1
FUNKCJE FALOWE ELEKTRONU
W ATOMIE WODORU Z
UWZGLĘDNIENIEM SPINU;
SKŁADANIE MOMENTÓW PĘDU
1
FUNKCJE FALOWE ELEKTRONU
W ATOMIE WODORU Z
UWZGLĘDNIENIEM SPINU;
SKŁADANIE MOMENTÓW PĘDU
2
Funkcje falowe elektronu w atomie
wodoru z uwzględnieniem spinu
Jak uwzględnić spin?
Amplituda prawdopodobieństwa
znalezienia elektronu w stanie
przestrzennym |ℓ,m>, w punkcie
, bez informacji o kierunku spinu
,
,
r
Spin to moment pędu
o stałej wartości:
,
Y
r
R
,
,
r
m
,
l
l
,
n
m
,
l
,
n
2
2
1
2
1
2
1
S
i rzucie na oś z:
2
1
3
możemy przedstawić jako:
r
h
r
g
r
f
r
W
Pole wektorowe:
k
r
h
j
r
g
i
r
f
r
W
4
lub, w szczególnym przypadku, gdy
orientacja wektora jest taka sama w
każdym punkcie przestrzeni:
c
b
a
r
f
r
W
gdzie a, b i c określają orientację
wektora w przestrzeni
1
c
b
a
2
2
2
przy czym:
5
Przez analogię możemy opisać stan
elektronu wprowadzając następujący
zapis:
gdzie współczynniki a i b to
amplitudy prawdopodobieństwa, że
elektron ma spin „do góry” i do
„dołu”.
Dla m
s
=
+1/2
;
b
a
,
,
r
l
m
,
l
,
n
0
1
l
l
m
,
l
,
n
2
1
,
m
,
l
,
n
Dla m
s
=
-1/2
1
0
l
l
m
,
l
,
n
2
1
,
m
,
l
,
n
1
b
a
2
2
6
lub, przyjmując, że:
0
1
1
0
i
możemy zapisać:
2
1
m
2
1
m
s
m
,
l
,
n
s
m
,
l
,
n
m
,
m
,
l
,
n
l
l
s
l
otrzymując pełną funkcję falową
przedstawiającą amplitudę
prawdopodobieństwa znalezienia
elektronu w stanie |ℓ,m> i w punkcie
r,θ, φ, ze spinem +1/2 lub – 1/2
7
SPINORY, to obiekty podobne do
wektorów, transformujące się w
odpowiedni sposób po obrocie układu
współrzędnych:
i
,
h
,
g
f
,
e
,
d
c
,
b
,
a
'
,
'
,
'
2
i
2
i
e
,
0
0
,
e
Obrót o kąt φ wokół osi
z:
Obrót o kąt θ wokół osi
y:
2
cos
,
2
sin
2
sin
,
2
cos
J = 1, m = 0, ±1
transformuje się
jak wektor
Dla j = 1/2, m = ±1/2:
8
Składanie momentów
pędu:
2
1
2
1
J
J
J
J
J
2
1
J
J
J
2
1
M
M
M
JM
J
J
M
M
J
J
M
M
J
J
JM
J
J
2
1
M
M
M
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
współczynniki rozwinięcia:
współczynniki Clebscha – Gordana
jeden z kalkulatorów dostępnych na
internecie:
http://personal.ph.surrey.ac.uk/~phs3ps/cgjava.
html
9
Dla atomu wodoru:
2
1
J
...
3
2,
1,
,
0
J
2
1
wszystkie potrzebne współczynniki
rozwinięcia, czyli
współczynniki Clebscha – Gordana,
możemy otrzymać korzystając z
następującej tabeli:
orbitalny moment pędu, s,
p, d, f
własny moment pędu
elektronu
10
Współczynniki Clebscha - Gordana; J
2
=
1/2:
2
1
M
2
2
1
M
2
2
1
J
1
1
J
2
2
1
M
J
1
1
1
J
2
2
1
M
J
1
1
2
1
J
1
1
J
2
2
1
M
J
1
1
1
J
2
2
1
M
J
1
1
J
11
Przykład:
Wyraź funkcję falową odpowiadającą
stanowi 4f
5/2
dla M = 3/2, poprzez funkcje
.
s
l
m
,
m
,
l
,
n
2
5
J
2
3
M
Na rzut wypadkowego
momentu pędu na oś z o
wartości:
składają się tylko dwie pary
M
1
i M
2
:
(1, 1/2) oraz (2, -1/2)
Dla:
mamy 6 składowych o
różnych wartościach M
12
3
J
1
2
5
J
2
3
M
dla M
2
= +1/2
mamy:
J = J
1
– 1/2,
zatem korzystamy z
dolnego wiersza w tabeli
7
2
1
J
2
2
1
M
J
1
1
a dla M
2
= -1/2:
7
5
1
J
2
2
1
M
J
1
1
13
2
,
3
,
4
1
,
3
,
4
2
,
3
,
4
1
,
3
,
4
7
5
7
2
1
0
7
5
0
1
7
2
2
3
,
2
5
,
2
1
,
3
,
,
,
r
2
1
,
2
,
2
1
,
3
2
1
,
2
,
2
1
,
3
2
3
,
2
5
,
2
1
,
3
2
1
,
1
,
2
1
,
3
2
1
,
1
,
2
1
,
3
2
3
,
2
5
,
2
1
,
3
2
3
,
2
5
,
2
1
,
3