Płaszczyzna styczna
Załóżmy, że dana jest
powierzchnia S dana
równaniem z = f(x,y), gdzie f
posiada ciągłe pierwsze
pochodne cząstkowe i P(x
0
,y
0
,z
0
)
będzie punktem na S. Niech C
1
i
C
2
będą krzywymi otrzymanymi
po przecięciu powierzchni S
płaszczyznami y = y
0
i x = x
0
.
Punkt P leży na obu C
1
i C
2
.
Niech T
1
i T
2
będą liniami
stycznymi do krzywych C
1
i C
2
w
punkcie P. Powierzchnia styczna
zawiera obie proste T
1
i T
2
.
Równanie płaszczyzny
przechodzącej przez P(x
0
,y
0
,z
0
):
A(x – x
0
)+ B(y – y
0
) + C(z – z
0
)
= 0
)
,
(
)
(
)
(
)
(
0
0
0
0
0
0
0
0
y
x
f
a
y
y
x
x
a
z
z
y
y
b
x
x
a
z
z
C
B
b
C
A
a
x
)
,
(
)
(
0
0
0
0
0
y
x
f
b
x
x
y
y
b
z
z
y
)
(
)
(
0
0
0
y
y
f
x
x
f
z
z
y
x
Normalna do
powierzchni
Dane powierzchnia F(x,y,z) = 0 i punkt P(x
0
,y
0
,z
0
)
Różniczka funkcji wielu zmiennych
Zmierzono krawędzie prostopadłościanu: 75 cm,
60 cm, 40 cm. Każdy z pomiarów wykonano z
dokładnością 0.2 cm. Używając różniczki oszacuj
możliwy błąd obliczonej objętości.
Przykład (analiza
błędu)
%
1
V
V
Maksimum i minimum funkcji
Funkcja jednej
zmiennej
0
0
0
)
(
)
(
0
)
(
)
(
0
0
x
g
x
P
x
g
x
g
y
Przykład
Znajdź ekstrema
funkcji
20
12
3
)
,
(
3
3
y
x
y
x
y
x
f
2
gdy
0
12
3
,
1
gdy
0
3
3
2
2
y
y
f
x
x
f
y
x
Punkty krytyczne : P(1,2), Q(-1,2), R(1,-2), S(-1.-
2)
maksimum;
jest
punkcie
;
0
)
(
0
),
2
,
1
(
punkcie
W
;
ekstremum
punkcie
w
ma
nie
0
),
2
,
1
(
punkcie
W
;
ekstremum
punkcie
w
ma
nie
0
),
2
,
1
(
punkcie
W
minimum;
jest
punkcie
;
0
)
(
0
),
2
,
1
(
punkcie
W
36
zatem
0
,
6
,
6
2
yy
xx
yy
xx
xy
yy
xx
xy
yy
xx
f
f
P
R
Q
f
f
P
xy
f
f
f
f
y
f
x
f
Reguła łańcucha
Twierdzen
ie
Załóżmy, że z = f(x,y) jest różniczkowalną funkcją zmiennych x
i y , gdzie x = g(t) a y = h(t) i obie te funkcje również są
różniczkowalne. Wówczas z jest różniczkowalną funkcją t i
zachodzi:
Załóżmy, że z = f(x,y) jest różniczkowalną funkcją zmiennych x
i y , gdzie x = g(s,t) a y = h(s,t) i obie te funkcje również
są różniczkowalne. Wówczas z jest różniczkowalną funkcją
s, t i zachodzi:
Twierdzenie
Załóżmy, że u = f(x
1
, x
2
,..., x
n
) jest
różniczkowalną funkcją zmiennych x
i
dla i =
1,...,n . Każda z x
1
, x
2
,..., x
n
jest funkcją
m
zmiennych t
1
, t
2
,..., t
m ..
Pochodna funkcji uwikłanej
Przykład
Ciśnienie (w kPa) objętość (w dcm
3
) i temperatura ( w
stopniach Kelvina) mola gazu idealnego związane są
zależnością PV = 8,31 T . Znajdź szybkość z jaką zmienia
się ciśnienie gdy temperatura w chwili początkowej równa
300
o
K rośnie z szybkością 0,1 K/s a objętość równa 100
dcm
3
rośnie z szybkością 0,2 dcm
3
/s.
Pochodna
kierunkowa
Pochodna kierunkowa funkcji f w
punkcie (x
0
,y
0
) w kierunku wektora
jednostkowego u = (a,b)
Twierdzeni
e
Przykła
d
Oblicz pochodną kierunkową D
u
f(x,y) funkcji f(x,y) = x3 -
3xy + 4y2 gdzie u jest wektorem jednostkowym, który tworzy
z osią ox kąt п/6. Jaka jest wartość w punkcie (1,2).
Z użyciem operatora gradientu można to zapisać:
Pochodna kierunkowa:
