1
ATOM WODORU,
JONY WODOROPODOBNE;
PEŁNY OPIS
CZĘŚĆ II
1
ATOM WODORU,
JONY WODOROPODOBNE;
PEŁNY OPIS
CZĘŚĆ II
2
Z protonów i jeden elektron:
E
r
Ze
sin
r
1
sin
sin
r
1
r
r
r
r
1
m
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
,
Y
r
R
,
,
r
Podstawiając funkcję postaci:
3
otrzymamy:
Y
1
Y
sin
1
Y
sin
sin
1
2
2
2
R
1
R
r
Ze
E
mr
2
dr
dR
r
dr
d
2
2
2
2
0
R
mr
2
h
1
r
Ze
E
m
2
dr
dR
r
dr
d
r
1
2
2
2
2
2
2
4
otrzymamy:
0
R
mr
2
h
1
r
Ze
E
m
2
rR
dr
d
r
1
2
2
2
2
2
2
r
(
dr
d
r
1
dr
d
r
dr
d
r
1
2
2
2
2
2
Wykorzystując inną postać laplasjanu:
5
0
rR
r
Ze
E
m
2
rR
dr
d
2
2
2
2
Rozpatrzymy najpierw przypadek ℓ
= 0 (funkcja Y
ℓ,m
stała, brak
zależności od kątów, symetria
kulistosymetryczna),
co oznacza brak wyrazu z energią
kinetyczną ruchu obrotowego:
6
Po podstawieniu:
promień Bohra Rydberg
otrzymamy:
0
2
2
a
mZe
r
R
2
4
2
E
2
e
Z
m
E
0
R
2
R
d
d
2
2
7
Przyjmiemy, że: oraz:
0
R
2
R
d
d
2
2
R
f
g
e
f
d
dg
e
g
e
d
df
Ponieważ:
8
oraz:
otrzymamy:
2
2
2
2
2
d
g
d
e
d
dg
e
d
dg
e
g
e
d
f
d
0
g
2
d
dg
2
d
g
d
2
2
2
9
Możemy wykorzystać swobodę w
wyborze α
i przyjąć:
wówczas otrzymamy:
0
g
2
d
dg
2
d
g
d
2
2
2
1
k
k
k
a
g
Szukamy rozwiązań w
postaci szeregu:
10
Wyliczamy pierwszą i drugą pochodną:
podstawiając otrzymamy:
Przenumerowujemy pierwszą sumę (za k
podstawiamy k+1):
1
k
1
k
k
k
a
d
dg
1
k
2
k
k
2
2
1
k
k
a
d
g
d
0
a
2
k
a
2
1
k
k
a
1
k
1
k
k
1
k
1
k
k
1
k
2
k
k
0
a
2
ka
2
a
1
k
k
1
k
1
k
k
k
1
k
11
Skąd otrzymujemy rekurencyjny wzór
na współczynniki a
k
:
Szereg taki będzie równy 0 dla każdej
wartości ρ tylko wtedy, gdy:
0
a
1
k
2
a
1
k
k
k
1
k
k
1
k
a
1
k
k
1
k
2
a
pozwalający wygenerować wszystkie
współczynniki a
k
(musimy tylko nadać
wartość współczynnikowi a
1
) a potem
otrzymać funkcję g, f, i na końcu R.
12
Dla dużych ρ (czyli dla dużych k):
Czy takie rozwiązanie jest fizycznie
prawidłowe?
k
k
1
k
a
k
2
a
1
k
k
1
k
2
a
czyli:
1
k
1
k
a
!
k
2
a
2
1
k
1
k
k
1
e
a
!
k
2
a
g
i:
e
e
e
f
2
a funkcja f:
zmierza do nieskończoności dla dużych
odległości elektronu od jądra;
rozwiązanie niefizyczne
13
Sposobem na rozwiązanie
problemu jest przyjęcie
warunku, że:
.
0
a
1
n
n
1
n
2
a
n
1
n
.
n
1
Równe zeru będą także następne wyrazy i
dostaniemy wielomian o skończonym
rzędzie n, rosnący wolniej niż funkcja
eksponencjalna.
Mamy wówczas:
Mamy wówczas:
2
2
n
1
14
W konsekwencji:
eV
n
1
6
,
13
n
1
2
e
Z
m
E
E
2
2
2
4
2
R
n
tzn. dopuszczone są tylko dyskretne
wartości energii, tak jak w teorii Bohra.
Wartości te odpowiadają kolejnym
wartościom liczby n, która, tak jak w
teorii Bohra, gra rolę głównej liczby
kwantowej
15
Natomiast część radialna funkcji falowej
wyrazi się:
gdzie:
n
n
n
n
g
e
f
R
n
1
k
k
k
n
a
g
k
1
k
1
a
1
k
k
1
n
k
2
a
;
1
a
2
2
0
0
mZe
a
;
a
r
oraz:
16
Kilka pierwszych funkcji radialnych dla ℓ
= 0:
e
1
R
1
2
2
e
2
1
R
3
2
3
e
27
2
3
2
1
R
4
3
2
4
e
192
1
8
1
4
3
1
R
17
Wracamy do pełnego równania
radialnego,
dopuszczamy zatem ℓ różne od zera:
0
rR
mr
2
h
1
r
Ze
E
m
2
rR
dr
d
2
2
2
2
2
2
0
2
2
a
mZe
r
R
2
4
2
E
2
e
Z
m
E
Po wykonaniu podstawień, takich samych
jak dla przypadku sferycznie
symetrycznego:
18
Otrzymujemy, podobnie jak poprzednio
równanie radialne (z dodatkowym
wyrazem):
Ten dodatkowy wyraz da dodatkowy wyraz
w rozwinięciu potęgowym funkcji g(ρ):
0
R
1
2
R
d
d
2
2
2
1
k
2
k
k
a
1
19
Z wyrazu tego wydzielamy pierwszy wyraz
i przenumerowujemy całą sumę:
1
k
1
k
1
k
1
a
a
1
0
a
1
a
2
ka
2
a
1
1
k
k
1
1
k
1
k
k
k
1
k
Ponieważ ℓ jest różne od zera, a
1
musi być
równe zeru.
20
Zerowanie innych wyrazów zajdzie wtedy
gdy:
co stanowi zmodyfikowany związek
rekurencyjny na współczynniki
rozwinięcia funkcji g(ρ).
k
1
k
a
1
1
k
k
1
k
2
a
Tak jak poprzednio, szereg musi się
urywać, co zajdzie dla k = n, gdy:
n
1
21
Ponieważ więc każdy kolejny
wyraz będzie równy 0, włącznie z
wyrazem k = ℓ.
0
a
1
Pierwszym wyrazem, który może być
różny od zera,
będzie wyraz a
ℓ+1
, ze względu na postać
wzoru rekurencyjnego (obecność wyrazu
ℓ(ℓ+1)).
Zatem, żeby nie okazało się, że wszystkie
wyrazy są równe zeru, musi zachodzić: ℓ
n
bo a
n+1
i następne wyrazy także muszą
być równe 0.
Dla danego n, k biegną od ℓ+1 do n.
Dozwolone wartości ℓ biegną od 0 do n –
1.
22
Dla małych ρ w funkcji R, równej:
dominować będzie wyraz z
A więc funkcje radialne R, dla większych
wartości ℓ, będą znacząco różnić się od
zera dalej od jądra.
g
e
.
Przykłady funkcji radialnych R dla kilku
wartości głównej (n) i pobocznej (ℓ)
liczby kwantowej:
23
0
2
0
2
3
0
32
0
0
0
2
3
0
31
0
2
0
0
2
3
0
30
0
0
2
3
0
21
0
0
2
3
0
20
0
2
3
0
10
a
3
Zr
exp
a
Zr
5
27
2
2
a
3
Z
r
R
a
3
Zr
exp
a
6
Zr
1
a
Zr
3
2
4
a
3
Z
r
R
a
3
Zr
exp
a
Zr
27
2
a
3
Zr
2
1
2
a
3
Z
r
R
a
2
Zr
exp
a
3
Zr
2
a
2
Z
r
R
a
2
Zr
exp
a
2
Zr
1
2
a
2
Z
r
R
a
Zr
exp
2
a
Z
r
R
24
Radialna gęstość prawdopodobieństwa
dla elektronów 3s, 3p i 3d w atomie H
Choć średnio
elektron 3s jest
dalej od jądra,
prawdopodobień
stwo znalezienia
go w obszarze
bliskim jądra jest
większe niż dla
elektronu 3p i 3d
25
Schemat poziomów energetycznych
atomu wodoru;
diagram Grotriana
Dla jonów
wodoropodobnych
zmiana skali E ze
względu na Z
Degeneracja ze względu
na ℓ (degeneracja
orbitalna)