Płaszczyzna  zorientowana.  Każda  płaszczyzna  rozcina  przestr

z

eń  na  dwie  pół

p

rzestrzenie 

otwarte, zwane  stronami  tej  płaszczyzny

. 

Jeśli  jedną  stronę  płaszczyzny  (S)  wyróżnimy  jako 

dodatnią (a drugą jako ujemną)

, 

to mówimy

, 

że płaszczyzna (S) została 

z

orientowana. Jeśli oś 

(n)  prostopadła  do  zorientowanej  płaszczyzny  (S)  jest  skierowana  od  strony  ujemnej  do 
strony  dodatniej  tej  płaszczyzny, to  mówimy

, 

że  oś  (n)  jest  skierowana  dodatnio  względem 

zorientowanej płaszczyzny (S) 

 

 

 

Powierzchnia  zorientowana

. 

Niech  będzie  dana  powierzchnia  gładka  (S)  nie  zawierająca 

punktów  osobliwych,  a  więc  mająca  w  każdym  swoim  punkcie  P  płaszczyznę  styczną  i  oś 
normalną.  Mówimy,  że  powierzchnia  (S)  jest  zorientowana,  jeśli  każdemu  punktowi  P  tej 
powierzchni jest przyporządkowany jednostkowy wektor normalny 

e (P)  

w taki sposób, że jest on jednoznaczną funkcją wektorową punktu P ciągłą na całej 

powierzchni S.  

 

 

 
Jeśli istnieje funkcja e 

(

P) o takich własnościach, to funkcja   -e (P) ma również te własności i 

jedna z tych funkcji określa pewną orientację powierzchni (S), a druga określa na (S) orientację 
przeciwną do poprzedniej. Mówimy, że funkcja e (P) wyróżnia dodatnią stronę powierzchni (S), 
a  funkcja   

-

e  (P)  ujemną  stronę  tej  powierzchni

. 

Powierzchnia,  na  której  jest  możliwe  takie 

rozróżnienie  dwóch  stron,  nazywa  się  powierzchnią  dwustronną.  Istnieją  powierzchnie 
jednostronne, na których rozróżnienie dwóch stron nie jest mo

ż

liwe

. 

 

 

 

Wektor unormowany normalny płaszczyzny                      

        

 

 

                       

 

   

 

   

 

 

Wektor unormowany normalny płata gładkiego              

        

 

 

   

 

 

    

 

 

                    

 

 

 

 

     

 

 

 

 

    

 

 

 

Rzuty elementu na ściany układu. 

 

Liczby 

                                

są to pola trzech rzutów elementu 

  

 na ściany układu współrzędnych), z tym że pole każdego 

rzutu jest brane ze znakiem odpowiedniego kosinusa kierunkowego osi (n) normalnej do 

  

 i 

skierowanej  dodatnio  względem 

  .

  Liczby  te  nazywamy  rzutami  elementu 

  

  na  ścian

y 

układu 

Oxyz i oznaczamy symbolami 

                   

 

 

 

Przedstawienie  elementu  za  pomocą  wektora.  Niech  będzie  dany  w  przestrzeni  Oxyz 
element 

  

.  Utwórzmy  wektor  o  module  równym  polu 

  

  tego  elementu  i  o  kierunku  i 

zwrocie osi (n) normalnej do tego elementu i skierowanej dodatnio 

względem niego

. W

e

kt

o

r 

t

en 

o

kreśla wie

l

k

ość 

i 

o

ri

e

ntac

ję 

e

l

e

m

e

n

t

u 

   

w przes

trz

e

n

i

, 

j

est wi

ęc 

repr

ez

entantem tego 

element

u

. Ozna

c

zm

y te

n 

w

ekt

o

r symbolem 

  

. 

M

am

y 

r

ó

w

n

o

ść 

                                                    

 

 

 
Strumień wektora F przez element    jest iloczynem skalarnym wektorów F i   . 

 

 

 

Strumień  wektora  przez  powier

z

chn

i

ę

. 

Ni

e

ch  będą  dane  w  przestrzeni  O

x

yz

:  p

ł

a

t  (S)  o 

ró

w

naniu  z=z(x,  y)  zoriento

w

any 

(

ku 

g

ór

z

e  lub 

k

u  dołowi)  oraz  fun

kcja 

we

k

torowa 

               ograniczona  na  S,  która  każdemu  punktowi  P=(x,  y,  z)  przyporządkowuje 
wektor 

                                            

Strumień wektora F przez powier

z

chn

i

ę S oznaczamy 

                                          

 

 

 

 

 

 

Oblic

z

enie  strum

i

enia  p

rze

z  p

ł

a

t  d

an

y  j

awnie.  Jeśl

i 

zor

ie

nto

w

any  płat 

(

S) 

j

e

st  d

any  jawnie 

równanie

m 

            

a funkcj

a we

ktorowa 

F 

(P) 

je

s

t 

na pła

c

ie 

(S

) c

i

ąg

ł

a 

i 

o

g

ran

iczo

n

a, 

t

o s

t

rumie

ń 

wekt

o

ra F 

p

r

z

e

z 

płat 

(S) w

yra

ż

a 

s

i

ę 

wz

o

r

e

m