Przykład zastosowania twierdzenia (4.25) 

 

Ryzyko portfela 

 

1.  Stopa zwrotu z akcji. 

 

Cenę akcji w dniu t (przyjmijmy, że jest to na przykład kurs zamknięcia) oznaczany przez 

t

P . 

Wtedy stopa zwrotu osiągnięta w wyniku zmiany wartości akcji od dnia 

1



t

 do t wynosi: 

(D1.1)                                                

1

1









t

t

t

t

P

P

P

r

. 

Jest to względny zysk, jaki uzyskalibyśmy kupując akcję w dniu 

1



t

 (po kursie zamknięcia) 

i sprzedając w dniu t (po kursie zamknięcia). Tak samo możemy wyliczać stopy zwrotu od-

powiadające dowolnemu okresowi. 

 

Stopa zwrotu z akcji w każdym okresie zależy oczywiście od sytuacji na rynku i w związku 

możemy 

t

r  traktować jako zmienne losowe. Często przyjmuje się i tak będzie w tym przykła-

dzie, że stopy zwrotu ze wszystkich dni są zmiennymi losowymi o takim samym rozkładzie. 

W takiej sytuacji wartość oczekiwaną zmiennej 

t

r  traktujemy jako prognozę stopy zwrotu w 

okresie t (oczekiwaną stopę zwrotu), a odchylenie standardowe zmiennej 

t

r  opisujące rozpro-

szenie realizacji traktujemy jako miarę ryzyka inwestycji. 

 

Oczywiście najlepiej byłoby inwestować w akcje o wysokiej oczekiwanej stopie zwrotu i ma-

łym ryzyku (odchyleniu standardowym). Niestety na ogół wysokiej oczekiwanej stopie zwro-

tu towarzyszy wysokie ryzyko. Jeżeli chcemy je ograniczyć powinniśmy dokonać dywersyfi-

kacji naszej inwestycji, czyli stworzyć portfel złożony z pewnej ilości różnych akcji, których 

ceny zachowują się w odmienny sposób. W punkcie 3 zobaczymy, co to znaczy. 

 

2.  Oczekiwana stopa zwrotu z portfela 

 

Załóżmy, że zakupiliśmy pewne ilości n  różnych akcji i stopy zwrotu z tych akcji w pewnym 

okresie oznaczmy: 

n

r

r

r

,

,

,

2

1



. Wtedy stopa zwrotu z portfela w tym okresie wyraża się wzo-

rem 

2 

 

(D1.2)                       

n

n

p

r

w

r

w

r

w

r











2

2

1

1

, 

gdzie 

n

w

w

w

,

,

,

2

1



 są udziałami poszczególnych akcji w wartości portfela, czyli 

1

0





i

w

 

oraz 

1

1







n

i

i

w

.  

 

3.  Ryzyko portfela. 

 

Ryzyko portfela mierzymy, podobnie jak to było w przypadku akcji, jako odchylenie standar-

dowe  stopy  zwrotu.  Zauważmy,  że  zgodnie  ze  wzorem  (D1.2)  stopa  zwrotu  z  portfela  jest 

zmienną losową, będącą sumą zmiennych losowych 

i

i

r

w . Przy tym wariancja zmiennej loso-

wej 

i

i

r

w  jest równa: 

2

2

2

)

var(

)

var(

i

i

i

i

i

i

w

r

w

r

w







. 

Korzystając  z  twierdzenia  (4.25)  możemy  wyliczyć  wariancję  (a  następnie  odchylenie  stan-

dardowe) stopy zwrotu portfela: 

)

,

cov(

2

)

var(

)

var(

)

var(

)

var(

1

2

2

1

1

j

j

i

i

n

j

i

n

n

P

r

w

r

w

r

w

r

w

r

w

r





















, 

co po wykorzystaniu własności wariancji i kowariancji daje wzór: 

(D1.3)      

)

,

cov(

2

)

var(

1

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

j

i

n

j

i

j

i

n

n

P

r

r

w

w

w

w

w

r



























. 

 

Widać  z  niego,  że  warunkiem  zmniejszenia  ryzyka  portfela  jest  zbudowanie  go  z  akcji  o 

ujemne skorelowanych cenach (o ujemnej kowariancji). 

 

 

 

Więcej na temat teorii portfela można znaleźć na przykład w: Jajuga K., Jajuga T. , Inwe-

stycje. 

 

  

 

 

3 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4