Zad 1. Oblicz całki:

a)

Z Z

S

x

2

y

2

zdxdy

, S-dodatnia strona dolnej połowy sfery x

2

+ y

2

+ z

2

= R

2

;

b)

Z Z

S

xzdxdy

+ xydydz + yzdxdz, S-zewnętrzna strona powierzchni ostrosłupa ograniczonego

płaszczyznami x = y = z = 0 oraz x + y + z = 1;

c)

Z Z

S

y

2

zdxdy

+ xzdydz + x

2

ydxdz

, S-powierzchnia zewnętrzna w I oktancie ograniczona pa-

raboloidą obrotową z = x

2

+ y

2

, walcem x

2

+ y

2

= 1 i płaszczyznami układu współrzędnych;

d)

Z Z

S

zdxdy

, S-zewnętrzna powierzchnia

x

2

a

2

+

y

2

b

2

+

z

2

c

2

= 1;

e)

Z Z

S

z

2

dxdy

, S-j.w.

Zad 2. Zamień na całkę potrójną:

a)

Z Z

S

x

2

dydz

+ y

2

dxdz

+ z

2

dxdy

;

b)

Z Z

S

q

x

2

+ y

2

+ z

2

[cos(N, x) + cos(N, y) + cos(N, z)]ds, N-wektor normalny;

c)

Z Z

S

xzdxdy

+ xydydz + yzdxdz, S-zewnętrzna strona powierzchni ostrosłupa ograniczonego

płaszczyznami x = y = z = 0 oraz x + y + z = 1.

Zad 3. Niech u ∈ C

2

. Sprawdzić, że jeżeli N jest wektorem normalnym skierowanym na

zewnątrz gładkiej powierzchni S ograniczającej bryłę V , to

Z Z

S

∂u

∂N

ds

=

Z Z Z

V

∆u dxdydz.