Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne – Zima 2008/2009
1
Metody ekonometryczne
ćwiczenia 7-10
MODELE
WIELORÓWNANIOWE:
IDENTYFIKACJA
2MNK
MNOŻNIKI I
STABILNOŚĆ
3MNK
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne – Zima 2008/2009
1
Metody ekonometryczne
ćwiczenia 7-10
MODELE
WIELORÓWNANIOWE:
IDENTYFIKACJA
2MNK
MNOŻNIKI I
STABILNOŚĆ
3MNK
Identyfikowalność
Niektóre równania w strukturze naszego modelu mogą nie być
identyfikowalne (np. podaż i popyt w zależności od ceny przy
warunku równowagi).
WARUNEK KONIECZNY identyfikowalności j-tego równania (order
condition):
– liczba zmiennych endogenicznych będących regresorami w j-tym
równaniu
musi być mniejsza lub równa
liczbie zmiennych egzogenicznych modelu, które w tym
równaniu nie występują
WARUNEK WYSTARCZAJĄCY identyfikowalności j-tego równania
(rank condition):
– z macierzy parametrów formy zredukowanej wybieramy
podmacierz, której kolumny odpowiadają zmiennym
endogenicznym będącym regresorami w j-tym równaniu, a
wiersze – zmiennym egzogenicznym nie występującym w j-tym
równaniu; macierz ta ma rząd równy liczbie swych kolumn
– zauważmy, że zawiera się tu warunek konieczny (macierz o wielu
kolumnach i mniejszej liczbie wierszy w oczywisty sposób nie
może mieć rzędu równego liczbie kolumn)
Identyfikowalność -
przykład
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
X
X
Y
Y
X
X
Y
Y
X
X
Y
Y
3
4
4
2
2
2
5
0
3
2
2
2
1
1
1
5
0
2
1
3
3
1
1
2
5
0
1
y
y
1
1
y
y
2
2
y
y
3
3
1
1
x
x
1
1
x
x
2
2
x
x
3
3
x
x
4
4
y
y
1
1
-1 a
5
0
a
0
a
1
0
a
3
0
y
y
2
2
b
5
-1
0
b
0
b
1
b
2
0
0
y
y
3
3
0
c
5
-1
c
0
0
c
2
0
c
4
Czy te modele są
identyfikowalne?
t
t
t
t
t
t
t
t
t
Z
Y
Y
Z
Z
Y
Y
2
2
2
1
1
2
1
3
3
1
2
2
1
1
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
S
Q
D
Q
P
S
P
D
2
1
0
1
1
0
Estymacja parametrów
modeli wielorównaniowych
moglibyśmy estymować parametry poszczególnych
równań za pomocą KMNK
problem: w równaniu po prawej stronie zmienne
endogeniczne
– ich elementem są składniki losowe
– korelacja zmiennych objaśniających ze składnikami losowymi
– utrata zgodności estymatorów KMNK
w postaci zredukowanej problem jest wyeliminowany, ale
parametrów do oszacowania jest znacznie więcej…
(dlaczego?)
j
j
j
j
j
j
B
X
A
Y
y
~
~
~
~
zmienna
objaśniania w j-
tym równaniu
zmienne objaśniane w innych
równa-niach, będące dla y
j
objaśniającymi
zmienne
egzogeniczne (spoza
modelu) objaśniające
y
j
Podwójna MNK (2MNK,
2SLS) – krok 1
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne - Wiosna
2007/2008
6
j
j
j
j
j
j
B
X
A
Y
y
~
~
~
~
te zmienne są
funkcją zmiennych
egzogenicznych –
zarówno
występujących w j-
tym równaniu, jak i
nie występujących
D
X
X
D
X
Y
j
j
j
ˆ
~
~
~
ˆ
ˆ
~
Krok 1: szacujemy parametry
powyższego modelu za pomocą
KMNK.
j
T
j
j
j
j
T
j
j
j
T
T
Y
X
X
X
X
X
X
Y
X
X
X
D
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
ˆ
1
1
Otrzymujemy w ten sposób wartości
teoretyczne Y
j
, nieskorelowane ze
składnikiem losowym:
D
X
Y
j
ˆ
ˆ
~
Podwójna MNK (2MNK,
2SLS) – krok 2
7
j
j
j
j
j
j
B
X
A
Y
y
~
~
~
~
Krok 2: Rzeczywiste wartości endogenicznych
zmiennych objaśniających w powyższym wzorze
zastępujemy wartościami teoretycznymi z
pierwszego kroku i otrzymujemy estymator 2MNK:
j
T
j
j
T
j
j
T
j
j
T
j
j
T
j
j
T
j
j
T
j
j
j
j
T
j
j
j
j
y
X
y
Y
X
X
Y
X
X
Y
Y
Y
y
X
Y
X
Y
X
Y
B
A
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
ˆ
~
ˆ
~
1
1
Estymator KMNK dla wektora parametrów
j-tego równania wyglądałby następująco:
j
T
j
j
T
j
j
T
j
j
T
j
j
T
j
j
T
j
j
j
y
X
y
Y
X
X
Y
X
X
Y
Y
Y
B
A
~
ˆ
~
~
~
ˆ
~
~
~
ˆ
~
ˆ
~
ˆ
~
ˆ
~
ˆ
~
1
Ćwiczenie
Oszacuj parametry następującego
modelu:
za pomocą podwójnej MNK w Excelu.
Plik 2mnk.xls
2
2
1
0
1
2
1
0
F
Q
P
D
P
Q
Przykład: model Kleina I
2MNK w Gretlu
Model – model równań
współzależnych
Model dynamiczny (1)
t
s
S
s
s
t
t
s
S
s
s
t
t
B
X
B
X
A
Y
A
Y
1
0
1
0
t
s
S
s
s
t
t
s
S
s
s
t
t
A
B
X
A
B
X
A
A
Y
Y
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
2
1
*
...
S
t
t
t
t
t
Y
Y
Y
Y
Y
S
t
S
t
t
t
t
t
X
X
X
X
X
X
1
2
1
*
...
Oznaczmy:
Y
t
*
to macierz zawierająca bieżące wartości zmiennych
endogenicznych i ich opóźnienia do rzędu S-1 włącznie. W
tej sytuacji macierz Y
t-1
*
zawiera wszystkie opóźnienia zm.
endogenicznych wchodzące do modelu jako zmienne
objaśniające.
Model dynamiczny (2)
t
t
t
t
V
D
X
D
Y
Y
2
*
1
*
1
*
gdzie:
0
0
0
0
...
0
0
...
...
...
...
...
0
...
0
0
...
0
1
0
1
0
1
1
0
2
1
0
1
1
A
A
I
A
A
I
A
A
I
A
A
D
S
S
0
...
0
0
...
...
...
...
...
0
...
0
0
0
...
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
2
A
B
A
B
A
B
D
S
0
...
0
1
0
A
V
t
t
Ten zapis jest równoważny równaniu w postaci
zredukowanej, uzupełnionemu o szereg
warunków
y
t-1
=y
t-1
, y
t-2
=y
t-2
, ... y
t-S+1
= y
t-S+1
Postać końcowa modelu
t
t
t
t
V
D
X
D
Y
Y
2
*
1
*
1
*
1
2
*
1
1
*
2
*
1
t
t
t
t
V
D
X
D
Y
Y
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
V
D
V
D
X
D
D
X
D
Y
V
D
X
D
V
D
X
D
Y
Y
1
1
2
*
1
2
*
1
2
1
*
2
2
*
1
1
2
*
1
1
*
2
*
Kontynuując takie podstawianie,
otrzymujemy POSTAĆ KOŃCOWĄ modelu:
1
0
1
1
0
1
2
*
1
*
*
S
s
s
s
t
S
s
s
s
t
S
S
t
t
D
V
D
D
X
D
Y
Y
Mnożniki
1
0
1
1
0
1
2
*
1
*
*
S
s
s
s
t
S
s
s
s
t
S
S
t
t
D
V
D
D
X
D
Y
Y
MNOŻNIKI
BEZPOŚREDNI
E
MNOŻNIKI
POŚREDNIE
(po s okresach)
s
c
c
D
D
0
1
2
MNOŻNIKI
SKUMULOWAN
E (po s
okresach)
1
1
2
0
1
2
D
I
D
D
D
c
c
MNOŻNIKI
DŁUGOOKRESO
WE
Stabilność modelu
Model jest stabilny, gdy:
Można udowodnić, że dzieje się
tak wtedy, gdy największy z
modułów wartości własnych
macierzy D
1
jest mniejszy od 1.
0
lim
1
s
s
D
Ćwiczenie
W modelu Kleina I:
– wyznacz mnożniki bezpośrednie,
pośrednie, skumulowane i
długookresowe;
– zbadaj stabilność.
Literatura
„Ekonometria”, SGH, rozdział 8
Welfe – rozdział 8
– 8.1-8.4 – wprowadzenie, notacja
– 8.5 (stabilność)
– 8.6 – identyfikowalność
– 8.7, 8.8(3) – 2MNK
Aneks (dla chętnych):
3MNK
Estymacja parametrów każdego równania za
pomocą KMNK abstrahuje od endogeniczności
niektórych zmiennych objaśniających.
2MNK uwzględnia tę endogeniczność, lecz za jej
pomocą estymujemy parametry każdego
równania osobno.
Korelacje między składnikami losowymi
poszczególnych równań nie zostają uwzględnione
w procesie estymacji – utrata (asymptotycznej)
efektywności (por. autokorelacja).
Wady tej w modelu nie będzie, gdy
przeprowadzimy łączną estymację parametrów
wszystkich równań, uwzględniając korelacje
składników losowych poszczególnych równań.
Potrójna MNK (3MNK,
3SLS) (1)
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne - Wiosna
2007/2008
19
Korzystamy z podwójnej MNK w celu
oszacowania parametrów poszczególnych
równań osobno. Dzięki temu otrzymujemy
wektor wartości teoretycznych i reszt
losowych dla każdego z równań osobno:
Obliczamy kowariancje między resztami
losowymi poszczególnych równań:
m
j ,...,
1
j
yˆ
j
ˆ
n
j
T
i
ij
ˆ
ˆ
ˆ
mm
m
m
m
m
ˆ
...
ˆ
ˆ
...
...
...
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
...
ˆ
ˆ
ˆ
2
1
2
22
21
1
21
11
Potrójna MNK (3MNK,
3SLS) (2)
20
Potraktujmy nasz model wielorównaniowy
jako „macierzowy” model jednorównaniowy:
m
m
m
m
F
F
F
Z
Z
Z
y
y
y
...
~
...
~
~
~
0
0
...
0
~
0
0
0
~
...
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
~
~
F
Z
y
2
2
2
2
~
~
F
Z
y
m
m
m
m
F
Z
y
~
~
wektor
nx1
obserwacji
zmiennej
objaśniane
j m-tego
równania
macierz nxK
m
obserwacji na
zmiennych
objaśniających
(endogenicznyc
h i
egzogenicznyc
h) m-tego
równania
wektor K
m
x1
parametrów
m-tego
równania
wektor nx1
składników
losowych m-tego
równania
wektor K
1
+ K
2
+…
+ K
m
parametrów
modelu
F
Z
y
Potrójna MNK (3MNK,
3SLS) (3)
21
Jak wygląda macierz wariancji-kowariancji
składnika losowego naszego „macierzowego”
modelu?
2
33
2
23
2
13
2
33
2
23
2
13
2
33
2
23
2
13
2
33
2
23
2
13
2
23
2
22
2
12
2
23
2
22
2
12
2
23
2
22
2
12
2
23
2
22
2
12
2
13
2
12
2
11
2
13
2
12
2
11
2
13
2
12
2
11
2
13
2
12
2
11
Dygresja: iloczyn
Kroneckera (1)
22
22
21
22
22
21
21
21
12
22
11
22
12
21
11
21
22
12
21
12
22
11
21
11
12
12
11
12
12
11
11
11
22
21
12
11
22
22
21
12
11
21
22
21
12
11
12
22
21
12
11
11
22
21
12
11
22
21
12
11
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
b
b
b
a
b
b
b
b
a
b
b
b
b
a
b
b
b
b
a
b
b
b
b
a
a
a
a
Można wykazać, że
1
1
1
B
A
B
A
Dygresja: iloczyn
Kroneckera (2)
I
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
2
33
2
23
2
13
2
23
2
22
2
12
2
13
2
12
2
11
2
33
2
23
2
13
2
33
2
23
2
13
2
33
2
23
2
13
2
33
2
23
2
13
2
23
2
22
2
12
2
23
2
22
2
12
2
23
2
22
2
12
2
23
2
22
2
12
2
13
2
12
2
11
2
13
2
12
2
11
2
13
2
12
2
11
2
13
2
12
2
11
Potrójna MNK (3MNK,
3SLS) (4)
24
Nasz CAŁY model umownie zapisaliśmy jako:
Macierz wariancji-kowariancji dla CAŁEGO
modelu ma zatem postać:
Znając tę macierz, możemy zastosować
UMNK z
Stąd estymator 3MNK:
I
I
y
I
Z
Z
I
Z
F
T
T
SLS
1
1
1
3
ˆ
F
Z
y
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne - Zima
2008/2009
25
Literatura do ćwiczeń 7-8
Welfe, rozdział 8.9 (1) – 3MNK