dr Tadeusz Janaszak (Wrocław tel. [phone]) Algebra Odcinek 1 (16); zachowujemy ciągła numerację odcinków na całej stronie będącej nowoczesnym internetowym podręcznikiem matematyki na poziomie średnim i wyższym. Podobny materiał przerabia się na prawie wszystkich zajęciach zarówno w Uniwersytecie Ekonomicznym jak i szkołach prywatnych, jak np. WYŻSZA SZKOŁA BANKOWA, ponadto UNIWRSYTET PRZYRODNICZY, POLITECHNIKA i inne uczelnie, gdzie matematyka jest przedmiotem pomocniczym. Zapraszam na konsultacje, najlepiej najpierw zadzwonić tel. [phone] Wrocław.

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH

METODĄ GAUSSA

W tym odcinku zajmiemy się rozwiązywaniem układów równań liniowych metodą Gaussa. Zrobimy to na poziomie podstawowym. Bardziej rozbudowanych przykładów należy szukać w dalszych odcinkach zarówno w materiałach dla UE jak i Politechniki.

Zadanie 1. Rozwiązać metodą Gaussa układ równań liniowych:

1. 
   .

Rozwiązanie: Metoda Gaussa jest niczym innym, jak metodą przeciwnych współczynników znaną z kursu matematyki pobieranego obowiązkowo w gimnazjum, przy czym upraszcza się procedurę gimnazjalną, poprzez zastosowanie zapisu macierzowego; a zatem zapiszmy układ (1) w postaci macierzowej:

2. 
   

Pierwsza kolumna macierzy (2), to współczynniki występujące przy zmiennej x, druga, to współczynniki stojące przy zmiennej y, trzecia zawiera współczynniki stojące przy zmiennej z, wreszcie czwarta kolumna składa się z wyrazów wolnych. Pierwsze trzy kolumny noszą nazwą macierzy współczynników, cała macierz (2) nosi nazwę macierzy rozszerzonej; dlatego, że macierz współczynników jest rozszerzona o kolumnę wyrazów wolnych.

W metodzie Gaussa będziemy na macierzy rozszerzonej (2) wykonywać tzw. przekształcenia elementarne. Polegają one na tym, że dowolny wiersz będziemy mnożyć w pamięci przez dowolną liczbę dodatnią, lub ujemną i dodawać do innego wiersza. Czytelnik z łatwością pozna, że operacje te są niczym innym, niż mnożeniem równań stronami i dodawaniem równań również stronami, co jest istotą gimnazjalnej metody przeciwnych współczynników. Oczywiście każdy wiersz będzie można zapisać w postaci uproszczonej, to znaczy będzie można podzielić wierz przez liczbę i zapisać go w takiej postaci. Wykonamy taką operację praktycznie; podzielimy pierwszy wiersz przez dwa:

3. 
   , czyli
   ;

jest widoczne, że uprościliśmy pierwsze równanie.

W metodzie Gaussa będziemy dążyć do tego, aby w każdej kolumnie macierzy współczynników był tylko jeden wyraz różny od zera. W tym celu w macierzy współczynników szukamy jedynki. Znajdujemy ją w lewym górnym rogu: pierwszy wiersz i pierwsza kolumna. Wykonamy dwie operacje elementarne: mnożymy w pamięci pierwszy wiersz przez (-2) i dodajemy do drugiego, a następnie mnożymy w pamięci pierwszy wiersz przez (-3) i dodajemy do trzeciego. Pierwszy wiersz pozostawimy bez zmian (bz). Plan obu operacji elementarnych zapiszemy z boku macierzy:

4. 
   ;

po wykonaniu tych operacji mamy:

5. 
   , czyli
   .

Zwróćmy uwagę, że nie możemy operować wierszem pierwszym, gdyż popsulibyśmy dwa, dopiero co uzyskane zera w pierwszej kolumnie macierzy (5):

6. 
   ;

w macierzy (6) pierwszy wiersz zaznaczyliśmy z lewej strony literą U - od słowa UWAGA: nie operować pierwszym wierszem, bo popsujemy uzyskane zera. Nad pierwszą kolumną pojawiła się litera D - od słowa DOBRZE, co oznacza, że pierwsza kolumna jest już w takiej postaci, jaka jest wymagana w metodzie Gaussa. Litera Z pochodząca od słowa źle oznacza, że jeszcze trzeba stosować metodę Gaussa, aż w danej kolumnie li tylko jeden wyraz będzie różny od zera.

Pierwszym wierszem nie możemy operować, ponieważ w wierszu drugim, ani trzecim nie ma jedynki, wykonajmy operację polegającą na pomnożeniu w pamięci wiersza drugiego przez
i dodaniu tego wyniku do wiersza trzeciego:

7. 
   ;

po wykonaniu operacji dostajemy wynik:

8. 
   , czyli
   .

W tej operacji trzeci wiersz podzielimy przez 3.

9. 
   , czyli
   .

W trzeciej kolumnie i trzecim wierszu odnajdujemy jedynkę; będziemy operować trzecim wierszem: pomnożymy go w pamięci przez (-5) i dodamy do drugiego wiersza, a następnie w ogóle nie będziemy trzeciego wiersza mnożyć w pamięci (zawsze możemy powiedzieć, że pomnożyliśmy go w pamięci przez jeden) i dodamy do wiersza pierwszego:

10. 
    

po wykonaniu prostych obliczeń dostajemy:

11. 
    , czyli
    ;

Na wysokości trzeciego wiersza pojawiła się literka U, co oznacza, że nie będziemy operować trzecim wierszem, gdyż moglibyśmy popsuć zera w trzeciej kolumnie; nad trzecia kolumną znajdujemy literkę D, co oznacza, że kolumna te spełnia wymogi algorytmu Gaussa. W kolejnym kroku podzielimy przez (-7) wiersz drugi:

12. 
    , czyli
    ;

Kolejną operacje wykonamy posługując się wierszem drugim, jest to jedyny wiersz, na wysokości którego nie figuruje z lewej strony literka U; mnożymy w pamięci wiersz drugi przez (-3) i dodajemy do pierwszego:

13. 
    ,

w wyniku tej operacji elementarnej otrzymujemy

14. 
    , czyli
    ;

skasujemy jeszcze pomocnicze literki U oraz D:

15. 
    , czyli
    .

Zadanie zostało rozwiązane. Czytelnik uprzejmie sprawdzi rozwiązanie wstawiając uzyskane wyniki do równania (1).

Zadanie 2. Rozwiązać metodą Gaussa układ równań liniowych:

16. 
    .

Rozwiązanie: Zapisujemy układ (16) w postaci macierzowej:

17. 
    , czyli
    ;

W pierwszym wierszu, trzeciej kolumnie znajdujemy minus jedynkę; będziemy operować pierwszym wierszem:

18. 
    ;

po obliczeniach dostajemy macierz, z boku której zapiszemy dalszy plan; będziemy operować drugim wierszem; u góry i z prawej strony wpisujemy oznaczenia podobne, jak w zad. 1:

19. 
    , czyli
    ;

szybkie obliczenia wykonujemy w pamięci, lub w brudnopisie; poszczególne wiersze pomnożymy, lub podzielimy w zależności od potrzeb

:

20. 
    
    , czyli
    ;

dostajemy uproszczony układ równań, na który nanosimy plan kolejnej redukcji elementarnej:

21. 
    , czyli
    ;

po obliczeniach dostajemy:

22. 
    , czyli
    ;

w ostatnim kroku zamienimy miejscami wiersze i odrzucimy literki U- uwaga, D - dobrze,

Z - źle ; dostaniemy rozwiązanie w eleganckiej postaci:

23. 
    , czyli
    .

Na tym kończymy zadanie i cały odcinek. Kolejne przykłady podamy w następnych odcinkach. Rozważymy układy nieoznaczone i układy sprzeczne.

Koniec odcinka.

4

---