1
Całka oznaczona
Niech f będzie funkcją ograniczoną (ciągłą lub nie) w przedziale I = [a, b]
M := sup
x∈I
f (x), m := inf
x∈I
f (x)
M − m wahanie funkcji f na przedziale I.
∆
M
: = {x
i
: a = x
0
< x
1
< · · · < x
n
= b} - podział przedziału [a, b]
∆
x
i
: = x
i
− x
i−1
, i = {1, . . . n}
δ
n
: = max
1¬i¬n
∆
x
i
- średnia podziału ∆
n
M
i
:=
sup
x∈[x,x
i
]
f (x) m
i
:=
inf
x∈[x,x
i
]
f (x), i = 1, 2, . . . , n
Wybieramy ciąg punktów {ξ
(n)
i
}
n
i=1
taki, że x
i−1
¬ ξ
(n)
¬ x
i
i = 1, . . . , n
Tworzymy następujące sumy:
s
n
=
n
P
i=1
m
i
∆x
i
σ
n
=
n
P
i=1
f (ξ
(n)
i
)∆x
i
S
n
=
n
P
i=1
M
i
∆x
i
m ¬ m
i
¬ f (ξ
(n)
i
) ¬ M
i
¬ M, i ∈ {1, . . . , n}
m(b − a) ¬ s
n
¬ σ
n
¬ S
n
¬ M (b − a)
s
n
=
n
P
i=1
m
i
∆x
i
n
P
i=1
m∆x
i
= m
n
P
i=1
∆x
i
= m(b − a)
s
n
= s
n
(f, x
1
, . . . , x
n−1
)
S
n
= S
n
(f, x
1
, . . . , x
n−1
)
σ
n
= σ
n
(f, x
1
, . . . , x
n−1
, ξ
(n)
1
, . . . , ξ
(n)
n
)
Interpretacja geometryczna podziałów x i ξ:
Rysunek 1: Podział z x i ξ. s
n
suma dolna (niebieska) S
n
suma górna (szara + niebieska)
Dla każdego n ∈ N tworzymy ciągi {∆
n
} ,{ξ
(n)
i
}. Odpowiadają im ciągi s
n
, σ
n
, S
n
.
{∆
n
}
∞
n=1
— ciąg podziału przedziału [a, b]
Ciąg {∆
n
} nazywamy normalnym ciągiem podziałów jeżeli: lim
n→∞
δ
n
= 0
Jeżeli istnieje granica skończona lim
n→∞
σ
n
i nie zależy ona ani od wyboru normalnego ciągu podziałów, ani od
wyboru ciągów punktów pośrednich, to granicę tą nazywamy całką oznaczoną Reimanna i piszemy:
b
Z
a
f (x)dx
(1)
1
b
R
a
f (x)dx : = lim
n→∞
σ
n
o ile granica jest skończona i nie zależy od wyboru normalnego ciągu podziału ani od wyboru
ciągu punktów pośrednich.
σ
n
— suma przybliżona całki (
1
)
Przykłady:
1. f (x) = c
[a, b]
b
R
a
cdx
σ
n
=
n
P
i=1
c · ∆
x
i
= c ·
n
P
i=1
∆
x
i
= c · (b − a)
2. f (x) = x
[0, 1]
1
R
0
xdx
x
i
=
i
2
i = 0, . . . , n
ξ
i
= x
i
=
i
n
i = 1, . . . , n
σ
n
=
n
P
i=1
i
n
·
1
n
=
1
n
2
·
n
P
i=1
i =
1
n
2
·
n(n−1)
2
=
n+1
2n
−−−→
n→∞
1
2
1
R
0
xdx =
1
2
Rysunek 2: całka
1
R
0
xdx interpretacja geometryczna
Dowodzi się, że przy każdym normalnym ciągu podziałów i dowolnym wyborze ciągu punktów pośrednich granica
będzie taka sama.
Twierdzenie 1 (10.1). Przy każdym normalnym ciągu podziałów {∆
n
}
∞
1
przedziału [a, b] istnieją granice lim
n→∞
s
n
i lim
n→∞
S
n
i obie nie zależą od wyboru ciągu podziałów.
dowód
Niech {∆
ν
}
∞
ν=1
i{∆
µ
}
∞
µ=1
będą danymi normalnymi ciągami podziału [a, b].
∆
ν
= {a = x
0
< x
1
< · · · < x
ν
= b}, ∆
µ
= {a = x
0
0
< x
0
1
< · · · < x
0
µ
= b}
lim
ν→∞
δ
ν
= 0, lim
µ→∞
δ
0
µ
= 0, δ
ν
, δ
0
µ
— średnia podziałów odpowiednia ∆
ν
i ∆
0
µ
∆x
i
= x
i
− x
i−1
, ∆x
0
j
= x
0
j
− x
0
j−1
S
ν
=
ν
P
i=1
M
i
∆x
i
, S
0
µ
=
µ
P
j=1
M
0
j
∆x
0
j
, M
i
=
sup
x∈[x
i−1
,x
i
]
f (x), M
0
j
=
sup
x∈[x
j−1
,x
j
]
f (x)
Pierwszą sumę rozbijamy na dwie sumy:
S
ν
=
P
1
M
i
∆x
i
+
P
2
M
i
∆x
i
W pierwszej sumie uwzględniamy przedziały [x
i−1
, x
i
], takie, że w przedziale tym nie leży żaden punkt x
0
j
. Do
P
2
zaliczamy pozostałe składniki.
S
ν
=
P
1
M
i
∆x
i
+
P
2
m
i
∆x
i
+
P
2
(M
i
− m
i
)∆x
i
¬ S
0
µ
+
P
2
(M
i
− m
i
)∆x
i
¬ S
0
µ
+ µ(M − m)δ
ν
Przy każdym ustalonym µ z ν zmierzającym do ∞.
lim sup
ν→∞
S
ν
¬ S
0
µ
+ lim
ν→∞
µ(M − m)δ
ν
= S
0
µ
2
Rysunek 3:
P
1
= M
2
∆x
2
+ M
5
∆x
5
P
2
= M
1
∆x
1
+ M
3
∆x
3
+ M
4
∆x
4
Czyli: ∀
µ∈N
lim sup
ν→∞
S
ν
¬ S
0
µ
⇒ lim sup
ν→∞
S
ν
¬ lim inf
µ→∞
S
0
µ
S
ν
=
X
1
M
i
∆x
i
+
X
1m
i
∆x
i
+
X
2
(M
i
− m
i
)∆x
i
(2)
S
ν
= S
0
µ
+ µ(M − m)δ
ν
(3)
µ, ν ∈ N
Analogicznie otrzymamy:
S
0
µ
¬ S
ν
ν(M − m)δ
0
ν
(4)
W (3) ustalamy µ : ν → 0
∀µ ∈ N
(3)⇒ lim sup
ν→∞
S
ν
¬ S
0
µ
∀µ ∈ N ⇒ lim sup
ν→∞
S
ν
¬ lim inf
µ→∞
S
0
µ
Podobnie z (4) ⇒ lim sup
µ→∞
S
0
µ
¬ S
ν
, ∀µ ∈ N ⇒ lim sup
µ→∞
S
0
µ
¬ lim inf
ν→∞
S
ν
Stąd: lim sup
ν→∞
S
ν
¬ lim inf
ν→∞
S
ν
¬ lim sup
µ→∞
S
0
µ
¬ lim inf
µ→∞
S
0
µ
Czyli istnieje granica lim
ν→∞
S
ν
= lim
µ→∞
S
0
µ
Analogicznie dowodzimy istnienie granicy lim
n→∞
s
n
Całka dolna:
R
b
R
a
f (x)dx : = lim
n→∞
s
n
Całka górna:
R
b
R
a
f (x)dx : = lim
n→∞
S
n
Przykład:
f (x) =
(
1
x ∈ Q
0
x /
∈ Q
Wtedy:
R
b
R
a
f (x)dx = 0
R
b
R
a
f (x)dx = 1
bo m
i
= 0, M
i
= 1,
i ∈ {1, 2, . . . , n}
s
n
=
P
0 · ∆x
i
= 0
S
n
=
P
1 · ∆x
i
= 1
1
R
0
f (x)dx nie istnieje.
Zachodzi następujące nierówności:
s
n
¬
Z
b
Z
a
f (x)dx ¬
Z
b
Z
a
f (x)dx ¬ S
n
(5)
Uwaga: z (5) wynika że
R
b
R
a
f (x)dx = sup
∆
n
s
n
R
b
R
a
f (x)dx = inf
∆
n
S
n
3
2
Twierdzenia o całkowalności
1
°. Całka oznaczona (
1
)
b
R
a
f (x)dx istnieje ⇔
R
b
R
a
f (x)dx =
R
b
R
a
f (x)dx
dowód
(⇒) Zakładamy, że
R
(
1
) istnieje.
b
R
a
f (x)dx ¬
R
b
R
a
f (x)dx
{∆
n
}
∞
1
- normalny ciąg podziału [a, b]
∀n ∈ N ∃
n
ξ
(n)
i
o
∞
i=1
: σ
n
(f, ξ
(n)
) − s
n
(f ) <
1
n
,
∃η
(n)
=
n
η
(n)
i
o
∞
i=1
S
n
(f ) − σ
n
(f, η
(n)
) <
1
n
Stąd:
σ
n
(f, ξ
(n)
) →
R
b
R
a
f (x)dx
σ
n
(f, η
(n)
) →
R
b
R
a
f (x)dx
czyli lim σ
n
(f, ξ
(n)
) zależy od wyboru ciągu punktów pośrednich. Sprzeczność.
(⇐) Zakładamy, że:
R
b
R
a
f dx =
R
b
R
a
f dx
s
n
¬ σ
n
¬ S
n
↓
↓
R
b
R
a
f dx
R
b
R
a
f dx
Stąd: lim
n→∞
σ
n
=
R
b
R
a
f dx =
R
b
R
a
f dx
dla każdego normalnego ciągu podziałów ∆n i ciągu ciągów punktów pośrednich {ξ
(n)
i
}
∞
i=1
Wniosek: Całka
b
R
a
f (x)dx istnieje ⇔ ∀
>0
∃
n∈N
: S
n
− s
n
<
Wynika z uwagi do twierdzenia 10.1 i własności 1
°.
2
°. Funkcja f ciągła w [a, b] jest w nim całkowalna
dowód
Korzystamy z powyższego wniosku;
f — ciągła w [a, b] ⇒ f jest jednostajnie ciągła w [a, b] czyli:
∀
>0
∃
δ>0
|x − x
0
| < δ ⇒ |f (x) − f (x
0
)| <
Niech ∆
n
będzie podziałem równomiernym ∆x
i
=
b−a
n
dla i = 1, 2, . . .
S
n
− s
n
=
n
P
i=1
(M
i
− m
i
)∆x
i
, ∀
>0
∃
δ>0
|∆x
i
| < δ ⇒ |M
i
− m
i
| <
b−a
M
i
− m
i
<
b−a
dla i = 1, 2, . . . bo f jedostajnie ciągła.
Stąd S
n
− s
n
¬
b−a
·
n
P
i=1
∆x
i
=
b−a
· (b − a) =
Z wniosku wynika teza twierdzenia. (n takie, że
b−a
< δ)
3
°. Funkcja ograniczona w [a, b] której zbiór punktów nieciągłości jest skończony, lub ma miarę Jordana równą
0, jest całkowalna
Definicja: Zbiór E ⊂ [a, b] ma miarę Jordana równą 0, jeżeli
∀
>0
∃
(a
1
,b
1
),...,(a
n
,b
n
)
:
n
S
i=1
[a
i
, b
i
] ⊃ E
n
P
1
(b
i
− a
i
) <
Przykład:
E =
n
1
n
o
∞
1
E ⊂ [0, 1]
lim
n→∞
1
n
= 0
∀
>0
∃
n
0
>0
∀
n>n
0
:
1
n
<
2
4
szkic dowodu
Dla dostatecznie małych δ
n
M
i
− m
i
<
2
albo mniejsza od M − m dla b
i
− a
i
< δ
n
4
°. Jeżeli funkcja f jest całkowalna w przedziale [a, b] to f jest całkowalna w każdym przedziale [α, β] ∈ [a, b]
dowód
Punkty α, β wybieramy jako punkty przedziału ∆
N
dla [a, b].
∆
N
= {a = x
0
< x
1
< · · · < x
i
= α < x
i+1
< · · · < x
j
= β < x
j+1
< · · · < x
n
= b}
j
X
k=i+1
(M
k
− m
k
)∆x
k
|
{z
}
¬
N
R
k=1
(M
k
− m
k
)∆x
k
−−−−→
N →∞
0
S
j−1
− s
j−1
dla
β
R
α
f dx
5
°. Funkcja monotoniczna w przedziale domkniętym [a, b] jest w nim całkowalna.
dowód
Niech f będzie rosnąca w [a, b] ∆
n
= {a = x
0
< x
1
< · · · < x
n
= b}
S
n
− s
n
=
n
P
i=1
(M
i
− m
i
)∆x
i
=
n
P
1
[f (x
i
) − f (x
i−1
)] ·
b−a
=
=
f (b)−f (a)
· [f (x
1
) − f (x
0
) + f (x
2
) − f (x
1
) + . . . f (x
n
) − f (x
n−1
)] = [f (b) − f (a)] ·
f (b)−f (a)
=
Teza wynika z wniosku własności 1
°.
6
°. Jeżeli funkcje f i g spełniają warunek:
|f (x
2
) − f (x
1
)| ¬ |g(x
2
) − g(x
1
)|
∀x
1
, x
2
∈ [a, b] i g jest całkowalna w [a, b] to f jest całkowalna w [a, b]
dowód
Dowód wynika z nierówności: S
n
(f ) − s
n
(f ) ¬ S
n
(g) − s
n
(g)
M
i
(f ) − m
i
(f ) ¬ M
i
(g) − m
i
(g)
7
°. Jeżeli funkcja f jest całkowalna w [a, b] to |f| też jest całkowalna
dowód
Dowód wynka z nierówności |f (x
2
)| − |f (x
1
)| ¬ |f (x
2
) − f (x
1
)| i z własności 6
°.
8
°. Funkcja nieograniczona w przedziale [a, b] nie jest w nim całkowalna.
dowód
Niech ∆
n
= {a = x
0
< x
1
< · · · < x
n
= b}
x
i−1
¬ ξ
1
¬ x
i
dla i = 1, 2, . . .
σ
n
=
n
P
i=1
f (ξ
i
)∆x
i
f — nieograniczona w [a, b] ⇒ f nieograniczona w [x
k−1
, x
k
] dla pewnego k.
Wtedy możemy wybrać ξ
0
k
∈ [x
k−1
, x
k
] : |σ
n
| > n dla ciągu punktów ξ
1
, . . . ξ
k−1
, ξ
k
, ξ
k+1
, . . . , ξ
n
(pozostałe
punkty bez zmiany).
Robiąc to dla każdego n otrzymamy:
lim
n→∞
|σ
n
| = ∞ czyli całka
b
R
a
f dx nie istnieje.
3
Całka z sumy i iloczynu
Twierdzenie 2 (10.2). Jeżeli funkcje f i g są całkowalne w [a, b] to:
1
° Suma f i g jest całkowalna i
b
R
a
(f + g)dx =
b
R
a
f dx +
b
R
a
gdx
2
° Iloczyn f i g jest całkowalny.
dowód
1
° Wynika z równości (z definicji):
σ
n
(f + g) = σ
n
(f ) + σ
n
(g)
5
2
° Stosujemy własność 6°;
∀
x
1
,x
2
∈[a,b]
|f (x
2
)g(x
2
) − f (x
1
)g(x
1
)| ¬ |f (x
2
) − f (x
1
)||g(x
2
)| + |g(x
2
) − g(x
1
)||f (x
1
)| ¬
A|f (x
2
) − f (x
1
)| + B|g(x
2
) − g(x
1
)|, gdzie: A = sup
x∈[a,b]
g(x)
B = sup
x∈[a,b]
f (x).
A i B skończone bo f i g są całkowalne.
Stąd: |M
i
(f g) − m
i
(f g)| ¬ A|M
i
(f ) − m
i
(f )| + B|M
i
(g) − m
i
(g)|
Otrzymujemy: S
n
(f g) − s
n
(f g) ¬ A (S
n
(f ) − s
n
(f ))
|
{z
}
↓n→∞
+B (S
n
(g) − s
n
(g))
|
{z
}
↓n→∞
.
0
0
czyli lim
n→∞
(S
n
(f g) − s
n
(f g)) = 0 ⇒ ∃
b
R
a
f gdx
Uwaga: Jeżeli funkcje f i g sˇ
s równe w przedziale [a, b] poza skończoną liczbą punktów {x
0
1
, . . . , x
0
n
}, to jeżeli
f jest całkowalna to g też jest całkowalna i
b
R
a
gdx =
b
R
a
f dx.
Niech g = f + g − f . Wtedy: σ
n
(g) = σ
n
(f ) + σ
n
(g − f )
∃
M
: |g(x
0
j
) − f (x
0
j
)| ¬ M
∆x
i
¬ δ
n
|σ
n
(g − f )| ¬ M kδ
n
−→ 0
W sumie:
P
[g(ξ
i
) − f (ξ
i
)]∆x
i
tylko [g(ξ) − f (ξ)] 6= 0 gdy ξ
i
= x
0
i
∆
n
= {a = x
0
< x
1
< · · · < x
n
= b}.
Czyli g całkowalna i
b
R
a
gdx =
b
R
a
f dx.
4
Miara Jordana Zbioru
Rysunek 4: D - zbiór niebieski, s
n
-suma dolna czerwona, S
n
-suma górna czerwona + szara
Niech D będzie danym zbiorem ograniczonym na płaszczyźnie.
D ograniczony ⇒ ∃P prostokąt taki, że D ⊂ P
s
n
suma pól prostokątów leżących w zb. D
S
n
suma pól prostokątów mających co najmniej jeden punkt wspólny z zb. D
s
D
: = sup{s
n
: Wszystkie możliwe podziały prostokąta P, n ∈ N}
S
D
: = inf{S
n
: Wszystkie możliwe podziały prostokąta P, n ∈ N}
s
D
— miara wewnętrzna zb D
S
D
— miara zewnętrzna zb D
Mówimy, że zb. D jest mierzalny w sensie Jordana jeżeli s
D
= S
D
i miara Jordana zb. D jest równa S
n
.
Analogicznie określamy miarę Jordana zbiorów w R
k
Przykłady:
1. D = {1,
1
2
,
1
3
, . . . ,
1
n
}
miara liniowa D = 0
lim
n→∞
1
n
= 0 ⇔ ∀
>0
∃
n
0
>0
∀
n>n
0
1
n
<
2
Każdy punkt zbioru {1,
1
2
,
1
3
, . . . ,
1
n
} pokrywamy przedziałem o długości <
2n
0
6
Pozstałe punkty leżą w [0,
2
]. Wtedy suma długości przedziałów jest ¬
2. D = Q ∩ [0, 1]
D nie jest mierzalny bo S
n
= 1 i s
n
= 0
3. D = [0, 1] × {0} ⊂ [0, 1] × [0, 1]
Miara płaska Jordana zb. D wynosi 0, bo S
D
= 0
4.1
Interpretacja geometryczna całki oznaczonej
Niech funkcja f będzie funkcją całkowalną i nieujemną w przedziale [a, b]. Przez D oznaczmy zbiór
{(x, y) : a ¬ x ¬ b, 0 ¬ y ¬ f (x)}
|D| miara Jordana zbioru D.
Wtedy |D| =
b
R
a
f (x)dx
s
n
¬ s
D
¬ S
D
¬ S
n
Uwaga: Niech E - dowolny zbiór zawarty w przedziale E
χ
E
(x) : =
(
1
dla x ∈ E
0
dla x /
∈ E
— funkcja charakterystyczna zbioru E.
Wtedy
b
R
a
χ
E
(x)dx istnieje ⇔ zbiór E jest mierzalny.
5
Własności całki oznaczonej
1
°. Jeżeli f jest funkcją całkowalną w [a, b] i a < c < b, to
b
R
a
f (x)dx =
c
R
a
f (x)dx +
b
R
c
f (x)dx
dowód
Niech ∆
n
= {a = x
0
< x
1
, · · · < x
n
= b} i c ∈ ∆
n
: ∃
k
c = x
k
Wtedy: σ
n
=
k
P
1
f (ξ
i
)∆x
i
+
n
P
i=k+1
f (ξ
i
)∆x
i
.
↓
↓
.
c
R
a
b
R
c
7
Wniosek:
Rysunek 5:
b
R
a
f (x) = |A| − |B| + |C| − |D|
2
°. f całkowalna w [a, b], to: m(b − a) ¬
b
R
a
f dx ¬ M (b − a)
m = inf f (x)
M = sup f (x)
Stąd: |
b
R
a
f dx| ¬ M (b − a)
,gdzie |f (x)| ¬ M dla x ∈ [a, b]
f (x) 0 dla x ∈ [a, b] ⇒
b
R
a
f dx 0
Zatem f, g — całkowalne, f g w [a, b]. Wtedy:
b
R
a
f dx
b
R
a
gdx
f − g 0
b
R
a
(f − g)dx 0
Dalej: f (x) ¬ |f (x)| i −f (x) ¬ |f (x)|
|
b
R
a
f (x)dx| ¬
b
R
a
|f (x)|dx
3
°. Twierdzenie o wartości średniej dla całki
Jeżeli f jest fukcją ciągłą w przedziale [a, b], to istnieje punkt ξ ∈ [a, b], taki, że: f (ξ) =
1
b−a
b
R
a
f (x)dx
dowód
f ciągła w [a, b] ⇒ ∃
x
1
,x
2
∈[a,b]
: f (x
1
) = min f (x) = m
f (x
2
) = max f (x) = M
m(b − a) ¬
b
R
a
f dx ¬ M (b − a) czyli f (x
1
) = m ¬
1
b−a
b
R
a
f dx ¬ f (x
2
) = M
f ciągła ⇒ ∃
ξ∈[a,b]
: f (ξ) =
1
b−a
b
R
a
f (x)dx
4
°. Uogólnienie twierdzenia o wartości średniej.
Niech f, g — funkcje całkowalne w przedziale [a, b] m ¬ f (x) ¬ M i g(x) tego samego znaku w [a, b]
Wtedy istnieje m ¬ η ¬ M taka, że:
b
R
a
f (x)g(x)dx = η
b
R
a
g(x)dx
dowód
Niech f (x) 0 w [a, b]
mg(x) ¬ f (x) · g(x) ¬ M g(x)
8
Stąd: m
b
R
a
g(x)dx ¬
b
R
a
f (x)g(x)dx ¬ M
b
R
a
g(x)dx
1
°
b
R
a
g(x)dx = 0 Wtedy:
b
R
a
f (x)g(x)dx = 0, każde η jest dobre
2
°
b
R
a
g(x)dx > 0 Wtedy m ¬
b
R
a
f (x)g(x)dx
b
R
a
g(x)dx
¬ M
η =
b
R
a
f (x)g(x)dx
b
R
a
g(x)dx
5
°. Jeżeli funkce f i g są całkowalne w [a, b], to:
b
R
a
f (x)g(x)dx
!
2
¬
b
R
a
f
2
(x)dx ·
b
R
a
g
2
(x)dx
dowód
F (λ) =
b
R
a
[f (x) + λg(x)]
2
dx = λ
2
b
R
a
g
2
(x)dx + 2λ
b
R
a
f (x)g(x)dx +
b
R
a
f
2
(x)dx 0
⇒ ∆ = 4
b
R
a
f (x)g(x)dx
!
2
− 4
b
R
a
g
2
(x)dx
b
R
a
f
2
(x)dx ¬ 0
b
R
a
f (x)g(x)dx
!
2
¬
b
R
a
f
2
(x)dx ·
b
R
a
g
2
(x)dx
6
Granice całkowania
b
R
a
f (x)dx jest określona dla a < b
dla a > b kładziemy:
b
R
a
f (x)dx : = −
a
R
b
f (x)dx
Niech f będzie całkowalna w [α, β] i a, b, c ∈ [α, β]
wtedy:
c
R
a
f (x)dx =
b
R
a
f (x)dx +
c
R
b
f (x)dx
Dla a < b < c - udowodnione wcześniej (pierwsza własność całek)
Gdy a < c < b to:
c
R
a
=
b
R
a
−
b
R
c
⇒
c
R
a
=
b
R
a
+
c
R
b
6.1
Całka jako funkcja granicy całkowania
Niech f będzie całkowalna w [α, β]
Całka oznaczona
x
Z
a
f (t)dt,
a ¬ x ¬ b
(6)
Istnieje ∀x ∈ (a, b) (tw. od całkowalności 4
°)
Twierdzenie 3 (10.3). Funkcja F określona wzorem (
6
) jest:
1
°. ciągła w [a,b]
2
°. w każdym punkcie x ciągłości funkcji f funkcja F jest różniczkowalna i F
0
(x) = f (x)
.
9
dowód
1
° x, x + h ∈ [a, b]
F (x + h) − F (x) =
x+h
R
a
f (t)dt −
x
R
a
f (t)dt =
x+h
R
x
f (t)dt
f— całkowalna ⇒ ∃
M 0
|f (t)| ¬ M w [a, b]
|F (x + h) − F (x)| = |
x+h
R
x
f (t)dt| ¬ M |
x+h
R
x
f (t)dt| = M |h| −
−−→
h→0
0
Funkcja jest ciągła.
2
° Niech f ciągła w x ∈ [a, b] Wtedy: ∀
>0
∃
δ>0
∀
t∈(a,b)
|t − x| < δ ⇒ |f (t) − f (x)| <
∀
>0
∃
δ>0
∀
t∈(a,b)
|t − x| < δ ⇒ f (x) − ¬ f (t) ¬ f (x) +
f (x) − =
1
h
x+h
R
x
(f (x) − )dt <
1
h
[F (x + h) + F (x)] =
1
h
x+h
R
x
f (t)dt <
1
h
x+h
R
x
(f (x) + )dt = f (x) +
Wniosek: Każda funkcja ciągła w [a, b] ma w nim funkcję pierwotną (całkę nieoznaczoną). Funkcja (
6
) jest tą
funkcją pierwotną.
Uwagi:
1) Jeżeli w Twierdzeniu 10.3 zamienimy a z dowolnym a < c < b to twierdzenie pozostaje prawdziwe.
2) funkcja G(x) =
b
R
x
f (t)dt też spełnia tw 10.3. Wtedy gdy f jest ciągła w x, to G
0
(x) =
−
x
R
b
f (t)dt
!
0
= −f (x).
Przykłady:
1)F (x) =
x
R
1
cos t
2
t
dt, wtedy F
0
(x) =
cos x
2
x
,
x > 0.
2)F (x) =
√
x
R
0
√
1 + t
4
dt
F
0
(x) =?
u =
√
x
F (u) =
u
R
0
√
1 + t
4
dt
dF
dx
=
dt
du
·
du
dx
du
dx
=
1
2
√
x
F
0
(x) =
√
1 + u
4
·
1
2
√
x
=
√
1+x
2
2
√
x
7
Związek między całką oznaczoną i nieoznaczoną
Twierdzenie 4 (10.4 (Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego)). Jeżeli f jest funkcją całkowalną w [a, b[ i
F jest jej funkcją pierwotną w tym przedziale, to:
b
Z
a
f (x)dx = F (b) − F (a)
(7)
dowód
Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f . F ciągła i różniczkowalna w [a, b].
∆
n
= {a = x
0
< x
1
< · · · < x
n
= b} — podział [a, b]
Z twierdzenia o wartości średniej otrzymujemy:
F (x
i+1
) − F (x
i
) = F
0
(ξ
i
)∆x
i
, x
i
¬ ξ
i
¬ x
i+1
,
i = 0, 1, . . .
F
0
(ξ
i
)∆x
i
= f (ξ
i
)∆x
i
σ
n
=
n−1
P
i=0
f (ξ
i
)∆x
i
=
n−1
P
i=0
[F (x
i+1
) − F (x
i
)] = F (b) − F (a)
F (x
1
) − F (x
0
) + F (x
2
) − F (x
1
) + · · · + F (x
n−1
) − F (x
n−2
) + F (x
n
) − F (x
n−1
) = −F (x
0
) + F (x
n
) = F (b) − F (a)
Dla każdego podziału ∆
n
wybieramy takie punkty pośrednie. Możemy to zrobić bo funkcja jest całkowalna.
Gdy funkcja jest ciąła w [a, b] to twierdzenie wynika z tw. 10.3.
10
Niech φ będzie funkcją pierotną f .
b
R
0
f (x)dx = F (b) − F (a) = F (b)
φ(x) = F (x) + C
φ(a) = F (a) + C
φ(b) − φ(a) = F (b) + C − F (a) − C = F (b).
F (b) − F (a) = : f (x)|
b
a
Przykłady:
1)
2
R
1
1
x
2
dx = −
1
x
|
2
1
= −
1
2
+ 1 =
1
2
2)
2
R
−1
f (x)dx,
f (x) =
(
|x|
x
,
x 6= 0
0,
x = 0
2
R
−1
f (x)dx =
0
R
−1
(−1)dx +
2
R
0
1dx = −
0
R
−1
dx +
2
R
0
dx = −x|
0
−1
+ x|
2
0
= −1 + 2 = 1
8
Przekształcanie całek oznaczonych
8.1
całkownie przez części
(u · v)
0
= u
0
· v + u · v
0
b
R
a
(uv)
0
dx =
b
R
a
u
0
vdx +
b
R
a
uv
0
dx
uv|
b
a
=
b
R
a
u
0
vdx +
b
R
a
uv
0
dx
b
R
a
uv
0
dx = uv|
b
a
−
b
R
a
u
0
vdx
Przykłady: 1)
2
R
−1
(4x
2
− 2x)e
2x
dx =
(
u = 4x
2
− 2x u
0
= 8x − 2
v
0
= e
2x
v =
1
2
e
2x
)
= (2x
2
− x)e
2x
|
2
−1
−
2
R
−1
(4x − 1)e
2x
dx ==
(
u = 4x − 1
u
0
= 4
v
0
= e
2x
v =
1
2
e
2x
)
= 6e
4
− 3e
−2
−
4x−1
2
e
2x
|
2
−1
+ 2
2
R
−1
e
2x
dx = 6e
4
− 3e
−2
−
7
2
e
4
−
5
2
e
−2
+ e
4
− e
−1
2) Wzór Taylora z resztą całkową
Niech: f ∈ C
n
[a,b]
x
0
∈ [a, b]
f (x) − f (x
0
) =
x
R
x
0
f
0
(t)dt =
(
u
0
= 1
u = t − x
v = f
0
(t)
v
0
= f
00
(t)
)
= (t − x) · f
0
(t)|
x
x
0
−
x
R
x
0
(t − x)f
00
(t)dt =
= −(x
0
− x) · f
0
(x
0
) +
x
R
x
0
(x − t)f
00
(t)dt = f
0
(x
0
)(x − x
0
) +
x
R
x
0
(x − t)f
00
(t)dt =
(
u
0
= x − t
u = −
1
2
(x − t)
2
v = f
00
(t)
v
0
= f
000
(t)
)
=
= f
0
(x
0
)(x − x
0
) −
1
2
(x − t)|
x
x
0
+
1
2
x
R
x
0
(x − t)
2
f
00
(t)dt = . . .
= f
0
(x
0
)(x − x
0
) + · · · +
1
(n−2)!
f
(n−2)
(x
0
)(x − x
0
)
n−2
−
1
(n−1)!
f
(n−1)
(t)(x − t)
n−1
|
x
x
0
+
1
(n−1)!
x
R
x
0
(x − t)
n−1
f
(n)
(t)dt =
f
0
(x − x
0
) +
f
00
2!
(x − x
0
)
2
+ · · · +
1
(n−1)!
f
(n−1)
(x
0
)(x − x
0
)
n−1
+
x
Z
x
0
1
(n − 1)!
(x − t)
n−1
f
(n)
(t)dt
|
{z
}
reszta
R
n
11
8.2
całkowanie przez podstawienie
Niech f będzie ciągła w zbiorze wartości funkcji x = ϕ(t) ϕ ⊂ C
1
[a, b]
a = ϕ(α)
b = ϕ(β)
Wtedy:
b
R
a
f (x)dx =
β
R
α
f (ϕ(t))ϕ
0
(t)dt
dowód
Niech F — funkcja pierwotna funkcji f w [a, b].
b
R
a
f (x)dx = F (b) − F (a). Określamy następującą funkcję: G(t) = F (ϕ(t))
G
0
(t) = F
0
(ϕ(t)) · ϕ
0
(t) = f (ϕ(t)) · ϕ
0
(t)
Stąd:
β
R
α
G
0
(t)dt = G(β) − G(α) = F [ϕ(β)] − F [ϕ(α)] = F (b) − F (a)
Przykład:
1
R
0
x
√
1 − x
2
dx =
(
√
1 − x
2
= t
1 − x
2
= t
2
−xdx = tdt
)
= −
0
R
1
t
2
dt =
1
R
0
t
2
dt =
1
3
t
3
|
1
0
=
1
3
=
(
x = sin t
xdx = cos
2
tdt
)
=
π
2
R
0
cos
2
t sin tdt =
(
cos t = u
sin tdt = du
)
= −
0
R
1
u
2
du =
1
R
0
u
2
du =
1
3
u
3
|
1
0
=
1
3
12
Document Outline