Seria: Informatyka
Metody niezawodności i
eksploatacji
Wykład 12
Kontrola stanu i lokalizacja
uszkodzeń

dr hab. inż. Tadeusz Nowicki prof.

nadzw. WAT

e-mail:[e-mail], tel. 6-

837118

1. Podstawy kontroli systemów technicznych

W ramach teorii eksploatacji rozpatruje się między
innymi

profilaktykę,

kontrolę

i

lokalizację

uszkodzeń

w

odniesieniu

do

systemów

technicznych. Profilaktykę systemów technicznych
omówiliśmy na poprzednich wykładach. Teraz
zajmiemy się problemami kontroli systemów
technicznych. Wykład dotyczyć będzie omówienia
metod powodujących znajomość stanu obiektu
technicznego. Nie można w sposób ciągły
kontrolować stanu systemu. Informacji o stanie
systemu

dostarczać

więc

powinny

kontrole

wyrywkowe. Przeprowadzenie kontroli wymaga
pewnych nakładów, zatem sposób organizacji
procesu kontroli jest problemem samym w sobie.
Sporządza się tak zwany plan kontroli systemu.
Jego konstrukcja zależy silnie od własności samego
systemu. W praktyce szczególną role mają tzw.
sztywne plany kontroli polegające na wyznaczeniu
ustalonych

chwil

kontroli.

Plan

kontroli

scharakteryzowany będzie wtedy jednoznacznie
ciągiem liczb S=(t

1

, t

2

,..., t

k

), gdzie t

k

oznacza

chwilę k-tej kontroli.

1.1. Kontrola obiektów nienaprawialnych.

Przyjmijmy założenia:

-informacje o stanie systemu uzyskać możemy

tylko w wyniku kontroli,

-czas trwania kontroli jest pomijalnie mały,
-w czasie trwania kontroli system nie ulega

uszkodzeniom,

-koszt każdej kontroli wynosi C

1

,

-straty wywołane uszkodzeniem systemu są

proporcjonalne do czasu pracy obiektu z nie
wykrytym uszkodzeniem, a koszt na jednostkę
czasu wynosi C

2

,

-eksploatacja systemu kończy się wraz z

uszkodzeniem systemu.

Oznaczmy przez N(t) liczbe kontroli w
przedziale czasu (0,t) i przez Y

t

przedział czasu

między powstaniem uszkodzenia, a jego
wykryciem pod warunkiem, że uszkodzenie
nastąpiło w chwili t.

Wtedy łączny koszt jego eksploatacji
wyniesie:





t

2

1

Y

C

1

)

t

(

N

C





Gdzie pierwszy składnik oznacza koszt wszystkich
N(t)+1

kontroli,

a

drugi

koszt

pracy

uszkodzonego systemu w czasie Y

t

.

Jeśli znany jest rozkład F(t) czasu pracy
bezawaryjnej systemu, to wartość oczekiwaną
strat można wyznaczyć następująco:









)

t

(

dF

EY

C

1

)

t

(

EN

C

C

0

t

2

1











przy czym EN(t) jest wartością oczekiwana
liczby kontroli do chwili uszkodzenia, EY

t

jest wartością oczekiwaną czasu pracy
uszkodzonego obiektu.

Określenie optymalnej strategii kontroli polega
na wyznaczeniu takich chwil t

1

< t

2

<...< t

k

<... (być

może losowych, w których należy przeprowadzić
kontrolę tak, aby koszt C był minimalny. W
sytuacji, w której chwile przeprowadzenia
kontroli nie są zmiennymi losowymi, wartość
oczekiwaną kosztów można wyznaczyć ze wzoru:





 

















0

k

1

k

t

k

t

1

k

2

1

)

t

(

dF

)

t

t

(

C

)

1

k

(

C

C

Można pokazać, że jeśli F(t) jest ciągła ze
skończona wartością oczekiwaną, to istnieje
optymalna strategia kontroli. Dowodzi się,
ze gdy F(t)=1 dla tT i jeśli

T

t

0

dla

)

t

T

)(

C

/

C

(

1

1

)

t

(

F

2

1











(1
)

To optymalna strategia kontroli polega na
przeprowadzeniu pojedynczej kontroli w chwili
T,

jeśli

natomiast

istnieje

takie

0t T, że

T

t

0

dla

)

t

T

)(

C

/

C

(

1

1

)

t

(

F

2

1











To optymalna strategia kontroli wymaga
przeprowadzenia dodatkowo co najmniej jednej
kontroli w rozpatrywanym przedziale czasu.
Załóżmy ponadto, że F(t) jest różniczkowalna, a
f(t)=F’(t) jest gęstością Polyi rzędu 2 (funkcja
f(t) jest określona w przedziale (-, ) o

wartościach rzeczywistych i intensywność awarii
jest stale monotonicznie rosnąca). Optymalna
strategia kontroli spełnia warunki

,...

2

,

1

k

dla

0

t

C

k









2

1

k

1

k

k

k

1

k

C

C

)

t

(

f

)

t

(

F

)

t

(

F

t

t













Uwzględniając zatem zależność (1)
otrzymamy dla k=1,2,..., że

Jeżeli f(t

k

)=0, to

t

k+1

- t

k

= i dalsze kontrole są

niepotrzebne. Po ustaleniu t

1

>0 można

obliczyć t

2

, t

3

,... Rekurencyjnie wykorzystując

wzór (2). Tym samym problem określenia
optymalnej strategii {t

k

*} sprowadza się do

wyznaczenia t

1

*.

W

pewnym

uproszczeniu

algorytm

wyznaczania optymalnego planu kontroli jest
następujący:

• wyznaczyć t

1

ze wzoru (2)

• rekurencyjnie wyznaczyć chwile kontroli t

2

,

t

3

,..., t

k

... .

(2)

1.2. Kontrola obiektów naprawialnych.

Zakładaliśmy, że okres eksploatacji kończył
się wraz z wykryciem uszkodzenia, a
kryterium jakości był łączny koszt całego
okresu eksploatacji. W przypadku obiektów
naprawialnych, bezpośrednio po wykryciu
uszkodzenia przystępuje się do odnowy
systemu

przywracając

go

do

pełnych

własności eksploatacyjnych.

Przyjmijmy, że C

1

jest kosztem pojedynczej

kontroli, C

2

jednostkowym kosztem pracy

uszkodzonego systemu, a

C

3

kosztem

pojedynczej odnowy. Przy przyjętej strategii
kontroli Z=(

t

1

,t

2

,...,t

k

) średnie koszty na cykl

wyniosą zgodnie z (1):





3

0

k

1

k

t

k

t

1

k

2

1

C

)

t

(

dF

)

t

t

(

C

)

1

k

(

C

)

Z

(

C











 









(3
)

Średnia długość cyklu wyniesie:

R

0

k

1

k

t

k

t

1

k

FF

T

)

t

(

dF

)

t

t

(

T

)

Z

(

T









 









gdzie

T

FF

jest

średnim

czasem

pracy

bezawaryjnej, zaś T

R

średnim czasem odnowy

systemu. Srednie jednostkowe straty przy t

wynoszą:

)

Z

(

T

)

Z

(

C

)

Z

(

K



W

dalszym

ciągu

założymy, że

2

R

FF

3

1

C

T

T

C

C







to znaczy, że koszt jednostkowy wynikający z
idealnej kontroli (uszkodzenie wykrywane
natychmiast) i odnowy nie przewyższają kosztu
jednostkowego

wynikającego

z

pracy

uszkodzonego

systemu.

W

przeciwnym

przypadku kontrole i odnowy nie miałyby sensu

W celu sformułowania optymalnej strategii
kontroli wprowadzimy najpierw wielkość
pomocniczą:

)

Z

(

aT

)

Z

(

C

)

Z

,

a

(

D





Wynika stąd naturalnie





)

T

T

(

a

C

)

t

(

dF

)

t

t

)(

a

C

(

)

1

k

(

C

)

Z

,

a

(

D

R

FF

3

0

k

1

k

t

k

t

1

k

2

1



















 









(4
)

Niech Z(a) będzie strategia minimalizującą
D(a,Z). Jeżeli spełnione są warunki drugiej
własności strategii optymalnej, to można
wyznaczyć Z(a) za pomocą podanego poprzednio
algorytmu.

Tym

razem

jednak

warunki

konieczne do tego, aby funkcja D(a,Z) miała
minimum względem Z, maja postać:

,...

2

,

1

k

,

0

t

)

Z

,

a

(

D

k









czyli ostatecznie

a

C

C

)

t

(

f

)

t

(

F

)

t

(

F

t

t

2

1

k

1

k

k

k

1

k















(5)

Można pokazać, że strategia minimalizującą
K(Z) jest strategia Z(a), przy czym a*
znajduje się z równania

0

*))

a

(

Z

*,

a

(

D



Wynika

stąd

algorytm

służący

do

znajdowania optymalnej strategii kontroli:

• dla zadanego (0<a

C

2

) określić strategię

kontroli

Z(a)

minimalizującą

D(a,D),

wykorzystując algorytm wcześniejszy,

•Zmienić wartość a w taki sposób, żeby

znaleźć a=a*, dla którego D(a*,Z(a*))=0;
wtedy Z(a*) jest strategią optymalną
minimalizującą K(Z).

2. Lokalizacja uszkodzeń w systemach
technicznych.

Kontrolę sprawności i lokalizację ewentualnych
uszkodzeń

obiektów

technicznych,

a

w

szczególności

urządzeń

cyfrowych,

można

zrealizować

zasadniczo

dwiema

metodami;

aparaturowa i programową. W pierwszym
przypadku zadanie to wykonuje specjalna
aparatura, a proces kontroli odbywa się w
trakcie normalnej pracy systemu. Kontrola
programowa polega na podawaniu na wejście
systemu (obiektu) specjalnych oddziaływań,
zwanych testami i badaniu reakcji obiektu na te
oddziaływania.

Wymaga

to

najczęściej

przerwania normalnej pracy obiektu i powoduje
określone straty. Powstaje zatem problem
takiego doboru testów i ich kolejności, aby
zamierzony

efekt

został

uzyskany

przy

najmniejszych stratach. Będzie on przedmiotem
dalszych rozważań. Załóżmy, że system złożony
jest z n odpowiednio ze sobą współdziałających
elementów (zbiór G). Każdy element systemu
może znajdować się w jednym z dwóch
możliwych stanów: sprawności lub uszkodzenia.

Prawdopodobieństwo zdarzenia, że i-ty element
znajduje się w stanie sprawności wynosi p

i

, a

prawdopodobieństwo, że element ten znajduje
się w stanie uszkodzenia wynosi q

i

=1- p

i

.

Uszkodzenia

poszczególnych

elementów

są

trwałe i wzajemnie niezależne.

Sprawdzenie sprawności systemu polega na
kolejnym zastosowaniu specjalnych testów, z
których

każdy

sprawdza

ściśle

określony

podzbiór elementów, a koszt (czas) sprawdzenia
testem T

i

wynosi C

i

(t

i

). Cel testowania może być

dwojaki:

• kontrola sprawności całego systemu,
•

lokalizacja

wszystkich

uszkodzonych

elementów.

W pierwszym przypadku wystarczy zastosować
test sprawdzający cały system. Zazwyczaj test
taki jest niemożliwy lub jest niecelowy ze
względu na nieokreśloność uszkodzenia i duże
straty. Zwykle stosuje się kolejno kilka prostych
testów.

Wynik testu T

i

jest dodatni, jeśli w sprawdzonym

przez ten test podzbiorze elementów G

i

nie ma

żadnego uszkodzonego elementu, ujemny, jeśli
wśród sprawdzonych elementów znajduje się co
najmniej jeden uszkodzony.

W ogólnym przypadku podzbiory G

i

sprawdzane

różnymi testami mogą się częściowo pokrywać.
Rozważane

zadania

sprowadzają

się

do

określenia takiej procedury testowania, aby cel
testowania został osiągnięty przy minimalizacji
średnich strat w minimalnym średnim czasie.
Polega to na wyborze ze zbioru testów {T}
niezbędnej grupy testów i określenia kolejności
ich użycia tak, aby proces testowania był
optymalny ze względu na przyjęte kryterium.
Procedura testowania jest na ogół rekurencyjna i
składa się zazwyczaj z dwóch etapów.

Pierwszy

etap

polega na określeniu kolejności testów dla

wyjściowego zbioru elementów G. Ten etap trwa
tak długo, aż wynik kolejnego testu będzie
ujemny albo wszystkie elementy okażą się
sprawne.

Zbiór

wszystkich

elementów

testowanego

systemu można podzielić na trzy następujące
podzbiory:

• G’ – podzbiór elementów, których sprawność
została
stwierdzona za pomocą poprzednich
testów,

• G* - podzbiór elementów sprawdzanych testem,
którego

wynik jest ujemny, z wyjątkiem tych

elementów

tego

podzbioru, których sprawność została

stwierdzona

za

pomocą

poprzednich testów,

• G

0

– podzbiór elementów jeszcze nie

sprawdzonych.

W drugim etapie

podzbiorem wyjściowym jest

zbiór G*. Dla wszystkich testów ze zbiory {T}
następuje

teraz

przewartościowanie

prawdopodobieństw wyniku dodatniego, ze
względu na to, że odnoszą się one teraz do
podzbioru G*.

2.1. Lokalizacja pojedynczego uszkodzenia.
Załóżmy, że system złożony jest z n
elementów. W chwili rozpoczęcia kontroli
wiadomo, że uszkodzony jest dokładnie jeden
element. Należy zlokalizować uszkodzony
element przy minimalnych średnich stratach.

2.1.1. Lokalizacja testami pokrywającymi się.

Przyjmijmy, że do chwili rozpoczęcia M-tego
kroku procedury testowania użyto ciągu
testów s

0

= (T

1

, T

2

,..., T

M-1

). Zadanie sprowadza

się

zatem

do

lokalizacji

uszkodzonego

elementu w podzbiorze G

0

. Na początku

procedury G

0

=G, a s

0

jest zbiorem pustym.

Po

zakończeniu

lokalizacji

wszystkich

niesprawnych elementów w podzbiorze G*
proces

lokalizacji

uszkodzeń

jest

kontynuowany w podzbiorze G

0

.

Przybliżony

algorytm

lokalizacji

pojedynczego uszkodzenia elementu jest
następujący:

1.Wyznaczyć wielkości - warunkowe

prawdopodobieństwa, ze uszkodzony jest
dokładnie i-ty element pod warunkiem, że w
sprawdzanym podzbiorze G

0

jest dokładnie

jeden element uszkodzony

2.Dla każdego testu T

j

wyliczyć

prawdopodobieństwo ujemnego wyniku w
sprawdzanym podzbiorze G

0

0

i

q

1

0

G

k

k

k

p

i

0

i

p

q

p

q

q

































0

j

G

j

G

i

0

i

0

j

q

Q

3.Dla każdego testu wyliczyć związane z nim

straty
z uwzględnieniem tego, że użyto już ciągu
testów s

0

4.Wybrać taki test T

k

, dla którego g

k

jest

najmniejszy

5.Zastosować test T

k

:

a. Jeśli wynik testu jest dodatni, to zadanie
sprowadza się do lokalizacji uszkodzonego
elementu w podzbiorze

0

j

C

0

j

0

j

j

Q

C

g 

j

m

j

i

k

g

g

min







k

0

1

G

\

G

G 

- różnica zbiorów

b. Jeśli wynik testu jest ujemny, to zadnie

sprowadza się
do lokalizacji uszkodzonego
elementu w podzbiorze

7. Ustalić ciąg już użytych testów s

1

,

włączając w to poprzedni ciąg s

0

i ostatni

test T

k

8. Do podzbioru G

1

zastosować procedurę

testowania od punktu 1. zmieniając
przedtem główny indeks (0) na indeks (1).
Procedurę testowania kontynuować do
chwili, kiedy w punkcie 6. w pewnym
kroku k powstanie taki zbiór G

k

, który

zawiera tylko jeden element.

0

k

1

G

G

G









k

0

1

T

,

s

s 

2.1.2. Testowanie pojedynczych elementów.

Rozpatrzmy przypadek, kiedy test umożliwia
sprawdzenie tylko jednego elementu. Wtedy
optymalna

kolejność

sprawdzania

poszczególnych

elementów

w

celu

lokalizacji uszkodzenia wynika z wartości
wielkości:

i

i

i

i

q

p

c

g 

Obliczonych dla każdego elementu. Jako
pierwszy sprawdzeniu podlega element j-ty,
dla którego wartość g

j

jest najmniejsza, a

następnie elementy zgodnie z rosnącymi
wartościami g

k

.

2.1.3. Informacyjna metoda określania
zbioru testów.

Rozpatrzmy metodę testowania, w której
lokalizacja

pojedynczego

uszkodzonego

elementu polega na zastosowaniu takich
testów kontrolnych, z których każdy
umożliwia

podział

zbioru

wszystkich

elementów na dwa podzbiory: w pierwszym
na pewno nie ma uszkodzonego elementu,
w drugim na pewno jest. Zastosowanie
określonego ciągu takich testów umożliwia
dokładna

lokalizacje

uszkodzonego

elementu przy minimum kosztów. Dokładne
rozwiązanie otrzymuje się wówczas, gdy
koszty użycia każdego testu są jednakowe.

Optymalna

lokalizacja

uszkodzonego

elementu

przebiega

zgodnie

z

następującym algorytmem:

1. Dla każdego elementu systemu wyliczyć

warunkowe

prawdopodobieństwa

uszkodzenia

pod

warunkiem,

że

uszkodzony jest dokładnie jeden element

2. Ponumerować elementy tak, aby

3. Dwa ostatnie elementy połączyć w jeden

umowny element, dla którego

4. Tak otrzymany element umieścić w

początkowym

ciągu

elementów

odpowiednio do wielkości

5. Procedurę kontynuować aż do chwili,

kiedy wszystkie elementy będą połączone
w jeden umowny element.

6. Optymalna kolejnością testowania jest

kolejność odwrotna niż kolejność łączenia
elementów.

1

n

1

i

i

i

j

j

j

p

q

p

q

q





















1

j

j

q

q





1

n

n

q

q

q









q

2.2. Lokalizacja nieznanej liczby
uszkodzonych elementów.

Testowany

system

jest

złożony

z

n

elementów. Do chwili rozpoczęcia testowania
wiadomo,

że

w

obiekcie

mogą

być

uszkodzone elementy, ale ich liczba nie jest
znana. Po zlokalizowaniu uszkodzonego
elementu wymienia się go na nowy i
przystępuje się do lokalizacji pozostałych
uszkodzonych elementów.

2.2.1. Przybliżony algorytm przy użyciu
pokrywających się testów

Testowany

system

złożony

jest

z

n

elementów. Do chwili testowania wiadomym
jest, że istnieją w nim uszkodzone elementy.
Ich liczba nie jest znana. Po zlokalizowaniu
wymienia się go na nowy i przystępuje się do
lokalizacji

pozostałych

uszkodzonych

elementów tak, aby uzyskać minimalne
średnie straty.

Załóżmy, że do chwili rozpoczęcia M-tego
kroku testowania został użyty ciąg testów s

0

= (T

1

, T

2

,..., T

M-1

). Zadanie sprowadza się

zatem

do

lokalizacji

uszkodzonych

elementów w podzbiorze G

0

. Na początku

procedury G

0

=G, a s

0

jest zbiorem pustym.

1. Stosuje się globalny test dla sprawdzenia,

czy w niekontrolowanym dotąd podzbiorze
G

0

jest chociaż jeden uszkodzony element.

Jeśli wynik jest dodatni, to procedura
testowania jest zakończona. Jeśli ujemny,
to rozpoczyna się podstawowa procedura
opisana poniżej.

2. Jeśli testu globalnego jest ujemny, to dla

każdego testu T

2

wylicza się

prawdopodobieństwo ujemnego wyniku e
testowanym podzbiorze G

0

















0

G

i

i

0

G

j

G

i

i

0

j

p

1

p

1

Q

pod warunkiem, że użyto
już ciągu testów s

0

3. Dla każdego testu T

j

wylicza się związane

z nim koszty C

j

0

przy warunku, że użyto

już ciągu testów s

0

(na początku

testowania C

j

0

=C

j

)

4. Dla każdego testu wylicza się wielkość

5. Wybiera się taki test T

k

, dla którego g

k

jest najmniejszy

6. Stosuje się test T

k

, przy czym

a. Jeśli wynik testu T

k

jest dodatni, to

proces lokalizacji uszkodzonych
elementów kontynuuje się dla
pozostałego podzbioru G

1

= G

0

\G

k

0

j

0

j

j

Q

C

g 

j

m

j

i

k

g

g

min







b. Jeśli wynik testu T

k

jest ujemny, to

zadanie składa się z dwu części:
- kolejnej lokalizacji wszystkich
uszkodzonych elementów
w podzbiorze G

1

= G

0

G

k

- lokalizacji uszkodzonych elementów w
pozostałym
podzbiorze G

1

= G

0

\G

k

7. Ustala się nowy ciąg użytych testów s

1

,

włączając w to poprzedni ciąg s

0

i ostatni

test T

k

8. Dla podzbioru G

1

stosuje się nową

procedurę testowania zaczynając od punktu
1., jeśli wynik ostatniego testu był ujemny,
albo zaczynając od punktu 2., jeśli dodatni,
przy czym zmienia się górne indeksy „0” na
indeksy „1”. Proces testowania kontynuuje
się do zlokalizowania wszystkich
uszkodzonych elementów

systemu.





k

0

1

T

,

s

s 

2.2.2. Testowanie pojedynczych
elementów.

Załóżmy, że w systemie może być uszkodzonych
kilka elementów. Istnieje możliwość całkowitej
kontroli

sprawności

całego

obiektu

w

określonym

czasie

oraz

testowania

poszczególnych elementów (w czasie 

i

dla

każdego elementu). Proces kontroli przebiega w
ten sposób, ze przeprowadza się pełna kontrolę
obiektu

i

jeśli

obiekt

jest

niesprawny,

przystępuje

się

do

testowania

kolejnych

elementów. Testowanie prowadzi się do wykrycia
uszkodzonego elementu. Uszkodzony element
podlega odnowie, po czym sprawdza się
sprawność całego obiektu. Jeśli system w
dalszym ciągu jest niesprawny, to to procedura
jest kontynuowana. Należy znaleźć kolejność
testowania elementów, żeby czas testowania był
minimalny. Można pokazać, że optymalna
kolejność testowania jest wyznaczona według
wzrastających wartości g

i

i

i

i

i

q

p

g





2.2.3. Wykrycie uszkodzonego
elementu.

Testowany system jest złożony z n elementów.
Celem sprawdzenia jest stwierdzenie sprawności
lub niesprawności obiektu, przy czym jeśli jest
on niesprawny, to średni czas stwierdzenia tego
faktu powinien być minimalny (po wykryciu
pierwszego

uszkodzenia

testowanie

jest

przerwane). Zakłada się ,że niemożliwym jest
użycie globalnego testu lub jego użycie związane
jest ze zbyt dużym kosztem.

Algorytm przybliżony (dowolne pokrywające się
testy)

Założenie:

Załóżmy, ze do chwili rozpoczęcia M-tego kroku
procesu testowania został użyty ciąg testów s

0

=

(T

1

, T

2

,..., T

M-1

). Zadanie sprowadza się do

wykrycia co najmniej jednego uszkodzonego
elementu w pozostałym podzbiorze G

0

. Na

początku procedury G

0

=G, a s

0

jest zbiorem

pustym.

1. Dla każdego testu T

j

wyliczyć

prawdopodobieństwo ujemnego wyniku w
sprawdzanym podzbiorze G

0

pod warunkiem, ze użyto już ciągu

testów s

0

2. Dla każdego testu T

j

wyliczyć związane z

nim straty czasu

3. Dla każdego testu T

j

wylicza się wielkość

4. Wybiera się taki test T

j

, dla którego g

k

jest minimalne











0

G

j

G

i

i

0

j

p

1

Q

0

j



0

j

0

j

j

Q

g





j

m

j

i

k

g

g

min







5. Zastosować test T

k

:

a. Jeśli wynik testu T

k

jest dodatni, to proces

wykrywania uszkodzenia kontynuuje się w
podzbiorze

b. Jeśli wynik testu T

k

jest ujemny, to proces

zostaje zakończony, ponieważ podzbiór
elementów G

k

zawiera co najmniej jeden

element uszkodzony.

6. Ustala się nowy ciąg już użytych testów s

1

,

zawierający poprzedni ciąg s

0

i ostatni użyty

test T

k

7. Dla podzbioru G

1

, określonego w punkcie 5,

stosuje się od nowa procedurę testowania od
punktu 1, przy czym indeksy „0” zamienia się
na

indeksy

„1”.

Proces

testowania

kontynuuje się do chwili wykrycia co
najmniej jednego uszkodzenia albo do
całkowitego

sprawdzenia

sprawności

systemu.

(podobna procedura do procedury

lokalizacji nieznanej liczby uszkodzonych
elementów)

k

0

1

G

\

G

G 





k

0

1

T

,

s

s 

2.2.4. Sprawdzenie systemu
testami rozłącznymi.
Jeśli możliwe jest sprawdzenie systemu tylko
rozłącznymi testami, to znaczy takimi, że
każdy z elementów obiektu może być
sprawdzony

tylko

jednym

testem,

to

optymalna kolejność testowania obiektu w
celu stwierdzenia uszkodzenia wynika z
kolejności wielkości g

i

ponumerowanych

według rosnących wartości

i

i

i

q

g



