1
Estymacja punktowa
i przedziałowa
1
Estymacja punktowa
i przedziałowa
2
Wnioskowanie
statystyczne
Obejmuje zasady i metody uogólniania
wyników otrzymanych z próby losowej na
całą populację, z której ta próba pochodzi,
na
bazie
reguł
rachunku
prawdopodobieństwa.
Jest określane jako indukcyjna statystyka
matematyczna.
3
Wnioskowanie
statystyczne
Estymacja
Weryfikacja
hipotez
statystycznych
4
Teoria estymacji
Badania niepełne (obejmujące wybrane jednostki)
populacji wymagają określenia estymatorów, na
podstawie których będziemy weryfikowali hipotezy
badawcze, dotyczące ich parametrów.
Estymator – wielkość (statystyka, charakterystyka)
wyznaczona na postawie próby losowej, służąca do
oceny wartości nieznanego parametru populacji
generalnej.
Estymatorem parametru Q rozkładu zmiennej losowej X
nazywamy statystykę:
Z
n
= f(X
1
, X
2
,…, X
n
)
której rozkład prawdopodobieństwa zależy od
szacowanego parametru Q
5
Teoria estymacji c.d.
Przykładowo dla populacji generalnej o rozkładzie
normalnym N(,σ) z nieznaną wartością oczekiwaną i
wariancją, statystyki w postaci średniej arytmetycznej
oraz wariancji z próby są estymatorami, gdyż ich
rozkłady zależą od odpowiednich parametrów populacji.
Estymator jako statystyka z próby jest zmienną losową.
Posiada zatem rozkład z określonymi parametrami.
Rozkład estymatora Z
n
jest determinowany przez rozkład
zmiennej losowej X w populacji generalnej, przy czym
rozkład ten jest zależny od parametru Q. Każda z
niezależnych zmiennych X
i
(i = 1, 2, …, n) stanowiących
próbę, których funkcją jest Z
n
, ma więc taki rozkład jak
zmienna X w populacji generalnej.
6
Teoria estymacji c.d.2
Konkretną wartość liczbową z
n
= f(x
1
, x
2
, …, x
n
), jaką
przyjmuje estymator Z
n
parametru Q dla realizacji próby
(x
1
, x
2
, …, x
n
), nazywamy oceną parametru Q
. Ocena z
n
jest zatem realizacją zmiennej losowej Z
n
.
Z uwagi na to, że estymacji pewnego parametru za
pomocą określonego jego estymatora Z
n
dokonujemy na
podstawie wyników próby losowej, istnieje możliwość
popełnienia
błędu.
Błędem
szacunku
(estymacji)
parametru Q nazywamy różnicę między uzyskaną
liczbową oceną parametru i jego prawdziwą wartością, tj.
z
n
– Q.
7
Teoria estymacji c.d.3
W celu uzyskania dobrej precyzji szacunku tzn. małego
błędu estymacji, należy dbać zarówno o prawidłowe
losowanie próby, jak i o dobór możliwie najlepszego
estymatora Z
n
dla oszacowanego parametru Q. W tym
celu wprowadza się pewne własności, które powinien
posiadać dobry estymator. Są nimi: nieobciążalność,
zgodność,
efektywność
i
dostateczność
(wystarczalność).
8
Własności estymatora
Estymator Z
n
parametru Q nazywamy nieobciążonym,
jeżeli jego wartość oczekiwana jest równa szacowanemu
parametrowi: E(Z
n
) = Q. W przeciwnym wypadku
estymator
Z
n
nazywamy
obciążonym.
Właściwość
nieobciążoności oznacza, że przy wielokrotnym losowaniu
próby średnia z wartości przyjmowanych przez estymator
nieobciążony równa się wartości szacowanego parametru
.
Estymator jest zgodny, gdy wraz ze wzrostem liczebności
próby uzyskuje się coraz większe prawdopodobieństwo
tego, że estymator będzie przyjmować wartości coraz
bliższe wartości szacowanego parametru Q.
9
Własności estymatora
c.d.
Jeśli wyliczymy wariancję jako rozrzut ocen
szacowanego parametru Q wokół prawdziwej jego
wartości, to jako estymator najefektywniejszy
uznaje się ten, którego wartość tak wyliczonej
wariancji jest najmniejsza.
Estymator Z
n
parametru Q jest dostateczny,
jeżeli zawiera wszystkie informacje, jakie na
temat parametru Q występują w próbie i żaden
inny estymator nie może dać dodatkowych
informacji o szacowanym parametrze.
10
Własności estymatora
c.d.2
Na przykład spośród dwóch nieobciążonych estymatorów
wartości oczekiwanej E(X), którymi są średnia arytmetyczna
z próby oraz wartość:
drugi z wymienionych tu estymatorów nie jest dostatecznym,
gdyż przy jego wyznaczaniu wzięto pod uwagę jedynie dwie
wartości z próby.
2
~
max
min
x
x
X
Estymatory
parametryczne
nieparametryczne
punktowe
przedziałowe
11
Przykłady estymatorów
Parametr
Estymator
Właściwości
wartość przeciętna
nieobciążony, zgodny,
w populacji μ
najefektywniejszy
wariancja
zgodny
w populacji σ
2
wariancja
nieobciążony,
w populacji σ
2
zgodny
2
1
2
1
1
)
(
1
1
)
(
1
1
X
X
n
X
X
n
X
n
n
i
i
n
i
i
n
i
i
2
^
2
S
S
X
12
Rodzaje estymacji
W estymacji punktowej za ocenę nieznanej
wartości parametru Q w populacji przyjmuje się jedną
konkretną liczbę otrzymaną – przy zachowaniu
odpowiednich reguł postępowania – z wyników próby
losowej. Zwykle przy szacowaniu danego parametru
obok jego oceny podaje się średni błąd szacunku
estymatora nieobciążonego.
Prawdopodobieństwo tego, że w populacjach ciągłych
estymator przyjmie wartość równą szacowanemu
parametrowi równa się zeru. Jest to jeden z powodów,
dla których stosuje się estymację przedziałową.
13
Rodzaje estymacji c.d.
Estymacja przedziałowa polega na konstruowaniu
przedziału liczbowego, który z określonym z góry –
bliskim jedności – prawdopodobieństwem będzie
zawierał nieznaną wartość szacowanego parametru
Q
.
Przedział ten nosi nazwę przedziału ufności, a jego
ogólna postać jest następująca:
prawd.
parametr
poziom ufności
lewy kraniec
prawy kraniec przedziału ufności
1
2
1
n
n
Z
g
Q
Z
g
P
14
Wyliczenie przedziału
ufności dla średniej
testem t-Studenta
Przedział ufności dla średniej populacji wyliczony
na podstawie n elementowej próby określamy jako:
gdzie: t
; n-1
- oznacza wartość krytyczną testu t-
Studenta dla poziomu istotności i liczby stopni
swobody =n-1.
x
n
x
n
s
t
x
s
t
x
1
;
1
;
15
Przedział ufności -
interpretacja parametrów
W celu prawidłowego zrozumienia od czego zależy
wielkość przedziału ufności należy przeanalizować
poszczególne zmienne które decydują o długości
przedziału ufności:
-
liczebność próby ?,
-
rozrzut wyników w obrębie próby ?,
-
średnia arytmetyczna ?
16
Przykład 1 (estymacja punktowa)
Pobrano próbę obejmującą n=10 następujących pomiarów
koncentracji
SO
2
(w µmol·mol
-1
) w powietrzu: 10,1; 10,9; 11,2; 11,6; 13,7;
14,1; 15,6;
14,1;14,2; 12,9. Na podstawie tych danych oszacować
przeciętne
stężenie dwutlenku siarki oraz błąd szacunku.
)
57
,
0
(
84
,
12
57
,
0
10
79
,
1
79
,
1
1
10
)
(
84
,
12
10
1
)
(
)
(
2
10
1
10
1
2
1
x
i
i
i
i
n
i
i
x
x
s
x
x
s
x
x
n
x
x
s
n
s
s
s
x
17
Wniosek
Szacowane przeciętne stężenie
SO
2
w powietrzu wynosi:
)
μmol·mol
57
,
0
(
μmol·mol
84
,
12
1
1
18
Przykład 2 (estymacja
przedziałowa)
Na podstawie danych z przykładu 1 określić
-stosując 95% przedział ufności - w jakich
granicach znajduje się prawdziwa średnia wartość
stężenia dwutlenku siarki.
13
,
14
55
,
11
29
,
1
84
,
12
29
,
1
84
,
12
29
,
1
57
,
0
262
,
2
·
262
,
2
57
,
0
84
,
12
·
·
05
,
0
95
,
0
1
1
;
9
1
;
05
,
0
1
;
1
;
)
tablic
z
(
x
n
n
x
x
n
x
n
s
t
t
s
x
s
t
x
s
t
x
19
Z
prawdopodobieństwem
popełnienia błędu mniejszym niż
0,05 można stwierdzić, że średnia
wartość stężenia dwutlenku siarki
w powietrzu jest nie mniejsza niż
11,55 μmol·mol
-1
i nie większa niż
14,13 μmol·mol
-1
.
WNIOSEK
20
Przykład 3 (estymacja
przedziałowa)
W laboratorium trzykrotnie (n=3) powtarzano analizę
preparatu ze
względu na zawartość substancji czynnej i uzyskano
następujące
wyniki: 0,8403; 0,8363; 0,8447 g/l. Odchylenie standardowe
jest znane i wynosi σ=0,0068 g/l. Określić 99% przedział
ufności
średniej μ.
8505
,
0
08303
,
0
0101
,
0
8504
,
0
0101
,
0
08404
,
0
0101
,
0
3
0068
,
0
58
,
2
·
58
,
2
;
01
,
0
;
0068
,
0
8404
,
0
3
8447
,
0
8363
,
0
8403
,
0
n
z
z
x
n
z
x
n
z
x
21
Z
prawdopodobieństwem
popełnienia błędu mniejszym niż
0,01 można stwierdzić, że średnia
wartość
koncentracji
substancji
aktywnej w preparacie jest nie
mniejsza niż 0,8303 g/l
i nie
większa niż 0,8505 g/l.
WNIOSEK