1. Podstawy fizyczne
1.1. Ruch ładunku w polu elektrycznym i magnetycznym
Na ładunek q w polu elektrycznym o natężeniu
E
działa siła:
E
q
F
,
(1)
której wartość nie zależy od prędkości poruszającego się ładunku. Natomiast pole magnetyczne
oddziałuje na ładunki elektryczne siłą zwaną siłą Lorentza:
)
v
(
B
q
F
,
(2)
gdzie
v
jest prędkością ładunku, a
B
- indukcją pola magnetycznego. Z własności iloczynu
wektorowego wynika, że wektor siły jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory
v
i
B
, a jego zwrot wyznacza reguła śruby prawoskrętnej. Wartość siły Lorentza wynosi:
).
,
v
(
sin
v
B
B
q
F
(3)
Jak łatwo zauważyć, pole magnetyczne nie działa na ładunek elektryczny wówczas, gdy ładunek
nie porusza się (v = 0) lub gdy porusza się w kierunku linii indukcji pola magnetycznego (wtedy sinus
kąta między wektorami
v
i
B
równa się zero). Siła działająca na ładunek będzie miała wartość
największą, gdy ruch ładunku będzie się odbywał prostopadle do linii indukcji magnetycznej
B
.
Ponieważ siła Lorentza jest zawsze skierowana prostopadle do kierunku ruchu ładunku, to (dla stałego
pola magnetycznego) praca wykonana przez tę siłę nad ładunkiem wynosi zero. Dla elementu toru
ładunku o długości
L
d
praca ta,
,
dW
wynosi
L
d
F
- jest ona równa zero, ponieważ wektory
F
i
L
d
są zawsze prostopadle. Z tego powodu stałe pole magnetyczne nie może zmienić energii
kinetycznej poruszającego się ładunku, a zatem i wartości prędkości; może tylko zmienić kierunek
jego ruchu.
Rozpatrzmy przypadek, gdy elektron wlatuje z prędkością
v
do obszaru, w którym działa
tylko pole magnetyczne o kierunku linii indukcji
B
równoległym do osi OZ i prostopadłym do
wektora prędkości (rys.1).
Z definicji siły Lorentza (2) i (3) wynika, że siła działająca na cząstkę leży na płaszczyźnie XY
i jej wartość wynosi
.
v
)
2
/
sin(
v
B
q
B
q
Ponieważ przyśpieszenie styczne do toru cząstki jest równe
zeru, to wektor prędkości ma stałą wartość. Ruch może odbywać się tylko w płaszczyźnie XY i siła
będzie zawsze prostopadła do kierunku ruchu. Również przyśpieszenie cząstki
m
F
a
ma stałą
wartość i jest skierowane prostopadle do prędkości.
Politechnika Warszawska
Wydział Fizyki
Laboratorium Fizyki I „P”
Andrzej Kubiaczyk
RUCH ELEKTRONU W POLU MAGNETYCZNYM I ELEKTRYCZNYM,
WYZNACZANIE WARTOŚCI e/m
31
Ruch elektronu w polu magnetycznym i elektrycznym. Wyznaczanie stosunku e/m
2
Rys.1. Ruch ładunku w polu magnetycznym.
Ruchem o takich własnościach jest ruch jednostajny po okręgu, w którym siła Lorentza jest zarazem
siłą dośrodkową:
r
m
B
q
2
v
v
,
(4)
gdzie r – jest promieniem okręgu, po którym porusza się cząstka. Łatwo z ostatniego wzoru obliczyć
ten promień:
qB
m
r
v
.
(5)
Można też obliczyć czas zataczania jednego okręgu przez poruszający się ładunek, czyli tak
zwany okres obiegu:
qB
m
B
q
m
r
T
2
v
v
2
v
2
.
(6)
Czas ten nie zależy od prędkości ładunku, a tylko od wartości pola magnetycznego i stosunku
masy cząstki do jej ładunku. Powyższe cechy ruchu ładunków w polu magnetycznym i elektrycznym
zostały wykorzystane przy budowie wielu przyrządów pomiarowych, takich jak np. spektrometry
masowe, komory pęcherzykowe, cyklotrony, itp.
Przeanalizujmy teraz sytuację, gdy elektron porusza się w obszarze, w którym działają oba
pola: magnetyczne i elektryczne, tak jak pokazano to na rys. 2. Kierunki wektorów natężeń pól
elektrycznego i magnetycznego są do siebie równoległe, natomiast kierunek prędkości elektronu
tworzy z kierunkami wektorów natężeń pól kąt . Całkowita siła działająca na ładunek znajdujący się
jednocześnie w polach elektrycznym i magnetycznym jest sumą wektorową sił określonych wzorami (1)
i (2) i wyraża się wzorem:
).
v
(
B
E
q
F
(7)
Wektor prędkości
v
rozkładamy na dwie składowe: prostopadłą
sin
v
v
i równoległą
v
||
cos
v
do wektora indukcji magnetycznej. Ruch w każdym z kierunków rozpatrujemy osobno.
W kierunku prostopadłym do kierunku linii sił pól elektrycznego i magnetycznego na elektron działa,
zgodnie ze wzorem (3), siła Lorentza równa:
.
v
sin
v
B
q
B
q
F
(8)
X
Y
Z
x
z
y
r
F
B
v
Ruch elektronu w polu magnetycznym i elektrycznym. Wyznaczanie stosunku e/m
3
Zgodnie z wcześniejszymi rozważaniami ruch w tej płaszczyźnie (prostopadłej do kierunku linii sił pól
elektrycznego i magnetycznego) będzie ruchem po okręgu o promieniu wyliczonym ze wzoru:
qB
m
r
v
(9)
Rys. 2. Ruch elektronu w polach elektrycznym i magnetycznym.
Natomiast w kierunku równoległym (wzdłuż linii sił obu pól) na cząstkę poruszającą się w tym
kierunku z prędkością v
II
działa tylko siła od pola elektrycznego. W przypadku jego nieobecności
elektron poruszałby się w tym kierunku ze stałą prędkością v
II
cos
ν
(składowa siły Lorentza wzdłuż
tego kierunku jest równa zeru), a złożenie ruchów w obu kierunkach dawałoby w efekcie ruch
elektronu po linii śrubowej o stałym skoku. Obecność pola elektrycznego powoduje, że elektron w tym
kierunku porusza się ruchem jednostajnie przyśpieszonym, co po złożeniu daje ruch po linii śrubowej o
zmiennym, zwiększającym się skoku.
2. Opis ćwiczenia
2.1. Wyznaczanie wartości e/m metodą magnetronu.
Rys.3. Schemat budowy magnetronu i układu do pomiaru wartości e/m. A – anoda,
K – katoda, Z
1
– zasilacz obwodu żarzenia katody, Z
2
– zasilacz prądu uzwojenia cewki,
Z
3
– zasilacz napięcia anodowego.
Z
1
Z
2
Z
3
A
K
solenoid
zasilacz prądu stałego
zasilacz prądu stałego
zasilacz prądu stałego
V
mA
A
x
z
y
x
y
B
E
z
V
||
V
V
Ruch elektronu w polu magnetycznym i elektrycznym. Wyznaczanie stosunku e/m
4
Z żarzonej katody emitowane są elektrony (wskutek zjawiska termoemisji). Poruszają się one
od katody do anody wskutek obecności pola elektrycznego. Przyłożenie zewnętrznego pola
magnetycznego powoduje zakrzywienie toru ich ruchu, a dla pewnej, krytycznej wartości pola
magnetycznego, zakrzywienie jest tak duże, że elektrony przestają docierać do anody. Efekty działania
pola magnetycznego na ruch elektronów w magnetronie przedstawia rys.4.
Rys.4. Wpływ pola magnetycznego na ruch elektronów od katody do anody.
Rozpatrując zależność prądu anodowego od zewnętrznego pola magnetycznego, możemy
w prosty sposób wyznaczyć wartość stosunku ładunku do masy elektronu – e/m. W tym celu należy
przeanalizować ruch elektronu w magnetronie od katody do anody, gdzie między anodę i katodę jest
przyłożone napięcie U, a lampa znajduje się w polu magnetycznym o indukcji
B
. Promień katody
wynosi a, promień anody b. Pole magnetyczne wytwarzane jest przez solenoid, przez który
przepuszczany jest prąd elektryczny. Wartość indukcji
k r
B
można powiązać z natężeniem
k r
I
przepływającego przez cewkę wytwarzającą pole, stosując wzór na wartość indukcji pola
magnetycznego w solenoidzie:
kr
kr
NI
B
0
,
(10)
gdzie - przenikalność magnetyczna ośrodka,
Am
Vs
7
0
10
4
- stała magnetyczna próżni, N –
liczba zwojów cewki na jednostkę jej długości. W wyniku obliczeń opisanych szczegółowo w Dodatku,
otrzymamy wzór na interesującą nas wartość e/m (dla próżni przyjmujemy =1):
2
2
2
2
2
2
2
0
1
8
b
a
b
I
N
U
m
e
kr
.
(11)
W celu wyznaczania stosunku e/m konieczne jest określenie wartości prądu krytycznego, przy
którym przestaje płynąć prąd anodowy. Gdyby wszystkie elektrony miały jednakową prędkość
początkową (a tym samym i końcową), to zależność prądu anodowego od indukcji pola magnetycznego
wyglądałaby tak, jak na rys.5a i wartość prądu krytycznego byłaby wartością, dla której prąd anodowy
maleje do zera.
B = 0
0 < B < B
kr
B = B
kr
B > B
kr
B
Ruch elektronu w polu magnetycznym i elektrycznym. Wyznaczanie stosunku e/m
5
Rys.5. Zależność prądu anodowego od prądu płynącego przez cewkę w przypadku:
a) idealnym, b) rzeczywistym.
Tak jednak nie jest, gdyż elektrony opuszczają katodę z różnymi prędkościami (rozkład
prędkości elektronów opuszczających katodę jest rozkładem Maxwella – Boltzmanna), a dodatkowo
zderzają się ze sobą na drodze od katody do anody. W efekcie wartość pola krytycznego dla różnych
elektronów jest różna, a wykres prądu anodowego w funkcji prądu płynącego przez cewkę ma
charakter jak na rys.6b. Za wartość prądu krytycznego przyjmujemy tę wartość, dla której krzywa ma
punkt przegięcia.
2.2. Wyznaczanie wartości e/m metodą ogniskowania wiązki elektronowej
(pole magnetyczne równolegle do osi lampy oscyloskopowej).
Rys.6 przedstawia poglądowo schemat lampy oscyloskopowej i wybrany układ współrzędnych,
w którym będzie opisywany ruch elektronów. Elektrony emitowane przez katodę są przyśpieszane
w stałym polu elektrycznym (napięcie między anodą i katodą wynosi U) do prędkości
ν
wynikającej
z
zasady zachowania energii:
eU
m
2
v
2
Stąd:
m
eU
2
v
.
(12)
Wektor
ν
jest skierowany wzdłuż osi Z. Rozpędzone do prędkości
ν
elektrony poruszają się
w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji
B
skierowanym wzdłuż osi Z wytworzonym przez
zewnętrzną cewkę. Równocześnie podczas przelotu elektronów przez płytki odchylające, znajdują się
one w słabym, zmiennym polu elektrycznym o natężeniu
E
, którego wektor jest skierowany wzdłuż osi
X. Pole to nadaje elektronom dodatkową, niewielką prędkość
p
v
prostopadłą do pola
magnetycznego
B
.
Zgodnie z wcześniejszymi rozważaniami tory elektronów wlatujących do jednorodnego pola
magnetycznego pod kątem różnym od zerowego są liniami śrubowymi, leżącymi na powierzchni walca.
Oś tego walca jest równoległa do kierunku pola magnetycznego, promień wynosi zgodnie z (6)
eB
m
r
p
v
(
p
v
- jest składową prędkości elektronu w kierunku OY), a okres obiegu (czas zataczania
kąta 2 w płaszczyźnie prostopadłej do osi walca) wynosi zgodnie ze wzorem (7):
eB
m
T
2
i nie zależy od prędkości elektronów. Obraz uzyskany na ekranie lampy oscyloskopowej odpowiada
przecięciu torów elektronów płaszczyzną XY, prostopadłą do osi lampy.
I
a
I
a
I
kr
I
kr
I
c
I
c
a)
b)
Ruch elektronu w polu magnetycznym i elektrycznym. Wyznaczanie stosunku e/m
6
Rys.6. Schemat lampy elektronowej z zaznaczonym układem współrzędnych.
Na rys.7 przedstawiono obraz, który powstaje na ekranie, gdy do płytek odchylających jest
przyłożone napięcie zmienne
),
sin
(
0
t
E
E
w obecności stałego pola magnetycznego. W takim
przypadku elektrony uzyskują różne prędkości
p
v
i ich tory leżą na powierzchniach różnych walców.
Ze względu na taki sam okres obiegu po okręgu (wzór (7)), obraz obserwowany na ekranie
odpowiada punktom uderzenia elektronów w ekran po zatoczeniu tych samych kątów przez elektrony
w ich ruchu po różnych torach śrubowych. Kąt ten wynosi 2 t/T, gdzie t oznacza czas przelotu
elektronów od płytek odchylających do ekranu, a T czas zataczania kąta 2 w płaszczyźnie
prostopadłej do osi lampy.
Gdy kąt jest wielokrotnością 2 , co odpowiada przebyciu przez elektrony drogi nTv, elektrony
spotykają się na osi lampy. Jeśli zmieniając napięcie U między katodą i anoda oraz indukcję
magnetyczna B wewnątrz cewki, dobierzemy v i T tak, że na drodze od płytek odchylających do ekranu
mieści się całkowita wielokrotność vT, to na ekranie lampy zamiast linii prostej zaobserwujemy
świecący punkt. To zjawisko nazywamy zogniskowaniem wiązki.
Rys.7. Obraz powstający na ekranie oscyloskopu (grubsza linia) w przypadku, gdy do
płytek odchylających jest przyłożone napięcie zmienne w obecności stałego pola
magnetycznego. Cienkie linie oznaczają rzuty torów elektronów na płaszczyznę ekranu.
anoda
x
cewka
ekran
katoda
płytki
odchylające
B
B = const.
E = E
o
sin
Ruch elektronu w polu magnetycznym i elektrycznym. Wyznaczanie stosunku e/m
7
Dla warunku zogniskowania spełniony jest warunek nTv = d (n – krotność ogniskowania), skąd ze
wzoru (7) wynika, że:
d
eB
m
n
2
v
(13)
Prędkość wyznaczoną ze wzoru (12) wstawiamy do powyższego równania i po prostych
przekształceniach otrzymujemy:
2
2
2
2
8
B
d
Un
m
e
,
(14)
gdzie n = 1,2,3,..., natomiast d – jest długością obszaru działania pola magnetycznego.
2.3. Wyznaczanie wartości e/m metodą odchylania wiązki elektronowej
(pole magnetyczne prostopadłe do osi lampy oscyloskopowej).
Rozpatrzmy teraz ruch elektronu w lampie oscyloskopowej tak, jak to przedstawiono na rysunku
8a. Wektor indukcji pola magnetycznego jest skierowany wzdłuż osi Y. Jest oczywiste, że w przypadku
braku napięcia na płytkach odchylających i pola magnetycznego wewnątrz lampy, na ekranie lampy
zaobserwujemy świecący punkt w jego środku. Przyłożenie stałego pola magnetycznego (wektor
indukcji skierowany wzdłuż osi Y) spowoduje przesunięcie plamki o wartość x w kierunku pionowym.
Rys.8. Ruch elektronu w lampie elektronowej, gdy pole magnetyczne jest prostopadłe
do kierunku ruchu elektronu: a) schemat układu, b) zależności geometryczne.
Na rys.8b przedstawiono zależności geometryczne prowadzące do wyznaczania stosunku e/m.
Łatwo zauważyć, że z twierdzenia Pitagorasa mamy :
2
2
2
)
(
r
x
r
d
,
czyli po uproszczeniu:
xr
x
d
2
2
2
.
Uwzględniając, że promień okręgu po którym poruszają się elektrony wynosi zgodnie z (6)
eB
m
r
v
, po
prostych przekształceniach otrzymamy :
eB
m
x
x
d
v
2
2
2
,
X
Z
Y
a)
b)
B
v
d
r - x
r
B
x
Ruch elektronu w polu magnetycznym i elektrycznym. Wyznaczanie stosunku e/m
8
skąd:
)
(
v
2
2
2
x
d
B
x
m
e
.
(15)
Wzór powyższy nie umożliwia bezpośredniego wyznaczenia wartości stosunku e/m, gdyż prędkość
elektronu v jest zależna od tego stosunku. Sposób wyznaczenia wartości stosunku e/m podany jest
w części poświęconej opracowaniu wyników. Wartość indukcji pola magnetycznego B obliczamy ze
wzorów znajdujących się na tabliczce przy stanowisku laboratoryjnym.
2.4. Wyznaczanie wartości e/m przy użyciu cewek Helmholtza.
W tej części ćwiczenia wykorzystuje się specjalną lampę wypełnioną argonem pod małym
ciśnieniem (około 0,1 Pa). Gaz ten odgrywa zasadniczą rolę w doświadczeniu, ponieważ elektrony
zderzając się z cząsteczkami gazu powodują ich jonizację. Na skutek rekombinacji jonów argonu
zachodzi zjawisko luminescencji i możliwa staje się obserwacja toru ruchu elektronów. Jednocześnie
jony argonu oddziałując elektrostatycznie z elektronami, powodują ogniskowanie wiązki elektronowej.
Elektrony są wyrzucane w obszar lampy za pomocą działa elektronowego, które przyspiesza je do
energii E = eU. Lampa umieszczona jest między dwoma współosiowymi uzwojeniami z drutu
miedzianego, zwanymi cewkami Helmholtza. Płynący przez cewki prąd elektryczny, powoduje
powstanie wewnątrz lampy pola magnetycznego o wektorze indukcji magnetycznej B skierowanym
prostopadle do osi lampy. Cewki Helmholtza mają dużą średnicę w stosunku do ich długości, by
zapewnić otrzymanie jednorodnego pola magnetycznego wewnątrz lampy. Lampa może być
obracana wokół własnej osi, co umożliwia zmianę kierunku prędkości elektronów względem kierunku
pola magnetycznego. W pewnej pozycji ruch elektronów będzie odbywać się po okręgu, którego
promień określa równanie (6). Wewnątrz lampy znajduje się również metalowa drabinka pokryta farbą
fluoryzującą, pozwalającą na dokładny pomiar średnicy toru ruchu elektronów.
Jak wynika z równania (6):
eB
m
r
v
, promień toru elektronów możemy zmieniać, zmieniając
wartość prędkości elektronów oraz wartość indukcji pola magnetycznego B. Wartość prędkości v
możemy, zgodnie z równaniem
,
2
ν
2
eU
m
zmieniać zmieniając napięcie przyspieszające U.
Wyznaczając prędkość v z tego równania i podstawiając do równania (6), otrzymujemy po prostych
przekształceniach:
2
2
2
B
r
U
m
e
.
(16)
Wartość indukcji pola magnetycznego B możemy zmieniać, regulując natężenie prądu płynącego
przez cewki Helmholtza. Przy założeniu, że przez obie cewki płynie identyczny prąd, B określone jest
wzorem:
R
nI
B
0
715
,
0
, gdzie: n – ilość zwojów = 154; R – promień cewek Helmholtza = 200 mm =
0,2 m;
0
- przenikalność magnetyczna w próżni =
A
Tm
6
10
256
,
1
.
Podstawiając powyższe wartości do równania na indukcję pola otrzymujemy :
B = 0,693 10
-3
I [indukcja będzie w T, jeśli prąd podstawi się w A]
W ten sposób wartość e/m dla wyżej opisanego układu pomiarowego w zależności od wielkości
fizycznych mierzonych w doświadczeniu wyniesie:
2
2
6
10
17
,
4
r
I
U
m
e
(17)
Aby uzyskać e/m w jednostkach podstawowych układu SI, należy podstawić wartość napięcia U
w woltach, prądu I w amperach, a promień okręgu r w metrach.
Ruch elektronu w polu magnetycznym i elektrycznym. Wyznaczanie stosunku e/m
9
3. Wykonanie ćwiczenia
3.1. Wyznaczanie wartości e/m metodą magnetronu.
1. Połączyć układ pomiarowy według schematu umieszczonego na stanowisku laboratoryjnym.
Dokładne dane dotyczące używanych przyrządów, zakresów pomiarowych i danych technicznych
magnetronu znajdują się na tabliczce przy stanowisku laboratoryjnym.
2. Po sprawdzeniu przez prowadzącego ćwiczenie połączeń elektrycznych, włączyć przyrządy,
zaczynając od zasilacza obwodu żarzenia magnetronu (potrzeba kilku minut na ustabilizowanie się
prądu anodowego).
3. Wykonać pomiary natężenia prądu anodowego w funkcji natężenia prądu w cewce, przy stałym
napięciu anodowym. Asystent ustali liczbę serii pomiarowych, to znaczy dla ilu napięć anodowych
wykonuje się pomiary. Szczególną uwagę należy zwrócić na stałość napięcia anodowego w trakcie
wykonywania każdej serii. Jeśli przy zmianie prądu w cewce zmieni się wartość napięcia
anodowego, to trzeba go skorygować, przed każdym pomiarem, do wartości ustalonej dla każdej
serii.
3.2. Wyznaczanie wartości e/m z ogniskowania wiązki w równoległym polu magnetycznym.
1. Połączyć układ według schematu umieszczonego na stanowisku laboratoryjnym.
2. Po sprawdzeniu układu przez asystenta prowadzącego włączyć zasilacz lampy oscyloskopowej i
odczekać do czasu pokazania się plamki na jej ekranie.
3. Włączyć podstawę czasu. Zasilić cewkę prądem stałym i dobrać tak wartość natężenia prądu, aby
zogniskować wiązkę elektronów na ekranie lampy oscyloskopowej.
3.3. Wyznaczanie wartości e/m w przypadku pola magnetycznego poprzecznego.
1. Połączyć układ według schematu umieszczonego na stanowisku laboratoryjnym.
2. Po sprawdzeniu układu przez asystenta prowadzącego włączyć zasilacz lampy oscyloskopowej i
poczekać do czasu pokazania się plamki na jej ekranie.
3. Uzyskać małą, ostrą plamkę w centralnym miejscu ekranu oscyloskopu.
4. Włączyć zasilacz cewki i zwiększając prąd płynący przez cewkę doprowadzić do przesunięcia
plamki, kolejno o 1, 2, ... kratki w pionie. Zanotować wartości prądu. Pomiary wykonać dla obu
zwrotów pola magnetycznego, zmieniając kierunek prądu płynącego przez cewkę.
3.4. Wyznaczanie wartości e/m przy użyciu cewek Helmholtza.
1. Po nagrzaniu aparatury należy ustawić odpowiednie napięcie przyspieszające elektrony (pełną
jasność wiązki elektronowej uzyskuje się po około 3 minutach od momentu włączenia zasilania).
2. Włączyć zasilanie prądu płynącego przez cewki Helmholtza i zaobserwować tor elektronów w gazie.
(Uwaga: maksymalny prąd płynący przez cewki 5A).
3. Obrócić lampę do takiej pozycji, aby elektrony z działa elektronowego wylatywały w kierunku
dokładnie prostopadłym do kierunku pola magnetycznego. Przy właściwym ustawieniu lampy
elektrony zataczają okręgi.
4. Regulując prąd płynący przez cewki uzyskać taką średnicę toru ruchu, by przecinał on położone
poziomo szczeble drabinki. Drabinka pokryta jest substancją, która fosforyzuje pod wpływem
padających elektronów, tak więc w momencie uzyskania odpowiedniej średnicy toru ruchu
następuje zaświecenie danego szczebla drabinki.
5. Dla danego napięcia przyspieszającego U należy dobrać kolejne wartości natężenia prądu I
płynącego przez cewki, dla których następuje rozświecenie kolejnych szczebli drabinki.
6. Wykonać następne dwie serie pomiarów dla różnych wartości napięcia przyspieszającego U.
UWAGA:
Jeśli przerywa się pomiary na kilka minut, to należy skręcić oba potencjometry zasilania lampy do
pozycji zerowej. Wydłuża to znacznie czas życia lampy.
Ruch elektronu w polu magnetycznym i elektrycznym. Wyznaczanie stosunku e/m
10
4. Opracowanie wyników
4.1. Wyznaczanie wartości e/m metodą magnetronu.
1. Sporządzić wykresy zależności wartości prądu anodowego od wartości prądu w solenoidzie.
2. Dla każdej z serii pomiarowych graficznie określić wartość prądu krytycznego oraz jego błąd.
3. Obliczyć wartość stosunku e/m korzystając ze wzoru (11). Potrzebne do obliczeń stałe znajdują się
na tabliczce. Obliczyć niepewność złożoną i niepewność rozszerzona e/m.
4. Przyjmując tablicową wartość ładunku elektronu wyznaczyć masę elektronu i sprawdzić, czy
otrzymany wynik zgadza się z wartością tablicową.
4.2. Wyznaczanie wartości e/m z ogniskowania wiązki w równoległym polu magnetycznym.
Ze wzoru (14) wyznaczyć wartość e/m korzystając z informacji podanych na tabliczce przy
stanowisku laboratoryjnym.
4.3. Wyznaczanie wartości e/m w przypadku pola magnetycznego poprzecznego.
1. Zanotować wielkości określające geometrię lampy oscyloskopowej i cewki, umieszczone na
tabliczce na przyrządzie pomiarowym.
2. Za pomocą wzorów (12) i (15) oraz wzoru określającego B(I), umieszczonego na przyrządzie
pomiarowym przedstawić zależność na e/m w postaci funkcji indukcji pola magnetycznego B. Nie
obliczać wartości prędkości! Następnie, przyjmując za zmienną niezależną wartość
2
2
x
d
x
t
,
przekształcić otrzymany wzór na zależność liniową i obliczyć e/m metodą najmniejszych
kwadratów przy użyciu programu Origin.
4.4. Wyznaczanie wartości e/m przy użyciu cewek Helmholtza.
Ze wzoru (17) obliczyć wartość e/m dla każdej serii pomiarowej, a następnie wartość średnią i
jej niepewność.
Porównać dokładności pomiaru wartości e/m wszystkimi czterema metodami. Która z metod
jest najdokładniejsza, daje najlepsze rezultaty i dlaczego?
5. Pytania kontrolne
1. Opisać ruch elektronu w stałym polu magnetycznym. Obliczyć skok linii śrubowej, gdy elektron
wlatuje pod kątem do kierunku pola magnetycznego.
2. Co to jest magnetron?
3. Dlaczego wartość prądu anodowego w magnetronie nigdy nie maleje do zera, chociaż przykładamy
pole magnetyczne dużo większe od pola krytycznego? Wyjaśnić metodę wyznaczania e/m za
pomocą magnetronu.
4. Narysować i objaśnić obraz uzyskany na ekranie lampy oscyloskopowej w przypadku, gdy do płytek
odchylających przykładamy napięcie sinusoidalne zmienne, a pole magnetyczne jest stałe i
a) równoległe do osi lampy, b) prostopadłe do osi lampy.
5. Jak wykorzystuje się cewki Helmholtza do wyznaczenia wartości e/m?
6. Literatura
1. Jaworski B., Dietłaf A., Miłkowska A., Elektryczność i magnetyzm. Kurs fizyki, tom II PWN 1976r.
str.317 – 335. (ładunek w polu elektrycznym i magnetycznym).
2. Halliday D., Resnick R., Fizyka dla studentów nauk przyrodniczych i technicznych, t. II, PWN 1984r.
Wyd. VII zmienione, str.178 – 208. (ładunek w polu elektrycznym i magnetycznym).
3. Purcell E.M., Elektryczność i magnetyzm, PWN 1971r. str.223 – 267.
Ruch elektronu w polu magnetycznym i elektrycznym. Wyznaczanie stosunku e/m
11
Dodatek. Wyprowadzenie wartości stosunku e/m dla magnetronu
Rozpatrując zależność prądu anodowego od zewnętrznego pola magnetycznego, możemy
w prosty sposób wyznaczyć wartość stosunku ładunku do masy elektronu – e/m. W tym celu
przeanalizujemy ruch elektronu w magnetronie od katody do anody w obecności pola magnetycznego,
tak jak na rys.D1, gdzie między anodę i katodę jest przyłożone napięcie U a lampa znajduje się w polu
magnetycznym o indukcji
B
.
Rys.D1. Siły działające w magnetronie na poruszający się elektron.
Siłę Lorentza, podobnie jak prędkość, możemy rozłożyć na dwie składowe: w kierunku do
ośrodka lampy (wzdłuż promienia)
r
F
i w kierunku prostopadłym do promienia
F
. Całkowita siła
działająca na elektron będzie miała składowe
F
oraz
E
e
F
r
(siła
E
e
pochodzi od różnicy
potencjałów pomiędzy anodą i katodą). Siły
E
e
i
F
r
działają wzdłuż promienia r i nie mogą zmienić
momentu pędu elektronu względem osi lampy (
0
v
r
m
r
p
J
r
, ponieważ wektory
ν
i
r
są
równoległe). Moment pędu
J
elektronu względem osi magnetronu (równy co do wartości bezwzględnej
r
m
r
m
r
p
J
v
v
) może zmienić jedynie składowa siły Lorentza
F
- jej kierunek i
wielkość określamy ze wzoru (2). Kierunek siły
F
będzie prostopadły do wektora indukcji
magnetycznej
B
i składowej prędkości
r
v
. Na podstawie (2) możemy napisać:
)
v
(
B
e
F
r
(D1)
Należy podkreślić, że wartość siły Lorentza zmienia się, gdyż zmienia się wartość składowej
prędkości
r
ν
wskutek obecności pola elektrycznego. Stosując do tej zależności drugą zasadę dynamiki
Newtona dla ruchu obrotowego:
dt
J
d
M
(D2a)
gdzie
F
r
M
jest momentem siły, którego wartość zgodnie ze wzorem (D1) wynosi:
)]
v
(
[
B
e
r
M
r
,
(D2b)
a
J
- jest momentem pędu o wartości:
b
ka
toda
a
V
a
anoda
E
F
r
F
F
V
V
r
V
b
B
V
Ruch elektronu w polu magnetycznym i elektrycznym. Wyznaczanie stosunku e/m
12
r
m
r
m
J
v
v
.
(D2c)
Podstawiając wyrażenia (D2b) i (D2c) do wzoru (D2a) po uwzględnieniu, że we wzorze (D2b)
dt
dr
r
/
ν
otrzymujemy:
)
v
(
r
m
dt
d
dt
dr
Ber
.
(D3)
Mnożąc ostatnie równanie przez
dt
i całkując stronami wzdłuż promienia od katody do anody, czyli od
wartości a do b :
),
v
(
v
v
r
m
d
rdr
eB
b
a
bm
am
kr
b
a
(D4)
otrzymujemy :
a
b
kr
am
bm
a
b
eB
v
v
2
2
2
.
(D5)
Bez popełnienia znaczącego błędu możemy przyjąć, że v
a
równa się zero, ponieważ większość
elektronów opuszcza katodę dokładnie w kierunku od anody do katody i nie posiada składowej
wielkości v . Natomiast v
b
można obliczyć w bardzo prosty sposób. Można przyjąć, że elektrony
docierając do anody posiadają tylko składową prędkości v (dla
k r
B
B
kierunek prędkości elektronów
jest styczny do powierzchni anody – porównaj rys.5). Energia kinetyczna elektronów równa się pracy sił
pola elektrycznego:
eU
m
b
2
v
2
(D6)
Stąd:
m
eU
b
2
v
.
(D7)
Podstawiamy otrzymany wynik do równania (D5):
m
eU
bm
a
b
eB
kr
2
)
(
2
1
2
2
.
(D8)
Wartość indukcji
k r
B
można powiązać z natężeniem
k r
I
przepływającego przez cewkę wytwarzającą
pole, stosując wzór na wartość indukcji pola magnetycznego w solenoidzie:
kr
kr
NI
B
0
,
(D9)
gdzie - przenikalność magnetyczna ośrodka,
Am
Vs
7
0
10
4
- stała magnetyczna próżni, N –
liczba zwojów cewki na jednostkę jej długości. Po prostych przekształceniach wzoru (D8), przy
uwzględnieniu (D9), otrzymamy wzór na interesującą nas wartość e/m (dla próżni przyjmujemy =1):
2
2
2
2
2
2
2
0
1
8
b
a
b
I
N
U
m
e
kr
.
(D10)