CAŁKA OZNACZONA 

Pole obszaru płaskiego ograniczonego krzywymi:  Pole obszaru płaskiego ograniczonego krzywą: 

1. 

x

x

y

2

2







, 

x

x

y

2

2





 

1. 















t

a

t

y

t

a

t

x

sin

)

(

cos

)

(

, 

0



a

 

2. 

x

y





1

2

, 

2

2





x

y

 

2. 















t

a

t

y

t

a

t

x

3

3

sin

)

(

cos

)

(

, 

0



a

 

3. 

x

y



, 

x

y

2





, 

3



x

 

3. 

1

2

2

2

2





b

y

a

x

 

4. 

x

y



, 

x

y

4



, 

2



x

 

4. 















t

e

t

y

t

e

t

x

t

t

cos

)

(

sin

)

(

 

5. 



























t

a

t

y

t

t

a

t

x

cos

1

)

(

sin

)

(

, 

0



a

 

5. 

2

x

y



, 

4



y

 

6. 

a

r



)

(



, 

0



a

 

6. 

2

x

y



, 

x

y



 

7. 









cos

1

)

(





a

r

, 

0



a

 

7. 

3

x

y



, 

8



y

, 

1





x

 

8. 

3

sin

)

(

3









a

r

, 

0



a

, 









3

,

0



 

8. 

3

x

y



, 

3

x

y



 

Długość łuku krzywej: 

9. 





2

1

4

x

y





, 

2

1

x

y





 

1. 















t

e

t

y

t

e

t

x

t

t

cos

)

(

sin

)

(

 

2. 



























t

a

t

y

t

t

a

t

x

cos

1

)

(

sin

)

(

, 

0



a

 

10. 





2

1

2

x

y





, 

1

2





x

y

 

3. 

3

sin

)

(

3









a

r

, 

0



a

, 









3

,

0



 

11. 

x

y



, 

2

1

x

y



, 

3



x

 

4. 





x

y

sin

ln



, 











3

2

,

3





x

 

12. 

2

x

y



, 

2

1

x

y



, 

9



y

 

5. 





2

1

ln

x

y





, 











2

1

,

2

1

x

 

13. 

6

2







x

y

 

6. 

2

2

2

a

y

x





, 

0



a

 

14. 

2

x

y



, 

x

x

y

3

3







 

7. 









cos

1

)

(





a

r

, 

0



a

 

15. 

3

2

x

y



, 

4



y

 

8. 





3

2

2

9

4

x

y





 odciętej prostą 

1





x

 

16. 

3

2

2







x

x

y

, 

2

2





x

y

 

9. 















t

a

t

y

t

a

t

x

3

3

sin

)

(

cos

)

(

, 

0



a

 

17. 

x

x

y

4

2







, 

x

y

2

3



 

Objętość bryły obrotowej: 

18. 

2

3y

x



, 

6



x

 

1. 

x

y

sin



, 

 



,

0



x

 

19. 

2

y

x



, 

0



x

, 

1



y

 

2. 

1

2

2

2

2





b

y

a

x

 

3. 















t

a

t

y

t

a

t

x

sin

)

(

cos

)

(

, 

0



a

 

20. 

y

x





, 

2

2

y

x





 

Pole powierzchni bocznej bryły obrotowej: 

21. 

2

y

x



, 

2

6

y

x





 

1. 

x

y

sin



, 

 



,

0



x

 

22. 

2

2

2







y

y

x

, 

2

2

2









y

y

x

 

2. 

2

2

x

a

y





, 

0



a

 

23. 

1

6

2







y

y

x

, 

1

2

2









y

y

x

 

3. 















t

a

t

y

t

a

t

x

3

3

sin

)

(

cos

)

(

, 

0



a

 

24. 

x

x

y





3

, 

4





x

y

, 

1





x

, 

1



x

 

4. 

x

y

ln



, 

 

e

x

,

1



 

25. 

x

y

cos



, 

x

y

sin



, 

0



x

, 

2





x

 

5. 















t

e

t

y

t

e

t

x

t

t

cos

)

(

sin

)

(

, 











2

,

0



t