1
CA£KA OZNACZONA
I.
Oblicz:
1.
1
0
;
1
1
dx
x
x
;
2
ln
2
1
I
2.
dx
x
a
a
0
2
2
;
;
4
2
a
I
3.
2
0
2
;
1
dx
e
e
x
x
;
1
2
ln
1
2
2
e
e
I
4.
4
0
3
cos
2
sin
dx
x
x
;
2
2
2
I
;
5.
dx
e
x
2
ln
0
1
;
;
2
2
I
6.
dx
x
x
1
0
2
3
1
;
;
0
I
7.
2
0
sin
1
cos
dx
x
x
;
2
2
2
I
;
8.
3
0
2
4
dx
x
x
;
1
I
.
II.
Oblicz pole obszaru ograniczonego liniami:
1.
1
;
,
0
,
ln
D
e
x
y
x
y
;
2.
e
D
x
y
x
y
3
;
ln
,
ln
2
;
3.
3
32
,
0
3
2
,
2
D
y
x
x
y
;
4.
2
9
,
,
4
4
2
D
x
y
x
x
y
;
5.
3
16
,
0
1
,
1
2
2
D
y
x
x
y
;
6.
3
64
,
2
,
4
4
2
D
x
y
x
y
;
7.
2
ln
4
,
2
,
2
,
2
D
x
y
x
y
x
y
;
id6104125 pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.com http://www.broadgun.com
2
8.
2
27
,
3
,
2
,
2
2
D
x
y
x
y
x
y
;
9.
6
3
32
;
48
24
,
16
8
2
2
D
x
y
x
y
;
10. y=
x
8 oraz 2x-3y+8=0 , odp.:
36
2
60
,
11. y = x
2
oraz y = 2x - x
2
, odp.: 1/3
12. y = sin x oraz y = cos x pomiêdzy x = 0 oraz x =
2
, odp.:
2
2
2
,
13. y = x - 1 oraz y
2
= 2x + 6 (parabola), odp.: 18,
14.
0
,
4
2
y
x
y
,
15.
2
2
2
,
x
y
x
y
,
16.
0
,
,
ln
y
e
x
x
y
,
17.
4
,
4
2
x
y
x
x
y
,
18.
4
4
1
1
2
y
x
y
y
,
,
,
19.
2
4
2
2
2
ln
:
.
,
,
,
odp
x
y
x
y
x
y
,
20.
2
27
3
2
2
2
:
.
,
,
,
odp
x
y
x
y
x
y
,
21. y =
x
2
, y=
x
2
+ 4, y = x
2 , x = 0 dla x > 0 ,
22. y = x
2
, y= x
2
– 4, y =
x +2 oraz osi¹ OY (dla x > 0),
23.
2
x
y
,
x
y
1
, y=4,
24.
x
y
,
x
y
2
oraz osi¹ OX,
25. y = x
2
, y = 2 - x oraz osi¹ OX,
26. y= 2x x
2
, y= 2x oraz osi¹ OX.
Bardzo ùadnie sposób wyznaczania pola obszaru miêdzy krzywymi podany jest na:
http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Analiza_matematyczna_1/%C4%86wiczenia_14:_Ca%C5%82ka_Riemanna_funkcji_jednej_zmiennej
III.
Oblicz dùugoœã ùuku krzywej:
1.
2
2
x
a
y
; dla
a
x
,
0
,
2
a
l
;
2.
;
3
ln
,
3
2
,
3
dla
)
ln(sin
l
x
x
y
3.
;
2
3
ln
2
1
1
,
2
2
,
3
dla
ln
l
x
x
y
3
4.
;
1
3
ln
2
,
2
1
,
2
1
dla
)
1
ln(
2
l
x
x
y
IV.
Oblicz objêtoœã bryùy powstaùej przez obrót dookoùa osi OX :
A. krzywej:
1.
);
2
(
],
,
1
[
dla
ln
e
V
e
x
x
y
2.
;
2
],
,
0
[
dla
sin
2
V
x
x
y
3.
;
3
4
],
,
[
dla
1
2
2
2
ab
V
a
a
x
a
x
b
y
B. figury pùaskiej ograniczonej liniami:
1.
;
10
3
,
,
2
2
V
x
y
x
y
2.
;
3
4
,
2
,
2
4
2
V
y
x
x
y
3.
3
8
,
2
,
2
V
x
y
x
y
;
V. Obliczanie powierzchni bryùy obrotowej.
1. Oblicz pole powierzchni sfery o promieniu R.
2. Oblicz pole powierzchni bryùy powstaùej przez obrót dookoùa osi OX krzywej:
]
2
,
1
[
dla
2
x
x
y
;
)
13
13
17
17
(
6
S
.