1
FUNKCJA FALOWA UKŁADU
IDENTYCZNYCH CZĄSTEK;
ZAKAZ PAULIEGO.
ATOM HELU
1
FUNKCJA FALOWA UKŁADU
IDENTYCZNYCH CZĄSTEK;
ZAKAZ PAULIEGO.
ATOM HELU
2
1. Prawdopodobieństwo zdarzenia jest
dane przez kwadrat modułu zespolonej
liczby Φ nazywanej amplitudą
prawdopodobieństwa.
P = prawdopodobieństwo
Φ = amplituda prawdopodobieństwa
P = |Φ|
2
!!PRZYPOMNIENIE!!
PODSTAWOWE ZASADY MECHANIKI
KWANTOWEJ
Zdarzenie: znalezienie elektronu w
punkcie r w atomie.
Amplituda prawdopodobieństwa dla
elektronu w układzie atomowym to funkcja
falowa
3
2. Jeśli zdarzenie może zajść na kilka
alternatywnych sposobów to całkowita
amplituda dla tego zdarzenia jest sumą
amplitud prawdopodobieństwa dla
każdego z tych sposobów na jaki może
ono zajść.
Przy dwóch sposobach mamy:
Φ = Φ
1
+ Φ
2
P = |Φ
1
+ Φ
2
|
2
= |Φ
1
|
2
+|Φ
2
|
2
+ 2|Φ
1
| |Φ
2
|
cosφ
Występuje interferencja co tłumaczy
wynik doświadczeń pokazujących falowe
własności cząstek materialnych.
P = (Φ
1
+Φ
2
)·(Φ
1
+Φ
2
)
*
=Φ
1
·Φ
2
*+Φ
2
·Φ
2
*
+Φ
1
·Φ
2
*
+Φ
2
·Φ
1
*
=
|Φ
1
|
2
+|Φ
2
|
2
+|Φ
1
||Φ
2
|·(e
i(φ1-φ2)
+e
i(φ2-φ1)
)= |Φ
1
|
2
+|Φ
2
|
2
+2|Φ
1
| |
Φ
2
|cosφ
4
3. Jeśli jesteśmy w stanie określić, który z
alternatywnych sposobów zachodzi
(sprawdzamy przez który z otworów
przechodzi elektron) to
prawdopodobieństwo zdarzenia jest sumą
prawdopodobieństw dla każdego z tych
alternatywnych sposobów. Nie występuje
interferencja i wówczas:
P = | Φ
1
|
2
+ |Φ
2
|
2
= P
1
+ P
2
nawet wtedy jeśli w rzeczywistości nie
sprawdzamy która z alternatyw była
zrealizowana (wystarczy, że taka
informacja jest w układzie fizycznym).
Przypadek ten występuje w omawianym
przez Feynmana (rozdz. 3.3 t. III)
rozpraszaniu neutronów.
5
Rozważymy kwantowo-mechaniczne
amplitudy prawdopodobieństwa dla
dwóch identycznych cząstek
rozpatrując zjawisko wzajemnego
rozpraszania dwóch cząstek w układzie
środka masy (Feynman tom III, rozdz.
3 i 4)
6
7
Niech amplituda prawdopodobieństwa
zdarzenia polegającego na
zarejestrowaniu cząstki a w detektorze 1
i cząstki b w detektorze 2 wynosi:
f
b
,
a
2
,
1
Prawdopodobieństwo tego zdarzenia
wyniesie zatem:
2
f
Prawdopodobieństwo innego zdarzenia, o
amplitudzie:
a
,
b
2
,
1
, cząstka a w 2, a cząstka b w 1
(wymiana)
2
f
wyniesie w takim
razie:
8
Jeśli detektory nie są w stanie rozróżnić
cząstki a od b (choć w rzeczywistości są
to różne cząstki), to
prawdopodobieństwo zarejestrowania
obu cząstek w wyniku rozproszenia
wyniesie:
Dla szczególnego przypadku,
gdy:
2
2
f
f
P
2
2
2
f
2
2
P
czyli będzie sumą prawdopodobieństw
(różne cząstki).
9
A jak będzie dla cząstek identycznych
(nierozróżnialnych)?
Ponieważ zdarzenie może zajść na dwa
sposoby, więc:
a także, że:
Wiemy, że:
f
b
,
a
2
,
1
a
,
b
2
,
1
b
,
a
2
,
1
calkowita
Amplituda
2
2
f
a
,
b
2
,
1
f
e
a
,
b
2
,
1
i
czyli:
10
Dla podwójnej wymiany:
A więc:
f
f
a
,
b
2
,
1
b
,
a
2
,
1
calkowita
Amplituda
f
e
e
b
,
a
2
,
1
f
i
i
a zatem musi być: exp(iα) = ±1
f
a
,
b
2
,
1
i:
2
f
f
P
ze znakiem plus lub minus składowej z
wymianą.
A
prawdopodobieństw
o:
11
Dla: mamy:
Czyli zliczeń będzie albo dwa razy
więcej niż dla cząstek rozróżnialnych,
albo 0;
interferencja konstruktywna (bozony)
albo destruktywna (fermiony)
2
2
2
f
4
2
P
albo:
0
2
P
1
e
i
1
e
i
bozony
fermiony
Bozony: fotony, cząstki α, inne o spinie
całkowitym
Fermiony: elektrony, neutrony, protony,
inne cząstki o spinie połówkowym
12
Funkcja falowa elektronu w atomie
wodoru:
Amplituda prawdopodobieństwa
znalezienia elektronu w punkcie
,
przy czym rzut orbitalnego i własnego
momentu pędu elektronu na oś z są
określone.
,
,
r
,
Y
r
R
,
Y
r
R
,
,
r
m
,
m
,
l
,
n
r
m
,
l
l
,
n
m
,
l
l
,
n
s
m
,
m
,
l
,
n
s
Atom helu, jądro z dwoma protonami (Z
= 2) i dwa elektrony. Jak będzie
wyglądała funkcja falowa?
Co to jest funkcja falowa jednego
elektronu ?
13
Zatem wydaje się, że moglibyśmy
napisać:
b
,
a
r
,
r
2
1
Funkcja falowa dwóch elektronów to
amplituda znalezienia elektronu a w
punkcie r
1
i elektronu b w punkcie r
2
:
b
r
a
r
b
,
a
r
,
r
2
1
2
1
czyli, że amplituda dla dwóch
elektronów byłaby iloczynem
amplitud dla pojedynczych
elektronów.
CO Z WYMIANĄ???
14
k
1
n
2
k
2
n
1
2
1
2
1
r
r
r
r
r
,
r
r
,
r
Uwzględnimy wymianę, jeśli
napiszemy:
,
k
n
to stany obu elektronów
n, k – zbiory liczb kwantowych
opisujących te stany
n
1
1
n
r
r
k
2
2
k
r
r
to jednoelektronowe funkcje falowe –
amplitudy
Funkcje te otrzymamy z rozwiązania
równania Schrődingera
1
2
2
1
r
,
r
r
,
r
co oznacza, że:
15
Równanie Schrődingera dla atomu
He:
2
1
2
1
12
2
2
2
2
2
e
2
1
2
2
1
e
2
r
,
r
E
r
,
r
r
e
r
Ze
m
2
h
r
Ze
m
2
h
2
1
2
2
1
2
2
1
2
12
z
z
y
y
x
x
r
gdzie:
Z = 2 (atom helu)
16
Jeśli pominiemy oddziaływanie
elektronów:
to równanie dla atomu He przyjmie
postać:
gdzie:
12
2
12
12
r
e
r
V
E
H
H
2
1
2
2
2
2
e
2
2
1
2
2
1
e
2
1
r
Ze
m
2
h
H
r
Ze
m
2
h
H
17
Równanie takie można łatwo
rozseparować biorąc:
bez członu z wymianą, który
uwzględnimy później.
Po podstawieniu otrzymamy:
2
k
1
n
2
1
r
r
r
,
r
E
r
H
r
1
r
H
r
1
2
k
2
2
k
1
n
1
1
n
2
2
k
2
2
k
1
1
n
1
1
n
E
r
H
r
1
;
E
r
H
r
1
2
1
E
E
E
18
Mamy zatem dwa równania:
których rozwiązania, ze względu na:
2
k
2
2
k
2
1
n
1
1
n
1
r
E
r
H
r
E
r
H
2
2
2
2
e
2
2
1
2
2
1
e
2
1
r
Ze
m
2
h
H
r
Ze
m
2
h
H
będą rozwiązaniami dla atomu
wodoropodobnego.
19
Energia E wyniesie:
czyli:
stan podstawowy (1s)
2
: – 108.8 eV
najniższy stan wzbudzony (1s2s,
1s2p): – 68 eV
występuje degeneracja 4x (bez oddz.
spin-orbita)
Jak wypada porównanie z
eksperymentem?
2
1
E
E
E
2
2
2
1
2
4
2
e
n
1
n
1
h
e
Z
m
E
]
eV
[
n
1
n
1
6
.
13
4
E
2
2
2
1
20
Struktura elektronowa atomu He,
przybliżenie zerowe i eksperyment
21
Jak poprawić wynik?
1. Poprawić funkcję falową (wymiana)
2. Uwzględnić oddziaływanie
elektronów V
12
Musimy zbudować antysymetryczne
funkcje dwuelektronowe:
1
2
2
1
,
n
,
,
k
,
k
,
,
n
gdzie pierwsze dwa wskaźniki to liczby
kwantowe dla 1 elektronu, a kolejne
dwa, dla drugiego.
22
Mamy do dyspozycji następujące
funkcje:
2
1
α
2
βψ
1
ψ
:
4
2
1
2
1
:
3
2
1
2
1
:
2
2
1
2
1
:
1
n
k
k
n
n
k
k
n
n
k
k
n
n
k
k
n
Dla n = k może być tylko opcja 3 lub/i
4
gdyż dla opcji 1 i 2 otrzymujemy
Ψ(1,2) ≡ 0
ZAKAZ PAULIEGO !!!
Jeśli bierzemy funkcję z lewej kolumny to
musimy wziąć funkcję z prawej z
przeciwnym znakiem (wymiana)
23
2
1
α
2
βψ
1
ψ
:
4
2
1
2
1
:
3
n
n
n
n
n
n
n
n
Opcja 3 daje:
2
1
:
3
n
n
a opcja 4:
2
1
:
4
n
n
Obie opcje są całkowicie równoważne, a ich
kombinacja da albo Ψ(1,2) ≡ 0, albo:
24
2
1
2
1
2
,
1
n
n
singlet
,
0
M
,
0
S
S
gdzie orbitalna część będzie
symetryczna ze względu na wymianę
elektronów, a część spinowa będzie
antysymetryczna.
Podsumowując, dla n = k
dwuelektronowa funkcja falowa przyjmie
postać:
2
1
2
1
2
,
1
n
n
Odpowiada to:
25
W przeciwieństwie do opcji 3 i 4, opcje 1 i
2 są fizycznie różne (gdyby było pole
magnetyczne będą się różnić energią,
między sobą, a także z opcjami 3 i 4).
Otrzymamy z nich:
Dla: n ≠ k z czterech opcji wybierzemy
odpowiednie kombinacje tak, by
otrzymać cztery fizycznie różne stany
bazy.
2
1
α
2
βψ
1
ψ
:
4
2
1
2
1
:
3
2
1
2
1
:
2
2
1
2
1
:
1
n
k
k
n
n
k
k
n
n
k
k
n
n
k
k
n
26
i:
2
1
2
1
1,2
:
2
n
k
k
n
2
1
2
1
1,2
:
1
n
k
k
n
2
1
α
2
βψ
1
ψ
:
4
2
1
2
1
:
3
n
k
k
n
n
k
k
n
Z opcji 3 i 4:
tworzymy kombinacje symetryczne i
antysymetryczne otrzymując:
S = 1, M
S
=
+1
S = 1, M
S
=
-1
27
dla kombinacji ze znakiem plus:
2
1
2
1
1,2
:
4
3
n
k
k
n
2
1
2
1
1,2
:
4
3
n
k
k
n
2
1
α
2
βψ
1
ψ
:
4
2
1
2
1
:
3
n
k
k
n
n
k
k
n
i dla kombinacji ze znakiem minus:
S = 1,
M
S
=
0
S = 0,
M
S
=
0
podobnie jak dla przypadku n = k
28
TRYPLET
1,
S
1
m
,
2
1
2
1
2
1
0
m
,
2
1
2
1
2
1
1
m
,
2
1
2
1
2
1
S
n
k
k
n
S
n
k
k
n
S
n
k
k
n
antysymetryczna część orbitalna,
symetryczna część spinowa
dwuelektronowej funkcji falowej
Podsumowując, dla: n ≠ k
2
1
2
1
n
k
k
n
S = 0, m
S
=
0
29
Składanie dwóch spinów, model
wektorowy
S = 0, m
= 0
S = 1, m
= 1
S = 1, m
= 0
S = 1, m =
-1
Copyright © 1972 by Addison-Wesley Publishing Company, Inc, Introduction to Atomic
Physics by Harald A. Enge.
© Copyright for the Polish edition by Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa
1983
30
Jakie będą energie?
(jak uwzględnić V
12
)
Singlet dla (1s)
2
stan podstawowy
Singlet i tryplet dla (1s, 2s) i dla (1s,
2p)
d
V
*
E
12
Pierwszy rząd rachunku zaburzeń,
funkcje przybliżenia zerowego (ψ) i
zaburzenie V
12
(nieuwzględniona część
hamiltonianu)
31
Dla stanu podstawowego (1s)
2
1
12
2
2
1
n
n
12
2
n
n
1
r
e
d
d
2
2
*
r
e
1
1
*
E
Przyjmując,
że:
0
12
a
r otrzymamy: ΔE
1
≈ 27
eV
,
r
2
e
v
m
2
1
E
2
2
e
K
,
r
e
E
2
P
r
2
e
E
E
E
2
K
P
Dla atomu wodoru w stanie
podstawowym:
E = –13.6 eV; zatem E
P
= –27.2 eV
Rzeczywista wartość ΔE
1
≈ 29.8 eV,
energia jonizacji He wyniesie zatem ok.
24.6 eV
32
Dla stanów wzbudzonych (1s, 2s) i (1s,
2p) mamy dwa rodzaje funkcji
przestrzennych; symetryczną (singlet) i
antysymetryczną (tryplet)
2
1
n
k
k
n
12
n
k
k
n
2
d
d
2
1
2
1
r
1
2
*
1
*
2
*
1
*
2
e
tryplet
glet
sin
E
33
2
1
n
n
12
k
k
2
2
1
k
k
12
n
n
2
d
d
2
2
*
r
1
1
1
*
2
e
d
d
2
2
*
r
1
1
1
*
2
e
2
1
n
k
12
k
n
2
2
1
k
n
12
n
k
2
d
d
2
2
*
r
1
1
1
*
2
e
d
d
2
2
*
r
1
1
1
*
2
e
34
2
1
k
n
12
n
k
2
2
1
k
k
12
n
n
2
d
d
2
2
*
r
1
1
1
*
e
d
d
2
2
*
r
1
1
1
*
e
wym
12
E
V
35
Schemat energetyczny najniższych
poziomów He
36
Oznaczenia stanów He
(1s)
2
0
l
,
0
l
2
1
S = 0 (musi być);
Pauli
0
l
l
L
l
l
0
2
1
2
1
L = 0
Jedyny dozwolony term
1
S
0
1s2s
0
l
,
0
l
2
1
S = 0
0
l
l
L
l
l
0
2
1
2
1
L = 0
symetryczna przestrzenna funkcja
falowa;
1
S
0
37
Ale ponieważ różne n może być S = 1:
symetryczna funkcja spinowa (S =
1) i antysymetryczna funkcja
przestrzenna
Zatem, choć L = 0, J = 1 i dozwolony
term będzie
3
S
1
tryplet a nie singlet
nie ma rozszczepienia spin – orbita
ale w polu magnetycznym (pokażemy to
później)
będą trzy, a nie dwie składowe
1s2
s
0
l
l
L
l
l
0
2
1
2
1
L = 0
38
Nie ma ograniczeń na S; dozwolony
singlet i tryplet
zatem mamy
1
P i
3
P
Dozwolone wartości J wyznaczamy z:
1s2p
1
l
l
L
l
l
1
2
1
2
1
L = 1
1
l
,
0
l
2
1
S
L
J
S
L
Ostatecznie mamy:
1
P
1
i
3
P
0,1,2
jedyny term ze strukturą subtelną to
3
P
J
39
Schemat
energetyczny
poziomów He,
energia He
1+
w
stanie
podstawowym
(1s) poziomem
odniesienia
Przejścia
jednoelektrono
we zgodne z
regułami
wyboru
Para- i ortohel
Copyright © Springer-Verlag, The Physics of Atoms and Quanta by Hermann Haken and
Hans Christoph Wolf
Copyright © for the Polish edition by Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2002
40
Kolejność poziomów zależy od znaku i
wielkości wyrazu związanego z
wymianą.
1. Niżej leżą termy o wyższej
multipletowości; większa wartość S
bardziej symetryczna funkcja spinowa,
bardziej antysymetryczna przestrzenna
funkcja falowa, większa wartość całki
wymiennej.
2. Wśród termów o tej samej
multipletowości niżej leżą termy o
większej wartości L; bardziej
antysymetryczna przestrzenna funkcja
falowa.
Kolejność poziomów; reguła
Hunda