7.3. Wnioskowania statystyczne 

 

Sprawdzenie (weryfikowanie) hipotez statystycznych 

 

Sprawdzanie hipotez statystycznych obywa się zgodnie z następującą procedurą:  

Badacz formułuje problem, jako hipotezę. Planuje doświadczenie celem sprawdzenia 

słuszności tej hipotezy. Na przykład, wykładowca zauwaŜa, Ŝe wyniki osiągane przez stu-

dentów oraz studentki tego samego roku studiów róŜnią się; podejrzewa, Ŝe osiągnięcia 

studentów (M) są nie wyŜsze niŜ studentek (K). Takie przypuszczenie nazywa się hipotezą 

badacza lub hipotezą merytoryczną. Metody weryfikowania hipotez nazywa się testami 

istotności. Testy weryfikują nie dowolne hipotezy (hipotezy merytoryczne), lecz tzw. hipo-

tezy statystyczne.  

W doświadczeniu dotyczącym wyników studentów kaŜda z grup M, K reprezentuje 

populację; wyniki osób z grupy M stanowią jedną próbę, a z grupy K - drugą próbę. W  

przypadku obu prób hipoteza statystyczna głosi, Ŝe nie ma róŜnicy między średnimi obu 

populacji, tj. Ŝe róŜnica ta jest zerem. Stąd hipotezę tę nazywamy hipotezą zerową i ozna-

czamy symbolem H

0

. Notujemy ją następująco:   H

0

 : 

M

x

  -  

K

x

 = 0, gdzie 

M

x

  oznacza 

ś

rednią w populacji M, a  

K

x

 - średnią w populacji K. 

Charakter danych empirycznych wskazuje, z jakimi zmiennymi losowymi mamy do 

czynienia, a więc czy są to zmienne o rozkładzie normalnym, zero - jedynkowym, czy teŜ 

innym. Dlatego teŜ, przy załoŜeniu prawdziwości hipotezy statystycznej, wybieramy od-

powiednią zmienną losową. Zmienna ta jest funkcją charakterystyk prób, takich jak wiel-

kości prób n

1

 i n

2

, średnich prób 

1

x

  i 

2

x

 , wariancji prób 

2

1

S

  ,  

2

2

S

 a często takŜe niektó-

rych parametrów populacji. PoniewaŜ omawiana zmienna słuŜy do weryfikowania hipotez 

statystycznych, nazywamy ją funkcją testową. Wyznaczywszy wartości charakterystyk 

prób: średnie, wariancje itd., obliczamy wartość funkcji testowej.  

Następnym punktem w weryfikacji hipotezy statystycznej jest odczytanie z tablic 

statystycznych prawdopodobieństwa określającego, jak często występuje wartość zmiennej 

równa lub większa od wartości funkcji testowej. 

JeŜeli się okaŜe, Ŝe odczytane prawdopodobieństwo jest bardzo małe, np. równe lub 

mniejsze niŜ 0,01 = 1%, to wypowiadamy wniosek z ryzykiem błędu 1 %, Ŝe postawiona 

hipoteza statystyczna jest fałszywa.  

Znając relację między hipotezą statystyczną i merytoryczną przenosimy wniosek na 

hipotezę merytoryczną. W ten sposób otrzymujemy informację, czy hipotezę moŜna od-

rzucić z określonym ryzykiem błędu, czy teŜ nie ma podstaw do takiego wniosku. Ten 

ostatni przypadek zachodzi wówczas, gdy odczytane prawdopodobieństwo przekracza 5%, 

a więc gdy wynosi 10%, 25% itd.  

 

 

Test istotności  t Studenta dla róŜnicy dwóch średnich normalnych 

 

Niech będą dane dwie próby pobrane losowo z dwu populacji normalnych odpo-

wiednio ze średnimi 

1

x

  i 

2

x

 oraz taką samą wariancją 

2

S

, czyli  Y

1

 – N(

1

x

, S) ,  Y

2

 – 

N(

2

x

, S). Czytamy to tak: zmienna losowa Y

1

ma rozkład normalny ze średnią  

1

x

 i od-

chyleniem standardowym S i zmienna losowa Y

2

 ma rozkład normalny ze średnią 

2

x

 i 

odchyleniem standardowym S. Parametry 

1

x

 ,  

2

x

,  S są stałe i nieznane. 

 

Niech n oznacza ilość obserwacji w pierwszej próbie, a m ilość obserwacji w dru-

giej próbie. Wyniki uzyskane z doświadczenia obejmują łącznie n +  m obserwacji. 

 

Próba   Zmienna 

losowa 

Ś

rednia 

populacji 

Wyniki doświadczalne 

Ś

rednia 

próby 

Wariancja 

próby 

1 

2 

Y

1

  

Y

2

 

1

x

  

2

x

 

11

y

, 

12

y

,  

13

y

 , … ,  

n

y

1

 

21

y

, 

22

y

,  

23

y

 , … ,  

m

y

2

 

1

y

 

1

y

 

2

1

S

 

2

2

S

 

 

Dla zweryfikowania hipotezy zerowej głoszącej, Ŝe nie na róŜnicy między średnimi 

w obu populacjach uŜywamy zmiennej losowej t Studenta zdefiniowanej tak: 

                                                     t  =  













+

−

+

+

−

−

−

m

n

m

n

mS

nS

x

x

y

y

1

1

2

)

(

2

2

2

1

2

1

2

1

 

 W przypadku prawdziwości hipotezy zerowej H

0

 : 

1

x

  -  

2

x

 = 0 zmienna ta przybiera 

postać funkcji testowej dla 

ν

 = n +  m – 2 stopni swobody:  

                                                   t

0

  =  













+

−

+

+

−

m

n

m

n

mS

nS

y

y

1

1

2

2

2

2

1

2

1

 , gdzie 

1

y

, 

1

y

 oznaczają śred-

nie w pierwszej i drugiej próbie, a 

2

1

S

,  

2

2

S

 są wariancjami pierwszej i drugiej próby.  

Ilość stopni swobody wskazuje ten wiersz tablicy t Studenta, z którego przy obranym 

ryzyku błędu, np. 

α

 = 0,05 lub 

α

 = 0,01 odczytuje się wartość krytyczną t

0,05 

 lub t

0,01

 . Gdy 

okaŜe się, Ŝe |t

0

| jest większe od t

0,05 

, to hipotezę zerową odrzucamy z 5% ryzykiem błędu i 

wnioskujemy o istotności róŜnicy między średnimi prób. 

 

Zadania do samodzielnego rozwiązywania 

 

Zadanie 1.  

Tabela podaje wyniki studentów M oraz studentek K z kolokwiów. 

Wyniki kolokwiów 

w procentach 

Liczba osób 

grupy M 

Liczba osób 

grupy K 

0 

1 

0 

10 

2 

2 

20 

4 

2 

30 

2 

3 

40 

5 

5 

50 

4 

5 

60 

5 

4 

70 

3 

2 

80 

0 

1 

90 

2 

0 

100 

2 

1 

liczebność 

30 

25 

ś

rednia 

 

 

wariancja 

 

 

 

a)

 

Zbuduj tabelę rozkładu częstości prób M, K. 

b)

 

Oblicz średnie i wariacje prób M, K. 

c)

 

Narysuj histogramy obu szeregów. 

d)

 

Sformułuj hipotezę zerową dotyczącą wyników osiąganych przez studentów i 

studentki. 

e)

 

Zbadaj tekstem t Studenta istotność róŜnicy między średnimi obu prób na pozio-

mie 0,05. Sformułuj odpowiedni wiosek merytoryczny.