40

RUCH OBROTOWY 

 

Moment siły 

Moment siły jest iloczynem wektorowym ramienia działania i siły. 

 

 

 

F

r

M

r

r

r

×

=

 

Wektor  momentu  siły  jest  skierowany  wzdłuŜ 
osi  obrotu,  a  jego  zwrot  jest  określony  przez 
kierunek  przesuwania  się  śruby  obracanej  tak 
jak obraca się bryła. 

Wartość momentu siły wynosi: 

M

rF

====

sin

αααα

    

r

R

sin

αααα ====

 

 

 

 

M

F R

==== ⋅⋅⋅⋅

 

 

Warunek równowagi bryły 

 

RozwaŜamy  bryłę  sztywną  pozostającą 
początkowo w spoczynku, na którą działają 
siły  F

1

,  F

2

,  i F

3

. Momenty sił F

1

 i F

2

 mają 

zwrot  przed  płaszczyznę  rysunku,  a 
moment  siły  F

3

  ma  zwrot  za  płaszczyznę 

rysunku. Jeśli suma wektorowa momentów 
sił działających na bryłę jest równa zeru, to 
bryła pozostaje w spoczynku. Ten stan jest 
określony przez warunek: 
 

                      

0

M

M

M

3

2

1

====

++++

++++

r

r

r

 

 
Oznacza  to,  Ŝe  bryła  pozostaje  w 
równowadze, 

jeśli 

suma 

wartości 

momentów sił obracających bryłę w prawo jest równa sumie wartości momentów sił 
obracających w  lewo. W tym przypadku jest to warunek skalarny: 
 

 

 

          

 

 

 

   

M

3

 = M

1

+ M

2

,

 

               

lub:            F

3

R

3

  =  F

1

R

1  

+ F

2

R

2 

 

Spełnienie  powyŜszego  warunku  oznacza,  Ŝe  bryła  będzie  w  równowadze  ale moŜe 
mieć  miejsce  ruch  postępowy.  O  ruchu  postępowym  decyduje  wypadkowa  sił 
działających na bryłę. Aby nie wystąpił równieŜ ruch postępowy, musi być spełniony 
warunek: 

 

       

 

       

 

r

 

r

 

r

 

M

 

⊗

⊗

⊗

⊗

 

R

 

r

 

F

 

αααα

 

 

F

1

R

3

R

1

F

3

••••

••••

••••

F

2

R

2

••••

 

 

41

 

 

 

 

 

0

F

F

F

3

2

1

====

++++

++++

r

r

r

 

 Przedstawione warunki wyraŜają pierwszą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego i 
dla ruchu postępowego. 
 

Przyspieszenie kątowe 

 
RozwaŜamy  bryłę  sztywną,  która  obraca  się  z  rosnącą  prędkością  kątową.  Punkt 
odległy o r od osi obrotu ma prędkość liniową 

V

r

. 

 

Przyspieszeniem  kątowym  bryły  jest  wektor  skierowany 
wzdłuŜ  osi  obrotu,  określony  jako  pochodna  prędkości 
kątowej po czasie: 

dt

d

ω

ω

ω

ω

====

εεεε

v

r

 

Pomiędzy  prędkością  liniową  i  prędkością  kątową  istnieje 
związek: 

 

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

====

⇒

⇒

⇒

⇒

====

V

r

d

dV

r

 

 

εεεε ====

dV

rdt

 

; 

dV

dt

a

====

 

 

 

εεεε ====

a

r

 ; 

r

a

r

r

r

××××

εεεε

====

 

 

Moment bezwładności 

 

KaŜdą bryłę moŜna traktować jako zbiór nieskończenie wielu punktów materialnych. 

Przez  moment  bezwładności  bryły  rozumiemy  sumę 
nieskończenie wielu iloczynów : 
 

I

dm r

dm r

dm r

====

++++

++++

++++

1 1

2

2 2

2

3 3

2

. . . . . . . .

 

 

I

dm r

i i

i

====

====

∞

∞

∞

∞

∑

∑

∑

∑

2

1

 

 

Sumowanie musi rozciągać się na wszystkie punkty bryły. Do obliczania takich sum 
jest wykorzystywany rachunek całkowy. 

 

 

r

 

ω

ω

ω

ω

 

r

 

a

 

r

 

εεεε

 

r

 

V

 

 

r

dm

 

 

42

1. Moment bezwładności punktu, cienkiej obręczy lub rury 
 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
W przypadku punktu,  cienkościennej obręczy lub rury, cała masa znajduje się w tej 
samej odległości od osi obrotu. Suma określająca moment  bezwładności sprowadza 
się zatem do jednego składnika i wynosi: 
 

 

 

 

 

 

 

I

mr

====

2

 

 

2. Moment bezwładności cienkiego, jednorodnego pręta. 

RozwaŜamy  pręt  o  masie  m  i  długości  l  obracający  się  wokół  osi  przechodzącej 

przez 

jeden 

z 

końców 

pręta. 

Moment 

bezwładności elementu masy (dm) jest równy: 

dI

dmx

====

2

   

dm

m

dx

l

dm

m

l

dx

====

⇒

⇒

⇒

⇒

====

 

dI

m

l

x dx

====

2

 

 

 

dI

f x dx

====

( )

 

 

 

f x

m

l

x

( )

====

2

 

I

dI

====

∑

∑

∑

∑

 

I

m

l

x dx

m

l

x dx

m

l

x

m

l

l

l

l

l

====

====

====













====

∫∫∫∫

∫∫∫∫

2

0

2

0

3

0

3

3

3

 

I

ml

====

2

3

 

3. Moment bezwładności jednorodnego walca. 

Jednorodny  walec  moŜna  podzielić  na 
cienkościenne  rurki  o  masie  dm  , 
promieniu  r  i  grubości  dr.  Moment 
bezwładności takiej rurki wynosi: 

dI

dmr

====

2

 

r

r

m

m

r

m

 

x

dx

dm

m   l

 

    m    R   l

       

dr

dm

             r

 

 

43

dm

m

rldr

R l

rdr

R

====

====

ρρρρ ππππ

ρπ

ρπ

ρπ

ρπ

2

2

2

2

 

dm

mrdr

R

====

2

2

                          dI

m

R

r dr

====

2

2

3

 

I

dI

m

R

r dr

m

R

r

m

R

R

R

R

====

====

====













====

∫∫∫∫

∑

∑

∑

∑

2

2

4

2

4

2

3

2

0

4

0

2

4

 

 

I

mR

====

2

2

 

 

4. Moment bezwładności jednorodnej kuli. 

Kulę moŜna podzielić na cienkie krąŜki o masie 

dm

, promieniu y i grubości 

dx

. 

Moment bezwładności takiego krąŜka wynosi: 

dI

dmy

====

2

2

  

dm

m

y dx

R

====

ρπ

ρπ

ρπ

ρπ

ρρρρ ππππ

2

3

4

3

 

((((

))))

dm

m y dx

R

R

x

mdx

R

====

====

−−−−

3

4

3

4

2

3

2

2

3

 

((((

))))

dI

m

R

R

x

dx

====

−−−−

3

8

3

2

2

 

((((

))))

I

dI

m

R

R

x

dx

R

R

====

====

−−−−

∑

∑

∑

∑

∫∫∫∫

−−−−

3

8

3

2

2

2

 

((((

))))

((((

))))

I

m

R

R

R x

x

dx

m

R

R

R

R

m

R

R

R

====

−−−−

++++

====

−−−−

++++











====

−−−− ++++

∫∫∫∫

2

3

8

2

3

4

2

3

1

5

3

4

15

15

8

3

3

4

2

2

4

3

0

5

5

5

3

5

 

I

mR

====

2

5

2

 

 

5. Twierdzenie Steinera 

Moment bezwładności pewnej bryły względem osi przechodzącej przez środek masy 
tej  bryły  wynosi  I

0

,  a  względem  innej  osi  ,  równoległej  do  pierwszej  i  połoŜonej  w 

odległości  r  wynosi  I.  Twierdzenie  Steinera  określa  związek  między  tymi 
momentami: 

 

    (x,y)

     

       R

dx

x

 

 

44

I

I

mr

====

++++

0

2

 

Korzystając  z  twierdzenia  Steinera  i  posługując  się 
metodą  tzw.  analizy  wymiarowej,  moŜna  wyprowadzić 
wzór  określający  moment  bezwładności  cienkiego, 
jednorodnego  pręta.  Moment  bezwładności  ma  wymiar  
kg m

2

, a zatem dla pręta o masie m i długości l musi być   

wyraŜony wzorem: 

I = k m l

2

 ,  gdzie k  - współczynnik o nieznanej wartości. 

Pomiędzy momentami bezwładności względem zaznaczonych osi zachodzi związek: 

I

I

m

l

====

++++

0

2

4

 

kml

k

m l

m

l

k

2

2

2

2

2 4

4

1

3

====

++++

⇒

⇒

⇒

⇒

====

   

I

ml

====

2

3

 

 

Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego

 

 
Przyspieszenie  kątowe  ciała  jest  wprost  proporcjonalne  do  momentu  działającej 
siły i odwrotnie proporcjonalne do momentu bezwładności. 
 

I

M

r

r

====

εεεε

 

 

Energia kinetyczna w ruchu obrotowym 

 
Jeśli  na  ciało  działa  kilka  sił,  to  M  oznacza  wypadkowy  moment  wszystkich  sił 
działających na ciało. 

Bryła  jest  zbiorem  punktów  o  masie  dm.  Energia  kinetyczna  jednego  punktu  bryły 
wynosi: 

dE

dmV

k

====

2

2

 

V

r

==== ω

ω

ω

ω

 

 

dE

dm

r

k

====

1

2

2

2

ω

ω

ω

ω

 

Energia  kinetyczna  bryły  stanowi  sumę  energii 
kinetycznych poszczególnych jej punktów. 

E

dm

r

dmr

k

====

====

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

1

2

1

2

2

2

2

2

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

 

m

    I

0

     I

r

 

    1 / 2 l       1 / 2 m           1 / 2 l         1 / 2 m

 

 

r

 

ω

ω

ω

ω

 

dm

 

r

 

V

 

 

 

45

dmr

I

2

∑

∑

∑

∑

====

 

 

E

I

k

==== ω

ω

ω

ω

2

2

 

 

Toczenie  się  jest  szczególnym  ruchem  obrotowym.  Oś  obrotu  toczącego  się  ciała 
przechodzi przez punkt styczności z podłoŜem. 

 

E

I

k

==== ω

ω

ω

ω

2

2

   

I

I

mr

====

++++

0

2

 

 

 

((((

))))

E

I

mr

I

mr

k

====

++++

====

++++

0

2

2

0

2

2

2

2

2

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

 

          

r

V

ω

ω

ω

ω ====

 

 

E

I

mV

k

====

++++

0

2

2

2

2

ω

ω

ω

ω

 

 

Toczenie  się  moŜna  zatem  traktować  jako  złoŜenie  ruchu  postępowego  i  ruchu 
obrotowego wokół osi przechodzącej przez środek masy ciała. Energia toczącego się 
ciała stanowi sumę energii ruchu obrotowego i energii ruchu postępowego. 
 
1.Energia kinetyczna toczącej się obręczy.  (I

0

 = m r

2

) 

E

mr

mV

k

====

++++

2

2

2

2

2

ω

ω

ω

ω

 

 

E

mV

k

====

2

 

 

2.Energia kinetyczna toczącego się walca. 

 

I

mr

0

2

2

====

  E

mr

mV

k

====

++++

2

2

2

4

2

ω

ω

ω

ω

 

 

 

E

mV

k

====

3

4

2

 

 

3.Energia kinetyczna toczącej się kuli. 

 

 

         I

 

0

 

I

 

r

 

V

 

  

 

r

V

 

r

V

 

 

46

 

I

mr

0

2

2

5

====

   

 

E

mr

mV

k

====

++++

2

10

2

2

2

2

ω

ω

ω

ω

 

 

 

E

mV

k

====

7

10

2

 

 

Moment pędu bryły 

 

Punkt bryły o masie dm poruszający się z prędkością V ma moment pędu: 

 

dK

dmVr

dm r

====

====

ω

ω

ω

ω

2

 

Moment  pędu  bryły  stanowi  sumę  momentów  pędu 
poszczególnych jej punktów. 

 

 

 

K

dK

dm r

====

====

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

ω

ω

ω

ω

2

 

 

 

 

ω

ω

ω

ω

====

r

r

I

K

 

Kierunek i zwrot momentu pędu bryły jest zgodny z 
kierunkiem i zwrotem wektora prędkości kątowej. 

 

Zasada zachowania momentu pędu. 

 
Korzystając z drugiej zasady dynamiki dla ruchu obrotowego otrzymujemy: 

ω

ω

ω

ω

====

⇒

⇒

⇒

⇒

ω

ω

ω

ω

====

ω

ω

ω

ω

====

εεεε

====

⇒

⇒

⇒

⇒

====

εεεε

r

r

r

r

r

r

r

r

r

Id

K

d

I

K

I

dt

d

I

M

I

M

 

    

.

const

K

0

K

d

0

M

dt

K

d

M

====

⇒

⇒

⇒

⇒

====

⇒

⇒

⇒

⇒

====

====

r

r

r

r

r

 

Jeśli na bryłę działają siły. których wypadkowy moment jest równy zeru, to moment 
pędu bryły pozostaje stały. 

W  szczególności  momentu  pędu  nie  mogą  zmienić  tzw.  siły  centralne,  tj.  siły, 
których  prosta  działania  przechodzi  przez  oś  obrotu.  Nie  mogą  równieŜ  zmienić 

r

V

 

 

dm

 

r

 

d

 

K

 

r

 

r

 

ω

ω

ω

ω

 

r

 

V

 

 

 

47

momentu  pędu  siły  wewnętrzne,  tj.  siły  działające  między  róŜnymi  punktami  tego 
samego ciała.