C

ał

k

a powierz

c

hniowa

. 

funkcji skalarnej  

Niech będą dane w przestrzeni Oxyz: płat powierzchniowy (S) określony 

r

ównaniem  

z = z(x, y)  (x

, 

y) (G) 

gdzie z(x, y) jest funk

c

ją klasy C

1

 w ob

s

zarze regularnym domkniętym (G) oraz fu

n

kcja f

, 

która 

k

a

żdemu punktow

i P 

= (x, y, z

) 

pł

a

ta (S) przyporządkowuje lic

z

bę 

f

(P) 

= f (x, y

, 

z)  

Zakładamy, 

ż

e funkcja f jest ograniczona na (S). 

 

 

 

Całka powierzchniowa funkcji f po płacie (S) jest oznaczana symbolami  

 

                               

 

 

 

 (S) - powierzchnia całkowania, f (P) - funkcja podcałkowa, P 

= 

(x, y, z) - punkt przebiegający 

powierzchnię całkowania, dS 

- 

różniczka pola płata

.  

 

 

 

Dzielimy obszar (G) na elementy   

 

. W każdym elemencie obieramy argument (x

i

, y

i

). 

Każdemu argumentowi odpowiada na płacie punkt  

P

i

 

= (x

i

, y

i

 z (x

i

, y

i

)) 

i płaszczyzna styczna w tym punkcie do płata, a na tej płaszczyźnie element styczny  

 

, którego 

rzutem na płaszczyznę Oxy jest element   

 

 

- każdemu punktowi P

i

, odpowiada pewna wartość funkcji f (P

i

);  

- wartość funkcji f (P

i

) mnożymy przez pole elementu stycznego    

 

, i tworzymy sumę takich 

iloczynów 

     

 

 

  

 

 

   

 

 

 

 

Całkę powierzchniową definiujemy jako granicę tej sumy, gdy       (największa ze średnic 
elementów stycznych). 

              

   

     

 

 

  

 

 

   

 

 

 

 

 

Sens geometryczny. Jeśli f (P) 

= 

1 wszędzie na (S), to powyższa całka jest polem płata (S)  

        

 

 

Sens fizyczny. Jeśli (S) jest płatem materialnym, a      oznacza gęstość w dowolnym punkcie 
P płata, to całka  

 

    

      

 

 

jest masą płata. 

 

 

 
Obliczenie całki powierzchniowej funkcji skalarnej  
Jeśli funkcja f punktu P 

= 

(x, y, z) jest ciągła i ograniczona na płacie (S) o równaniu 

z = z(x, y)  (x

, 

y) (G) 

to całka powierzchniowa funkcji f po płacie (S) istnieje i 

z

achodzi równość