdy
Pdydz Qdxdz Rdxdy
S
S
i
n
i
+
+
+
+
∫∫
∫∫
∑
=
:=
1
.
Uwaga
Pdydz
Qdxdz
Rdxdy
Pdydz
Qdxdz
Rdxdy
S
S
S
S
+
+
=
+
+
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
bo
[
]
Pdydz
Qdxdz
Rdxdy
P
Q
R
dS
S
S
+
+
=
+
+
=
∫∫
∫∫
cos
cos
cos
α
β
γ
10
F n dS
F n dS
e
S
e
S
−
∫∫
∫∫
= −
=
+
+
=
∫∫
∫∫
∫∫
P
dS
Q
dS
R
dS
S
S
S
cos
cos
cos
α
β
γ
=
+
+
∫∫
∫∫
∫∫
Pdydz
Qdxdz
Rdxdy
S
S
S
Twierdzenie 1
Niech
S
−
płat powierzchniowy zorientowany,
( )
( )
S z
f x y
x y
D
:
,
,
,
gdzie
=
∈
1
,
F
C S
∈
( )
.
Wtedy 1
całka powierzchniowa po górnej stronie płata S :
(
)
(
)
(
)
R x y z dxdy
R x y f x y dxdy
S
D
, ,
, ,
,
∫∫
∫∫
=
1
,
2
całka powierzchniowa po dolnej stronie płata S :
(
)
( )
(
)
R x y z dxdy
R x y f x y dxdy
S
D
, ,
, ,
,
∫∫
∫∫
= −
1
.
Dowód
Ponieważ płat S zadany jest w postaci jawnej
(
)
z
f x y
=
,
, więc wektor normalny jest postaci
[
]
n
f
f
x
y
= −
−
'
'
,
,1
lub
[
]
n
f
f
x
y
=
−
'
'
,
, 1
.
1
Niech S S
=
+
Wtedy
[
]
n
f
f
x
y
= −
−
'
'
,
,1
oraz
( )
( )
( )
( )
( )
( )
n
f
f
f
f
f
f
f
f
e
x
x
y
y
x
y
x
y
=
−
+
+
−
+
+
+
+
'
'
'
'
'
'
'
'
,
,
.
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
Zatem
(
)
(
)
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
R x y z dxdy
R x y z
dS
R x y f x y
f
f
f
f
dxdy
R x y f x y dxdy
S
def
S
tw
x
y
x
y
D
D
, ,
, , cos
, ,
,
, ,
,
.
'
'
'
'
+
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
=
=
=
+
+
+
+
=
γ
1
1
1
2
2
2
2
1
1
2
Dowodzimy analogicznie.
Twierdzenie 2
Niech
S
−
płat powierzchniowy zorientowany,
( )
( )
S y
g x z
x z
D
:
, ,
,
gdzie
=
∈
2
,
F
C S
∈
( )
.
Wtedy 1
całka powierzchniowa po górnej stronie płata S :
11
http://notatek.pl/calka-powierzchniowa-zorientowana?notatka