Układ równań liniowych- 

algebra macierzy, metoda 

eliminacji Gaussa, 

stacjonarne metody 

iteracyjne

Spis 

treści:

1. Równanie, macierz
2. Macierze:

– Dodawanie
– Odejmowanie
– Mnożenie
3. Metoda eliminacji Gaussa
– Przykład
4.Stacjonarne metody 

iteracyjne:

– Metoda Jacobiego

• przykład

– Metoda Gaussa – Seidela

• przykład

• Równanie to wyrażenie złożone z 

dwóch wyrażeń algebraicznych 
połączonych znakiem relacji równości

• Macierz – w matematyce układ liczb, 

symboli lub wyrażeń zapisanych w 
postaci prostokątnej tablicy

Macierze, podobnie jak 

liczby, można:

- dodawać 

 - odejmować 

 - mnożyć

- Dodawanie macierzy

- Odejmowanie macierzy

- Mnożenie macierzy

Przykład:

Metoda (eliminacji) Gaussa

–  jedna  z  najszybszych  metod 

rozwiązywania 

układów 

równań 

liniowych,  obliczania  rzędu  macierzy, 
obliczania  macierzy  odwrotnej  oraz 
obliczania 

wartości 

wyznacznika. 

Metoda 

Gaussa 

używa 

operacji 

elementarnych. 

Nazwa 

metody 

pochodzi  od  nazwiska  matematyka 
niemieckiego Carla Friedricha Gaussa.

Przykład:

Sprowadzając do postaci schodkowej (za pomocą 

operacji kolejno: odjęcia wielokrotności 1. wiersza 

od 2., 3. i 4. wiersza, zamienienia 2. i 3. wiersza, 

odjęcia 2. wiersza od 4. wiersza, odjęciu 3. 

wiersza od 4. wiersza):

Przyjmując parametr ‘t’ za X4 i 

rozwiązując układ od dołu uzyskujemy:

Zatem rozwiązaniem układu są 
czwórki:

Stacjonarne metody 

iteracyjne.

• służą do przybliżonego 

rozwiązywania układów równań. 
Rozwiązanie otrzymuje się w wyniku 
pewnego postępowania 
sekwencyjnego, przy czym w każdym 
jego kroku uzyskuje się przybliżenie 
szukanego rozwiązania.

Metoda 

Jacobiego

    

          

            

 

W metodzie tej układ równań liniowych

 

lub w postaci macierzowej

 

A x = b

Przekształcić należy do postaci:

lub w notacji 
macierzowej
            x = g + H x
 gdzie:

Kolejnym 

etapem 

jest 

iteracyjne 

wyznaczanie 

kolejnych 

przybliżeń 

wektora  x.  Jako  wektor  początkowy  x(0) 
przyjmuje  się  zwykle  wektor  wartości 
zerowych lub wyrazów wolnych , 

        tj.  x(0)  =  g.  Kolejne  przybliżenia 

wyznacza się wg reguły:

lub w postaci macierzowej

 x(k+1) = g + H x(k), k = 0, 1, 

2, ...

Metoda Gaussa - Seidela

   Metoda ta różni się od metody Jacobiego 

jedynie innym sposobem wyznaczania 

wektora x(k). Element xk1 wyznacza się tak 

samo, jak w metodzie Jacobiego, pozostałe zaś 

elementy wektora x(k)oblicza się korzystając 

zarówno z wartości wektora x(k-1), jak i z 

wyznaczonych już elemtów wektora x(k).

 Wektor x(k) wyznacza się w oparciu o 

wyrażenie:

Przykła

d 

Metody 

Jacobiego:

Przyjęcie wektora 
początkowego: x(0)=0
 x1(0) = 0
 x2(0) = 0
 x3(0) = 0
 x4(0) = 0

teracyjne wyznaczanie 
kolenych wektorów x(k):

Przykład metody Gaussa – 

Seidela:

Przyjęcie wektora 
początkowego x(0)=0
 x1(0) = 0
 x2(0) = 0
 x3(0) = 0
 x4(0) = 0

teracyjne wyznaczanie 
kolenych wektorów x(k):

KoNiEc