Analiza portfelowa

Literatura: W. Dębski, rozdz. 

9

Efektem zarządzania portfelem 

inwestycyjnym jest minimalizacja 

ryzyka. Przy podejmowaniu 

decyzji inwestycyjnych powinno 

brać się pod uwagę 

oczekiwaną 

stopę zysku

 (stopa zwrotu) oraz 

stopień ryzyka

 towarzyszącego 

inwestycji (tzn. ile stopa 

rzeczywista może się różnić od 

oczekiwanej)

Oczekiwana stopa zysku:

• R =           p

i

 R

i

                           gdzie:

• R – oczekiwana stopa zysku z danego 

papieru wartościowego (w %)

• R

i

 – i-ta możliwa wartość stopy zysku 

uzyskana z danego papieru wart.

• p

i

 -  prawdopodobieństwo wystąpienia i-

tej możliwej wartości stopy zysku na 
danym papierze wart.

• m - liczba możliwych do osiągnięcia 

wartości stopy zysku      





m

i 1

W praktyce do obliczenia 

oczekiwanej stopy zysku z 

akcji korzysta się z danych 

przeszłych (np. danych 

miesięcznych, kwartalnych, 

rocznych)

Korzystając ze wzoru:

• R =             R

t

         R

t 

= (P

t

 – P

t-1

 +D

t

)/ P

t-

1

– gdzie:

• R

t

 – stopa zysku osiągnięta na danym 

papierze wart. w okresie t

• n – liczba okresów
• P – cena akcji
• D – wypłacona dywidenda w okresie t





n

t

n

1

1

Przykład 1

Dodatkowym czynnikiem, 

który powinien zostać 

wzięty pod uwagę przy 

podejmowaniu decyzji 

inwestycyjnej jest 

stopień 

ryzyka

. Oblicza się je na 

podstawie wariancji 

papieru wartościowego 

lub odchylenia 

standardowego. 

Ze względu na 

interpretację w praktyce 

stosuje się odchylenie 

standardowe, czyli 

przeciętne odchylenie 

możliwych stóp zysku 

danego papieru 

wartościowego od 

oczekiwanej stopy zysku. 

Im wyższe odchylenie, 

tym większe ryzyko. 

Odchylenie standardowe:

• Ze względu na interpretację w praktyce 

stosuje się 

 czyli przeciętne odchylenie względu na 

interpretację w praktyce stosuje się odchylenie 
standardowe, czyli przeciętne odchylenie 
możliwych stóp zysku danego papieru 
wartościowego od oczekiwanej stopy zysku. Im 
wyższe odchylenie, tym większe ryzyko. stóp 
zysku danego papieru wartościowego od 
oczekiwanej stopy zysku. Im wyższe 
odchylenie, tym większe ryzyko. 











m

i

t

n

R

R

1

2

)

1

/(

]

)

(

[



Biorąc pod uwagę jedynie 

niekorzystne odchylenia (wartości 

ujemne), możemy policzyć 

semiodchylenie standardowe, 

korzystając ze wzoru:

 

gdzie: d

i

=R

i

-R dla R

i

<R oraz 0 dla 

R

i

>=R









m

t

t

n

d

S

1

2

)

1

/(

)

(



Racjonalnie postępujący 

inwestor będzie maksymalizował 

stopę zwrotu przy minimalizacji 

ryzyka!

 Powinno się stosować 

zasadę minimalnego ryzyka 

względem zysku, co obliczamy 

według wzoru:

dla R0

R

V





Przykład 2

W praktyce portfel 

inwestycyjny składa się z 

różnych papierów 

wartościowych

 lub z 

różnych akcji. 

Wtedy oczekiwaną stopę zysku z 

portfela liczy się w następujący 

sposób:

• R

p

=                        

                                   dla i=1,2,....n  U

i

=P

i

n

i

/

Gdzie:
- R

p

- oczekiwana stopa zysku portfela

- R

i

 – oczekiwana stopa zysku z posiadania 

i-tej akcji 

- n – ilość akcji (aktywów) w portfelu
- n

i

 – liczba sztuk i-tej akcji

- U

i 

– udział i-tej akcji w portfelu

- P

i 

 - cena rynkowa i-tej akcji

i

n

i

i

R

U



1

i

n

i

i

n

P



1

Stopień ryzyka (dla portfela 

składającego się z dwóch różnych 

papierów wartościowych):

 

gdzie:           - współczynnik 

korelacji (mierzy stopień powiązania 

stóp zysku dwóch papierów 

wartościowych).

 



12

2

1

2

1

2

2

2

2

2

1

2

1

2













U

U

U

U

p







Współczynnik korelacji:

• przyjmuje wartości [-1,1] 
• Im wyższa wartość bezwzględna tym 

silniejsze powiązanie stóp zysku 

• Wartość dodatnia wskazuje, że 

wzrostowi stopy zysku jednego 
papieru wartościowego towarzyszy 
wzrost stopy zysku drugiego papieru 
wartościowego. I odwrotnie.

Redukcję ryzyka portfela 

inwestycyjnego można 

osiągnąć również gdy w 

portfelu będą znajdować 

się papiery wartościowe 

silnie nieskorelowane 

dodatnio.

Analiza portfelowa 

c.d.

 

Portfel 

dwuskładnikowy:

R

p

 = U

1

R

1

 + U

2

R

2

12

2

1

2

1

2

2

2

2

2

1

2

1

2













U

U

U

U

p







Przypadek 1:

 doskonała korelacja 

dodatnia, współczynnik 

korelacji = 1

przykład 1

• Wniosek: zawsze zmniejszenie 

ryzyka odbywa się kosztem spadku 
stopy zwrotu

Przypadek 2:

doskonała korelacja 

ujemna, współczynnik 

korelacji = -1

Przykład 2

Przypadek 3: 

całkowity brak korelacji, 

współczynnik korelacji = 0

Przykład 3

Wnioski:

• Znaczną redukcję ryzyka portfela 

dwuskładnikowego można osiągnąć 
poprzez zmiany w składzie portfela. 

• Zazwyczaj przejście z portfela 

jednoskładnikowego do portfela 
dwuskładnikowego zmniejsza ryzyko, 
jednocześnie w niektórych przypadkach 
zwiększając stopę zwrotu. Jest to 

dywersyfikacja

 portfela.