Andrzej Torój - Metody 

ekonometryczne - Zima 2008/2009

1

Metody ekonometryczne

ćwiczenia 6
Modele z restrykcjami
Testowanie stabilności

Andrzej Torój - Metody 

ekonometryczne - Wiosna 

2007/2008

2

Ograniczenia dla 
parametrów





Xb

y





min

1

2

1

2















n

i

i

i

n

i

i

b

X

y



minimalizacja względem b bez warunków ograniczających daje:





y

X

X

X

b

T

T

1





możemy jednak nałożyć (i przetestować) na wektor parametrów 
b ograniczenia liniowe:

q

Rb

m

K

mK

m

m

K

K

K

K

q

b

r

b

r

b

r

q

b

r

b

r

b

r

q

b

r

b

r

b

r

























...

...

...

...

2

2

1

1

2

2

2

22

1

21

1

1

2

12

1

11

w zapisie (krótszym i wygodniejszym) macierzowym:

Andrzej Torój - Metody 

ekonometryczne - Wiosna 

2007/2008

3

KMNK przy warunkach 
pobocznych

*

*





Xb

y





min

1

2

*

1

2















n

i

i

i

n

i

i

b

X

y



p.w.

:

















q

Rb

R

X

X

R

R

X

X

b

b

T

T

T

T













1

1

1

*

q

Rb 

*

 



















n

i

n

i

Xb

y

RRSS

1

2

*

1

2

*



Oznaczmy:

 



















n

i

n

i

Xb

y

URSS

1

2

1

2



Andrzej Torój - Metody 

ekonometryczne - Wiosna 

2007/2008

4

Test Walda





Xb

y

H

0

: 

q

Rb

H

1

: 

q

Rb









)

1

/(

/









K

n

URSS

m

URSS

RRSS

F

m – liczba 
warunków 
ograniczający
ch

Statystyka testowa ma rozkład F (m, n-K-
1). Odrzucamy H

0

 przy wartości wyższej 

od wartości krytycznej dla danego 
poziomu istotności (p-value niższym od 
tego poziomu).

Andrzej Torój - Metody 

ekonometryczne - Wiosna 

2007/2008

5

Test istotności zestawu 
zmiennych jako test 
Walda (1)



Czy cały zestaw zmiennych objaśniających 
jest istotny?

H

0

: 

0

...

2

1









k

b

b

b









)

1

/(

/









K

n

URSS

m

URSS

RRSS

F

q

Rb













































































0

...

0

0

...

1

0

...

1

0

1

2

1

k

b

b

b













n

i

i

i

y

y

URSS

1

2

ˆ

Andrzej Torój - Metody 

ekonometryczne - Wiosna 

2007/2008

6

Test istotności zestawu 
zmiennych jako test 
Walda (2)



Czym jest RRSS? Jeżeli H

0

 jest prawdziwa, 

model zawiera tylko stałą i żadnych 
zmiennych. Jaka STAŁA jest najlepiej 
dopasowana do wszystkich y?





















 













)

/(

1

/

)

/(

1

/

1

1

)

/(

1

/

1

1

1

)

/(

ˆ

/

ˆ

)

1

/(

/

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

K

n

R

m

R

K

n

R

m

R

K

n

K

R

K

n

y

y

m

y

y

y

y

K

n

URSS

m

URSS

RRSS

F

n

i

i

i

n

i

i

i

n

i

i











































































































n

i

i

y

y

RRSS

1

2

Andrzej Torój - Metody 

ekonometryczne - Wiosna 

2007/2008

7

Restrykcje liniowe w 
Gretlu



W oknie modelu (bez restrykcji), który wcześniej 
oszacowaliśmy: Testy / test liniowych restrykcji.



Wpisujemy kolejno równania liniowych restrykcji 
jak powyżej:

– b[1] oznacza pierwszy w kolejności w równaniu 

oszacowany parametr (stała, jeżeli model ze stałą)

– kolejne b[2], b[3] itd.



Otrzymujemy model oszacowany przy warunkach 
ograniczających i test zasadności tych 
ograniczeń.

Andrzej Torój - Metody 

ekonometryczne - Wiosna 

2007/2008

8

Przykłady



Funkcja produkcji: Cobba-
Douglasa vs translogarytmiczna 
(hipoteza zagnieżdżona)



Funkcja produkcji: stałe przychody 
skali (hipoteza dotycząca liniowej 
funkcji parametrów)

– funkcja_produkcji.gdt

t

t

t

t

t

t

t

K

L

K

L

K

L

Y

ln

ln

ln

2

1

ln

2

1

ln

ln

ln

5

2

4

2

3

2

1

0

























Andrzej Torój - Metody 

ekonometryczne - Wiosna 

2007/2008

9

Test Chowa (breakpoint) 
(1)



Potraktujmy założenie o niezmienniczości parametrów 
dla całego okresu próby jako hipotezę, którą można 
testować za pomocą testu Walda. Z T okresów 
wybierzmy dwie podpróby: (1,...,T

1

) i (T

1

+1,...,T), 

T

1

+T

2

=T. Model w pierwszej podpróbie ma parametry 

b

1

, w drugiej b

2

.

H

0

: 

2

1

b

b 

Y

b1

b2

54,0

51,0

25,9

61,3

18,6

3,8

55,2

76,8

83,3

77,2

37,7

98,6

84,5

24,7

45,4

50,5

19,2

62,6

62,3

98,9

17,1

38,4

78,1

97,2

29,1

25,9

67,4

31,8

70,0

1,3

X

Y

b11

b21

b12

b22

54,0

51,0

25,9

0,0

0,0

61,3

18,6

3,8

0,0

0,0

55,2

76,8

83,3

0,0

0,0

77,2

37,7

98,6

0,0

0,0

84,5

24,7

45,4

0,0

0,0

50,5

0,0

0,0

19,2

62,6

62,3

0,0

0,0

98,9

17,1

38,4

0,0

0,0

78,1

97,2

29,1

0,0

0,0

25,9

67,4

31,8

0,0

0,0

70,0

1,3

X

dane 
do 
modelu 
z 
restryk
cją

dane do 
modelu 
bez 
restrykcji

Andrzej Torój - Metody 

ekonometryczne - Wiosna 

2007/2008

10

Test Chowa (breakpoint) 
(2)



Model ogólny:



Model z restrykcjami (w sumie K restrykcji, każda 
dotycząca jednej „pary” parametrów):





















































2

1

2

1

2

1

2

1

0

0









X

X

y

y









































2

1

2

1

2

1







X

X

y

y

q

Rb



















































































































0

...

0

0

...

...

1

0

...

1

0

1

1

0

...

1

0

1

2

,

1

2

,

2

2

,

1

1

,

1

1

,

2

1

,

1

K

K













Andrzej Torój - Metody 

ekonometryczne - Wiosna 

2007/2008

11

Test Chowa (breakpoint) 
(3)



Liczba warunków ograniczających: (K+1)

– stałość parametrów przy K zmiennych i przy stałej



Liczba stopni swobody dla modelu bez ograniczeń: [n-2(K+1)]

– liczba obserwacji minus liczba oszacowanych parametrów



Stąd statystyka testowa (test Chowa oparty na analizie 
wariancji):



Rozkład F z (K+1), (n-2K-2) stopniami swobody. Wysokie 
wartości statystyki (p-value niższe od założonego poziomu 
istotności) świadczą o odrzuceniu H

0

 o stabilności 

parametrów.



 







)

2

2

/(

1

/











K

n

URSS

K

URSS

RRSS

F

Andrzej Torój - Metody 

ekonometryczne - Wiosna 

2007/2008

12

Test Chowa w Gretlu



Zbadaj stabilność 
parametrów funkcji 
produkcji.



Jaka jest wada tego 
testu?

Andrzej Torój - Metody 

ekonometryczne - Wiosna 

2007/2008

13

Test Chowa (forecast) (1)



Gdy jedna z podprób jest mała i nie 
można oszacować dla niej osobnych 
parametrów, porównujemy dwie 
inne sumy kwadratów reszt:

– modelu oszacowanego na całej próbie 

(RRSS – dlaczego?)

– modelu oszacowanego na „dużej” 

podpróbie (RRS

1

)

Andrzej Torój - Metody 

ekonometryczne - Wiosna 

2007/2008

14

Test Chowa (forecast) (2)



Statystyka testowa (pozostałe oznaczenia i 

decyzja weryfikacyjna jak poprzednio):



Interpretacja:

– b jest wektorem parametrów oszacowanych na 

„dłuższej” podpróbie, jeżeli model jest stabilny, to 

wektor błędów prognozy ex post g (obliczony na 

podstawie tego modelu dla „krótszej” podpróby) 

powinien nie różnić się statystycznie istotnie od zera



  





)

1

/(

/

1

1

2

1









K

T

RSS

T

RSS

RRSS

F





















































2

1

2

1

2

1

0









I

X

X

y

y

Andrzej Torój - Metody 

ekonometryczne - Wiosna 

2007/2008

15

Test Chowa (forecast) (3)



Ćwiczenie: wykonaj predykcyjny test Chowa 

dla funkcji produkcji, odpowiadając na 

pytanie, czy parametry modelu w ostatnich 7 

latach próby nie uległy zmianie.

–

W Gretlu ten test nie jest oprogramowany. Ale 

możemy:

1. oszacować model (1) na podstawie całej próby
2. oszacować model (2) na podstawie podpróby (T-7) 

pierwszych obserwacji

3. znając sumy kwadratów reszt obu modeli i odpowiednie 

stopnie swobody, obliczyć statystykę testową

4. za pomocą Narzędzia/Tablice statystycze/ albo 

Narzędzia/Wyznaczanie wartości p zweryfikować hipotezę.

Andrzej Torój - Metody 

ekonometryczne - Wiosna 

2007/2008

16

Test Hansena (1)



Jeżeli oszacujemy model za pomocą MNK, to mamy 
następujące własności reszt e

t



t-ty składnik sumy w pierwszym równaniu to 
wektor Kx1, w drugim – skalar. Niech wektor f

t

 o 

wymiarach (K+1)x1 będzie tym wektorem z 
dołączonym (jako K+1-sza współrzędna) skalarem.



Niech

0

1







T

t

t

t

x



0

1

1

2

2





































T

t

T

t

t

t

T











t

r

r

t

f

s

1







t

t

T

t

t

f

f

T

F

1







t

t

T

t

t

s

s

S

1

Andrzej Torój - Metody 

ekonometryczne - Wiosna 

2007/2008

17

Test Hansena (2)



Statystyka testowa Hansena jest obliczana jako ślad (suma 
elementów diagonalnych) macierzy F

-1

S:



Wysokie wartości H świadczą o niestabilności modelu.



Pakiet PcGive ma zaimplementowany test Hansena dla całego 
modelu, jak i dla pojedynczych parametrów.



Asymptotyczne wartości krytyczne podane przez Hansena: 
1.01 (K=2), 1.9 (K=6), 3.75 (K=15), 4.52 (K=19).



Zaleta: hipoteza alternatywna nie zakłada konkretnego 
momentu zmiany, a głosi niestabilność modelu w ogóle.





S

F

tr

H

1





Andrzej Torój - Metody 

ekonometryczne - Wiosna 

2007/2008

18

Test Hansena w Excelu



Szacujemy model KMNK. Mnożymy każdy element wiersza 

macierzy X dla danej obserwacji (łącznie z 1 dla „stałej”) 

przez resztę losową dla tej obserwacji. Obliczamy też dla 

każdej reszty odchylenie jej kwadratu od średniego kwadratu 

reszty losowej.



Obliczamy wektory s

t

 jako sumy (od pierwszej obserwacji do 

danej) wektorów f

t

.



Dla każdej obserwacji obliczamy wszystkie możliwe 

dwuczynnikowe iloczyny elementów wektora f

t

. To samo 

powtarzamy dla s

t

.



Sumujemy iloczyny. Dla sum f

t

, sumy mnożymy przez ilość 

obserwacji.



Sumy układamy w odpowiednich elementach macierzy F i S. 

Pamiętamy o symetryczności tych macierzy.



Obliczamy sumę elementów diagonalnych macierzy F

-1

S.

Andrzej Torój - Metody 

ekonometryczne - Wiosna 

2007/2008

19

1. Dla każdego okresu, szacujemy model na 

podstawie wszystkich poprzednich okresów (z 
parametrami b

t

) i obliczamy jednookresowy błąd 

predykcji.

2. Jak wiemy z Ekonometrii I, średni błąd tej 

predykcji to:

3. Skalujemy każdy błąd predykcji:

4. Szacujemy wariancję reszt:

Test CUSUM (1)

1







t

T

t

t

t

b

x

y

e









t

t

T

t

T

t

t

x

X

X

x

1

1

1

2

2

1



















r

r

T

r

T

r

r

r

x

X

X

x

e

w

1

1

1

1















1

ˆ

1

2















K

T

w

w

T

K

r

r



K

T

w

w

T

K

r

r









 1

Andrzej Torój - Metody 

ekonometryczne - Wiosna 

2007/2008

20

Test CUSUM (2)

5. Obliczamy statystykę testową CUSUM:

6. Hipoteza o stabilności modelu jest odrzucana, gdy 

statystyka wychodzi poza przedział ufności.

7. Test nie wymaga założenia o konkretnym punkcie 

przełomu.









t

K

r

r

t

w

W

1

ˆ



Andrzej Torój - Metody 

ekonometryczne - Wiosna 

2007/2008

21

Test CUSUM w Gretlu

Andrzej Torój - Metody 

ekonometryczne - Wiosna 

2007/2008

22

Literatura do ćwiczeń 2



Maddala 4.8, Welfe 2.9

– Aby dowiedzieć się więcej o działaniu testu F i 

testowaniu liniowych restrykcji dla parametrów



Maddala 4.12

– Alternatywne testy restrykcji (przy założeniu, że 

próba jest duża) – dla miłośników tematu 



Maddala 4.11

– Powtórzenie o testach stabilności parametrów, 

omówienie ich wad i zalet



Dla chętnych:

– testy Hansena i CUSUM opisane m.in. w Greene 

(2000, s. 134 nn.);

– KMNK przy warunkach pobocznych – zob. Welfe.

Andrzej Torój - Metody 

ekonometryczne - Wiosna 

2007/2008

23

Praca domowa



Dla chętnych: słynny tekst R. 
Lucasa o zmianach w systemach 
gospodarczych i ich 
ekonometrycznych 
konsekwencjach („krytyka 
Lucasa”).