Przestrzeń wektorowa
1. Pojęcia podstawowe
Wektor
Przyjmujemy, Ŝe
V
k
jest zbiorem ciągów k wyrazowych [x
1
, x
2
, … , x
k
]; ciągi te
nazywamy wektorami i oznaczamy symbolicznie
→
u
,
→
v
…..
Wektory równe
Przyjmujemy, Ŝe wektory są równe, gdy mają te same współrzędne, czyli
→
u
=
→
v
wtedy i tylko wtedy, gdy u
1
= v
1
, u
2
= v
2
, , … , u
k
=
v
k
.
Suma wektorów. Iloczyn wektora przez liczbę
W zbiorze wektorów (ciągów ) definiujemy dodawanie i mnoŜenie wektora przez
liczbę następująco:
a) jeŜeli
→
u
= [u
1
, u
2
, … , u
k
] oraz
→
v
= [v
1
, v
2
, … , v
k
] ,
to
→
u
+
→
v
= [u
1
+ v
1
, u
2
+ v
2
, … , u
k
+ v
k
];
b)
α
→
u
= [
α
u
1
,
α
u
2
, … ,
α
u
k
], dla
α
∈
R.
Składowe wektora
JeŜeli
→
u
= [u
1
, u
2
, … , u
k
] jest wektorem przestrzeni V
k
, to liczby u
1
, u
2
, … , u
k
nazywamy składowymi wektora
→
u
.
Wektor zerowy. Wektory przeciwne
a) Wektor [ 0, 0, …, 0] =
→
0
o zerowych składowych nazywamy wektorem zerowym.
b) Wektor -1
→
u
= -
→
u
= [- u
1
, - u
2
, … , - u
k
] nazywamy wektorem przeciwnym do
wektora
→
u
.
Wektorowa interpretacja róŜnych sytuacji
Zestaw zakupów: 4 bułki, 1 piwo, 0,3kg cytryn, 3 czekolady, 5 lodów moŜna opisać
wykorzystując pojęcie wektora jako [ 4; 1; 0,3; 3; 5 ].
Podobnie kurs walut (kupno):
USD/PLN 2.8905 , EUR/PLN 4.2150 , CHF/PLN 2.7909 , EUR/USD 1.4570 opisuje wek-
tor [2.8905 , 4.2150 , 2.7909 , 1.4570].
Geometrycznie: wektor [2, 6] przestrzeni V
2
w układzie współrzędnych na płasz-
czyźnie reprezentuje strzałka (rys., kolor czerwony).
Kombinacja liniowa wektorów
Kombinacją liniową n - wektorów
1
x
,
2
x
, … ,
n
x
przestrzeni
V
k
(kaŜdy z
wektorów ma więc k składowych) o współczynnikach
α
1
,
α
2
, … ,
α
n
nazywamy
wektor
x =
α
1
1
x
+
α
2
2
x
+ …+
α
n
n
x
, inaczej x =
∑
=
n
i
i
i
x
1
α
.
ZaleŜność, niezaleŜność układu wektorów
Wektory
1
x
,
2
x
, … ,
n
x
są liniowo niezaleŜne, gdy dla dowolnych
współczynników
α
1
,
α
2
, … ,
α
n
zachodzi warunek:
α
1
1
x
+
α
2
2
x
+ …+
α
n
n
x
= 0
c
c
c
c
α
1
=
α
2
= … =
α
n
= 0
W przeciwnym przypadku mówimy, Ŝe wektory te są liniowo zaleŜne.
Twierdzenie
Wektory
1
x
,
2
x
, … ,
n
x
są liniowo zaleŜne, gdy istnieją liczby
α
1
,
α
2
, … ,
α
n
nie
wszystkie równe 0 oraz takie, Ŝe
α
1
1
x
+
α
2
2
x
+ …+
α
n
n
x
= 0 .
2. Przykłady
Przykład 1.
PokaŜ, Ŝe kaŜdy wektor [p, q] jest kombinacją liniową wektorów [1, -2], [2, 3].
Udowodnimy ten fakt, gdy wskaŜemy takie liczby
α
1
,
α
2 ,
aby
α
1
[1, -2] +
α
2
[2, 3] = [p, q].
To równanie prowadzi do układu równań
=
+
−
=
+
q
p
2
1
2
1
3
2
2
α
α
α
α
Ten układ ma zawsze rozwiązanie. Jest nim para liczb
(
α
1
,
α
2
) = (
7
2
3
q
p
−
,
7
2
q
p
+
).
Zatem kaŜdy wektor [p, q] jest kombinacją liniową wektorów [1, -2], [2, 3].
Przykład 2.
PokaŜ, Ŝe wektory
1
x
= [1, -2],
2
x
= [ 2, 3] są liniowo niezaleŜne.
Niech a, b będą liczbami rzeczywistymi i takimi, Ŝe a
1
x
+ b
2
x
= 0 .
Czyli
a [1, -2] + b [ 2, 3] = [0, 0]
Z definicji iloczynu wektora przez liczbę mamy
[1a, -2a] + [ 2b, 3b] = [0, 0]
Z definicji sumy wektorów
[1a + 2b, -2a+ 3b] = [0, 0]
Z definicji równości wektorów otrzymujemy układ równań
a + 2b = 0 i -2a+ 3b = 0
Jedynym rozwiązaniem tego układu jest para liczb (a, b) = (0, 0).
Pokazaliśmy, Ŝe
a [1, -2] + b [ 2, 3] = [0, 0]
⇔
a = 0 i b = 0. Zgodnie z podanym twierdze-
niem układ wektorów [1, -2], [ 2, 3] jest układem liniowo niezaleŜnym.
3. Baza przestrzeni wektorowej
Definicja
Wymiarem liniowej przestrzeni wektorowej nazywamy największą liczbę liniowo
niezaleŜnych wektorów tej przestrzeni.
Oznaczamy tę liczbę symbolem dimV.
Twierdzenie
dim R
n
= n, czyli wymiar przestrzeni wektorów o n składowych wynosi n.
Definicja
dim {
→
0
} = 0, czyli wymiar przestrzeni utworzonej z jednego wektora zerowego jest 0.
Definicja
KaŜdy układ n liniowo niezaleŜnych wektorów przestrzeni n - wymiarowej nazywamy
bazą tej przestrzeni.
Przykład 3.
PokaŜ, Ŝe układ wektorów
→
1
u
= [1, 0, 0],
→
2
u
= [2,1,0],
→
3
u
= [3,2,1] jest bazą
przestrzeni
R
3
.
Wystarczy sprawdzić, Ŝe wektory
→
1
u
,
→
2
u
,
→
3
u
tworzą układ liniowo niezaleŜny,
czyli pokazać, Ŝe jedynym rozwiązaniem równania:
α
1
[1, 0, 0] +
α
2
[2, 1, 0] +
α
3
[3, 2, 1] = [0, 0, 0] jest trójka liczb
(
α
1
,
α
2
,
α
3
, ) = (0, 0, 0).
Rzeczywiście tak jest, zatem układ wektorów:
[1, 0, 0], [2, 1, 0], [3, 2, 1] jest bazą przestrzeni R
3
.
Twierdzenie
KaŜdy wektor przestrzeni wektorowej n - wymiarowej
jest kombinacją liniową
wektorów bazy tej przestrzeni.
Inaczej:
JeŜeli
→
1
b
,
→
2
b
, … ,
→
n
b
jest bazą przestrzeni
V
n
oraz
→
x
jest dowolnym
wektorem
→
x
∈
V
n
to istnieją takie liczby x
1
, x
2
, …, x
n
, Ŝe
→
x
= x
1
→
1
b
+ x
2
→
2
b
+ … + x
n
→
n
b
.
Taki rozkład wektora
→
x
jest jednoznaczny. Liczby x
1
, x
2
, …, x
n
nazywamy
współrzędnymi wektora
→
x
w bazie
→
1
b
,
→
2
b
, … ,
→
n
b
.
Definicja
Bazę
→
1
b
= [1, 0, 0 … 0],
→
2
b
= [0, 1, … 0] ,
→
n
b
= [ 0, 0, …, 1] przestrzeni R
n
nazywamy
bazą standardową (podstawową) przestrzeni R
n
.
Przykład 4.
Wyznacz współrzędne wektora
→
x
= [1,4] w bazie
a)
[1,-1], [2, 3],
b)
standardowej.
a) Współrzędnymi wektora
→
x
= [1,4] w bazie
[1,-1], [2, 3], są takie liczby c
1
, c
2
, które spełniają równanie:
c
1
[1,-1] + c
2
[2, 3] = [1,4], czyli [ c
1
+ 2c
2
, - c
1
+ 3 c
2
] = [1, 4].
Skoro wektory są równe, więc ich odpowiednie składowe są równe, zatem mamy
układ równań:
c
1
+ 2c
2
= 1
i - c
1
+3c
2
= 4
Jego rozwiązaniem jest para liczb (c
1
, c
2
)
= (-1, 1).
Zatem
→
x
= [-1,1] w bazie [1,-1], [2, 3].
b) W bazie standardowej współrzędnymi wektora
→
x
są liczby: 1 (pierwsza), 4 (druga);
zatem
→
x
= [1,4] .
Ćwiczenia
1. a) Dobierz tak liczby x, y, by kaŜdy z wektorów:
[ 2x , -3y], [2x – y, 4x – 2y], [ -4x + 3y -2, x – y +5] był równy wektorowi [-3, 4].
b) Przedstaw te wektory w układzie współrzędnych.
2. W banku Och-Ach ulokowały swoje oszczędności osoby A: 230 zł, B: 85 zł; C: 100 zł. Za-
rząd banku postanowił zwiększyć ich wkłady o 20%. Jednak urzędnik zmniejszył o 20%.
zamiast je zwiększyć. Gdy pomyłka wyszła na jaw, postanowił kaŜdą z otrzymanych po
zmniejszeniu kwot zwiększyć o 20%. Jak sądzisz, czy klienci banku dostrzegli skutki tych
operacji bankowych. Opisz tę sytuację w języku wektorów.
3. W ciągu jednego dnia kurs walut USD/PLN: 2.89 , EUR/PLN: 4.21 , CHF/PLN: 2.79 ,
EUR/USD: 1.45 zmienił się następująco: USD/PLN: 0,01
↑
, EUR/PLN: 0,02
↓
,
CHF/PLN: 0,03
↓
, EUR/USD: 0,02
↑
. Opisz tę sytuację w języku wektorów.
4. Stan wód w zbiornikach A, B, C, D, E opisuje wektor [ 4, -3, 0, 5, 1]. Po ostatnich opadach
stan wód w tych zbiornikach opisuje wektor [ 3, 3, 5, 4, -2]. Scharakteryzuj zaszłe zmia-
ny. Opisz tę sytuację w języku wektorów.
5. Paragon zakupów przedstawia ile produktów kupiono, ceny jednostkowe tych produktów,
kwotę płaconą za dany produkt oraz pobierany podatek VAT w procentach. Wybierz kilka
produktów i ułóŜ paragon zakupów. Opisz tę sytuację w języku wektorów.
6. Przedstaw wektor [ -3, 2, 0] jako kombinację liniową wektorów:
a) [ -2, 1, 0], [ 0, 2, -1], [ 0, 1, 1] , b) [ -2, 0, 0], [ 0, 0, -1], [ 0, 3, 0] .
7. Zinterpretuj geometrycznie w układzie współrzędnych:
a) sumę wektorów [ -2, 1], [ 2, 6],
b) iloczyn wektora [ -2, 1] przez liczbę 3; wektora [ 2, 6] przez liczbę -2; wektora [ -2, 1]
przez liczbę 0; wektora [ 2, 6] przez liczbę -1.
8. PokaŜ, Ŝe układ wektorów [ -2, 1, 3], [ -4, 2, 6], [ 6, -3, -9] jest układem liniowo zaleŜ-
nym.
9. PokaŜ, Ŝe układ wektorów [ -2, 1], [ 2, 6] jest układem liniowo niezaleŜnym. Zinterpretuj
ten fakt geometrycznie w układzie współrzędnych.
10. WskaŜ kilka baz przestrzeni: a) R
2
, b) R
4
.