Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne – Zima 2008/2009
1
Metody ekonometryczne
ćwiczenia 5
REGRESJA POZORNA
WSPÓŁLINIOWOŚĆ
WSPÓŁCZYNNIKI BETA
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne – Zima 2008/2009
1
Metody ekonometryczne
ćwiczenia 5
REGRESJA POZORNA
WSPÓŁLINIOWOŚĆ
WSPÓŁCZYNNIKI BETA
Stopień integracji
szeregu Y
t
szereg zintegrowany w stopniu 0,
zapisujemy: I(0) – stacjonarny
I(1) – taki, że Y
t
jest I(0)
I(2) – taki, że
Y
t
=Y
t
jest I(0)
itd.
Uwaga na zapis!
Y
t
=Y
t
=(Y
t
-Y
t-1
)-(Y
t-1
-Y
t-
)
Y
t
=Y
t
-Y
t-
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne - Zima
2008/2009
Regresja pozorna
t
t
t
x
y
I(1)
I(1)
t
y
Proces
przyrostostacjonarny
- stacjonarny (np. błądzenie losowe)
Proces trendostacjonarny
t
t
t
y
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne - Zima
2008/2009
Test Dickey-Fullera (1)
t
t
t
y
y
1
t
t
t
y
y
1
)
1
(
t
t
t
y
y
1
H
0
: =0 i proces y
t
jest niestacjonarny
H
1
: <0 i proces y
t
jest stacjonarny
Odrzucenie H0 oznacza, że proces jest I(0). Jeżeli nie odrzucimy
H0, testujemy po raz drugi, szacując analogiczne testowe
równanie regresji dla szeregu zróżnicowanego jeszcze raz.
t
t
t
y
y
1
2
H
0
: =0 i proces y
t
jest zintegrowany w stopniu >1
H
1
: <0 i proces y
t
jest I(1)
Statystyka testowa t=/s() ma specjalny rozkład (tablice),
wartość obliczona niższa od wartości krytycznej pozwala
odrzucić H
0
.
...i tak dalej, aż do odrzucenia H0 lub stwierdzenia, że szereg jest
> I(3), co prawdopodobnie oznacza niską moc testu (korzystamy z
innego).
Rozszerzony test Dickey-Fullera
(ADF)
t
K
k
k
t
k
t
t
y
y
y
1
1
Dla uniknięcia autokorelacji składnika losowego w regresji
testowej. Wnioskowanie analogiczne, jak w teście DF. Osobne
wartości krytyczne.
Inne specyfikacje regresji testowej
t
K
k
k
t
k
t
t
y
y
y
1
1
ze stałą (zalecane)
t
K
k
k
t
k
t
t
y
y
t
y
1
1
ze stałą i trendem (test hipotezy o trendostacjonarności)
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne - Zima
2008/2009
Kointegracja (1)
zmienne niestacjonarne mogą
długookresowo pozostawać w stanie
wzajemnej równowagi
przykłady:
– płace, bezrobocie i wydajność pracy
– zasada parytetu siły nabywczej: kurs nominalny,
ceny w kraju, ceny za granicą
odchylenia od tej równowagi mogą mieć
charakter stacjonarny
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne - Zima
2008/2009
Kointegracja (2)
X=[X
1
,...X
K
] – zbiór zmiennych
=[
1
,...,
K
]’ – wektor współczynników
kombinacji liniowej
kombinacja liniowa zmiennych X może być
stacjonarna (jeśli tak jest, mówimy, że
zmienne są skointegrowane, a to wektor
kointegrujący)
zbiór K zmiennych musi zawierać więcej niż
jedną zmienną zintegrowaną w najwyższym
w tym zbiorze stopniu
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne - Zima
2008/2009
Metoda Engla-Grangera
szukamy wektora kointegrującego dla y i
x
x
1. weryfikujemy stopień integracji zmiennych y i
x
x
(stwierdzenie stacjonarności wszystkich zmiennych lub
niestacjonarności tylko jednej z nich powoduje, że
analiza kointegracji nie ma sensu)
2. obliczamy współczynniki regresji liniowej y względem
x
x
3. sprawdzamy za pomocą znanych narzędzi (np. test
ADF), czy reszty z tej regresji (e) są stacjonarne; jeśli
są, znaleźliśmy wektor kointegrujący
reszty z regresji (2) traktujemy jak odchylenia od
równowagi długookresowej i wykorzystujemy
jako regresor (error correction term) w modelu
ECM
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne - Zima
2008/2009
Model korekty błędem
(ECM)
model ADL możemy przedstawić również jako model
korekty błędem
znajomość wektora kointegrującego ułatwia proces
jego estymacji
t
t
t
e
x
x
y
2
2
1
0
2
2
1
0
x
x
y
e
t
t
t
2
1
0
1
t
t
t
t
t
x
x
e
y
2
2
1
1
1
model
ekwiwalent
ny wobec
ADL (1,1,2)
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne - Zima
2008/2009
Związek między
modelami ADL i ECM
Można wykazać, że model ADL(1,1,1)
można przedstawić jako model ECM
gdzie
0
,
1
– współczynniki z
długookresowego rozwiązania statycznego
dla modelu ADL.
Co pozostawiamy jako zadanie domowe
t
t
t
t
t
x
x
y
y
1
1
0
1
1
0
t
t
t
t
t
x
x
y
y
0
1
1
0
1
1
)
)(
1
(
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne - Zima
2008/2009
Mechanizm korekty
błędem
zmiana y zależy od bieżących zmian x oraz
odchylenia od równowagi długookresowej w
poprzednim okresie
– parametr korekty błędem
=0 – mechanizm korekty błędem nie działa
-1<<0 – mechanizm działa prawidłowo
(odchylenie od równowagi długookresowej
niwelowane)
= -1 – odchylenie od równowagi niwelowane
już po jednym okresie
t
t
t
t
t
x
x
e
y
2
2
1
1
1
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne - Zima
2008/2009
Porównywalność
współczynników regresji
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne - Zima
2008/2009
12
i
i
i
i
i
śpiew
kobiety
wino
const
c
uzytecznos
1
,
5
0
,
4
6
,
0
[l]
[szt.
]
[min
]
jak interpretujemy poszczególne współczynniki?
który z trzech czynników wpływa na użyteczność
najbardziej?
a jeżeli śpiew zaczniemy mierzyć w godzinach, a wino
w liczbie półlitrowych butelek?
wartość współczynnika wynika z:
– siły oddziaływania na zmienną objaśnianą
– skali zmienności regresora, przy którym stoi
[deklarowane
j]
Współczynniki beta (1)
13
standaryzujemy zmienne (wystarczy podzielić
przez odchylenie standardowe):
szacujemy równanie za pomocą MNK:
)
(
*
y
s
y
y
)
(
*
k
k
k
x
s
x
x
dla każdego k = 1,
…, K
i
Ki
K
i
i
x
x
y
*
*
1
1
0
*
...
i
Ki
Ki
K
i
i
x
s
x
x
s
x
y
s
y
)
(
...
)
(
)
(
1
1
1
0
i
Ki
Ki
K
i
i
i
x
x
s
y
s
x
x
s
y
s
y
)
(
)
(
...
)
(
)
(
1
1
1
0
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne - Zima
2008/2009
Współczynniki beta (2)
14
WNIOSEK: równoważną metodą jest
skorygowanie współczynników zwykłej
regresji o iloraz odchyleń standardowych
zmiennej objaśnianej i objaśniających
i
Ki
K
i
i
x
x
y
...
1
1
0
i
Ki
Ki
K
i
i
i
x
x
s
y
s
x
x
s
y
s
y
)
(
)
(
...
)
(
)
(
1
1
1
0
)
(
)
(
)
(
)
(
y
s
x
s
x
s
y
s
k
k
k
k
k
k
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne - Zima
2008/2009
nie obliczymy
ze względu na
nieodwracalność
X
T
X
Czym jest
współliniowość?
regresor
y nie są
niezależ
ne
niektóre
kombinac
ją liniową
pozostały
ch
niektóre
wysoko
skorelowa
ne
y
X
X
X
T
T
1
ˆ
X
T
X będzie
macierzą
osobliwą (-
>
Matematyk
a)
elementy
diagonalne
X
T
X blisko 0
elementy
diagonalne (X
T
X)
-
1
i
(X
T
X)
-1
wysokie, a więc
wysokie także
błędy
standardowe
oszacowań i
precyzja
szacunku niska
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne - Zima
2008/2009
Diagnostyka
współliniowości
1.
1.
macierz korelacji
macierz korelacji
–
Gretl: widok – macierz korelacji
–
pokazuje tylko bilateralne związki
–
brak jasnej granicy, powyżej której uznajemy problem za poważny
2.
2.
czynnik inflacji wariancji
czynnik inflacji wariancji dla j-tego regresora
gdzie R
2j
to R
2
z regresji j-tego regresora względem pozostałych
(ze stałą)
umowna wartość graniczna: 10, powyżej - współliniowość
3.
3.
indeks warunkowy
indeks warunkowy
gdzie l to wartości własne macierzy powstałej z macierzy X
T
X przez
podzielenie każdej jej komórki (i,j) przez iloczyn pierwiastków jej
elementów diagonalnych (i,i) i (j,j)
umowna wartość graniczna: 20, powyżej - współliniowość
j
j
R
VIF
2
1
1
2
/
1
min
max
Gretl: testy –
test
współliniowo
ści w oknie
modelu
Co robić?
wzmocnić precyzję szacunku przez
rozszerzenie próby, usunięcie zmiennej,
nałożenie warunków na parametry lub
rezygnację z estymacji parametru (wyniki
innych badań itp.)
„ręcznie” zwiększyć wartości diagonalnych
elementów macierzy X
T
X (regresja
grzbietowa)
ze współliniowych zmiennych „wycisnąć”
wspólną zmienność i zapisać ją w mniejszej
liczbie nowych, niezależnych zmiennych
(metoda głównych składowych)
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne - Zima
2008/2009
18
Literatura do ćwiczeń 3
Welfe, rozdział 5 (cały!)
Dla chętnych:
– Maddala, rozdział 7
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne - Zima
2008/2009