Ciągi liczbowe
Określenie ciągu liczbowego
Ciąg liczbowy (krótko: ciąg) jest to przyporządkowanie
każdej liczbie naturalnej dokładnie jednej liczby
rzeczywistej.
Liczbę przyporządkowaną liczbie naturalnej n nazywamy
n-tym wyrazem ciągu i oznaczamy
n
a
.
Cały ciąg oznaczamy
)
(
n
a
albo
,...)
,
,
(
3
2
1
a
a
a
.
Przykład. Rozważmy ciąg
)
(
n
a
, gdzie
1
3
1
2
n
n
a
n
.
Podamy trzy początkowe wyrazy tego ciągu:
8
7
1
3
3
1
3
2
,
1
5
5
1
2
3
1
2
2
,
2
3
1
1
3
1
1
2
3
2
1
a
a
a
itd., np.
299
201
1
100
3
1
100
2
100
a
Własności ciągów
Ciąg
)
(
n
a
nazywamy rosnącym, gdy każdy wyraz tego
ciągu jest mniejszy od wyrazu następnego, tzn. gdy dla
każdego n zachodzi nierówność:
0
1
n
n
a
a
.
Ciąg
)
(
n
a
nazywamy malejącym, gdy każdy wyraz tego
ciągu jest większy od wyrazu następnego, tzn. gdy dla
każdego n zachodzi nierówność:
0
1
n
n
a
a
.
Ciąg
)
(
n
a
nazywamy monotonicznym, gdy jest on
rosnący lub jest on malejący.
Uwaga. Nie każdy ciąg jest monotoniczny, np. ciąg
(0,1,0,1,0,1,…) nie jest monotoniczny.
Przykład. Zbadaj monotoniczność ciągu
)
(
n
a
określonego
wzorem
1
3
1
2
n
n
a
n
.
Rozwiązanie.
2
3
3
2
1
)
1
(
3
1
)
1
(
2
1
n
n
n
n
a
n
, zatem:
1
3
1
2
2
3
3
2
1
n
n
n
n
a
a
n
n
)
1
3
)(
2
3
(
)
2
3
)(
1
2
(
)
1
3
)(
3
2
(
n
n
n
n
n
n
)
1
3
)(
2
3
(
2
3
4
6
3
9
2
6
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
0
)
1
3
)(
2
3
(
5
n
n
. Ciąg jest malejący.
Własności ciągów c.d.
Ciąg
)
(
n
a
nazywamy niemalejącym, gdy dla każdego n
zachodzi nierówność:
0
1
n
n
a
a
.
Ciąg
)
(
n
a
nazywamy nierosnącym, gdy dla każdego n
zachodzi nierówność:
0
1
n
n
a
a
.
Ciąg
)
(
n
a
nazywamy słabo monotonicznym, gdy jest on
nierosnący lub jest on niemalejący.
Przykład. Ciąg: (1,1,2,2,3,3,4,4,…) nie jest ciągiem
monotonicznym, gdyż nie jest on rosnący i nie jest
malejący. Jest to ciąg słabo monotoniczny, gdyż jest
niemalejący.
Własności ciągów c.d.
Ciąg
)
(
n
a
nazywamy stałym, gdy dla każdego n zachodzi
równość:
0
1
n
n
a
a
.
Ciąg stały jest zarówno niemalejący jak i nierosnący.
Ciąg
)
(
n
a
nazywamy ograniczonym z góry, gdy istnieje
liczba M, która jest większa od każdego wyrazu tego
ciągu.
Ciąg
)
(
n
a
nazywamy ograniczonym z dołu, gdy istnieje
liczba m, która jest mniejsza od każdego wyrazu tego
ciągu.
Ciąg
)
(
n
a
nazywamy ograniczonym, gdy jest on
ograniczony z dołu i z góry.
Przykłady.
Ciąg (9 9,9 9,99 9,999 9,9999 …) jest ograniczony
(i z dołu i z góry)
Ciąg (9 99 999 9999 99999 …) jest ograniczony z
dołu, ale nie jest ograniczony z góry.
Ciąg
...)
99999
9999
999
99
9
(
nie jest
ograniczony ani z dołu, ani z góry.
Otoczenie liczby
Otoczeniem liczby g o promieniu
nazywamy przedział
)
;
(
g
g
.
Otoczenie plus nieskończoności
Otoczeniem plus nieskończoności nazywamy każdy
przedział
)
;
(
A
gdzie
A
jest dowolną liczbą.
Otoczeniem minus nieskończoności nazywamy każdy
przedział
)
;
(
A
gdzie
A
jest dowolną liczbą.
Prawie wszystkie wyrazy ciągu
Dany jest ciąg
)
(
n
a
i pewna własność W dotycząca
wyrazów tego ciągu. Zdanie „Prawie wszystkie wyrazy
ciągu
)
(
n
a
mają własność W” oznacza, że tej własności
może nie mieć co najwyżej skończona liczba wyrazów
tego ciągu.
Przykład 1.
Dany jest ciąg
,...)
10
,
8
,
6
,
4
,
2
(
.
Prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są większe niż 15 (bo
tylko 7 początkowych wyrazów nie jest).
Przykład 2.
Dany jest ciąg
...)
,
0
,
1
,
0
,
1
,
0
,
1
,
0
(
.
Nie jest prawdą, że prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są
równe zero, gdyż warunku tego nie spełnia nieskończenie
wiele wyrazów tego ciągu.
Określenie granicy ciągu
Mówimy, że ciąg
)
(
n
a
ma granicę g jeżeli do każdego
otoczenia
g należą prawie wszystkie wyrazy tego ciągu.
Piszemy:
g
a
n
n
lim
.
Uwaga.
g może być to liczba albo
albo
Przykład. Rozważmy ciąg określony wzorem
n
a
n
1
,
czyli ciąg:
...
,
6
1
,
5
1
,
4
1
,
3
1
,
2
1
,
1
.
Ciąg ten ma granicę równą zero, gdyż do każdego
otoczenia zera (czyli przedziału
)
;
(
) należą prawie
wszystkie wyrazy tego ciągu.
Fakt ten zapisujemy:
0
1
lim
n
n
Przykład. Rozważmy ciąg określony wzorem
n
a
n
,
czyli ciąg:
...
,
6
,
5
,
2
,
3
,
2
,
1
.
Ciąg ten ma granicę równą nieskończoność, gdyż do
każdego otoczenia nieskończoności (czyli przedziału
)
;
(
A
) należą prawie wszystkie wyrazy tego ciągu.
Fakt ten zapisujemy:
n
n
lim
Przykład. Rozważmy ciąg określony wzorem
n
n
a
)
1
(
,
czyli ciąg:
...
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
.
Ciąg ten nie ma żadnej granicy – ani skończonej, ani
nieskończonej;
n
n
1
lim
nie istnieje.
Ciąg zbieżny, ciąg rozbieżny
Ciąg
)
(
n
a
nazywamy zbieżnym, gdy ma on granicę i ta
granica jest liczbą.
Ciąg
)
(
n
a
nazywamy rozbieżnym, gdy ma on granicę
nieskończoną lub gdy granica tego ciągu nie istnieje.
Rachunek granic skończonych
Jeżeli ciągi
)
(
n
a
i
)
(
n
b
są zbieżne i
R
c
, to ciągi:
)
/
(
),
(
),
(
),
(
),
(
n
n
n
n
n
n
n
n
n
b
a
b
a
b
a
b
a
a
c
są zbieżne
(ten ostatni przy dodatkowym założeniu:
0
n
b
dla
N
n
i
0
lim
n
n
b
).
Ponadto:
1.
n
n
n
n
a
c
a
c
lim
)
(
lim
2.
n
n
n
n
n
n
n
b
a
b
a
lim
lim
)
(
lim
3.
n
n
n
n
n
n
n
b
a
b
a
lim
lim
)
(
lim
4.
n
n
n
n
n
n
n
b
a
b
a
lim
lim
)
(
lim
5.
n
n
n
n
n
n
n
b
a
b
a
lim
lim
lim
Przykład. Obliczymy
0
0
0
5
1
lim
1
lim
5
1
1
lim
5
1
lim
5
1
5
lim
5
lim
)
4
(
2
)
1
(
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
W podobny sposób można wykazać, że:
0
lim
k
n
n
c
dla
R
c
i
0
k
Tę granicę trzeba zapamiętać!
Rachunek granic nieskończonych – symbole oznaczone
Jeżeli
n
n
a
lim
i
n
n
b
lim
, to
)
(
lim
n
n
n
b
a
.
Zapis symboliczny:
.
Dalsze twierdzenia podamy w tym zapisie:
,
0
c
,
c
,
0
0
c
gdy
c
gdy
c
Rachunek granic nieskończonych – symbole
nieoznaczone
Przykład. Rozważmy ciągi:
)
1
(
1
),
1
(
1
),
1
(
1
2
2
n
n
c
n
n
b
n
n
a
n
n
n
Każdy z tych ciągów jest iloczynem ciągu zbieżnego do
zera i ciągu rozbieżnego do plus nieskończoności (czyli:
jest symbolem
0
).
Obliczmy granice tych ciągów:
1
0
1
1
1
lim
1
lim
)
1
(
1
lim
lim
n
n
n
n
n
a
n
n
n
n
n
0
1
lim
1
lim
)
1
(
1
lim
lim
2
2
n
n
n
n
n
n
b
n
n
n
n
n
0
0
0
1
1
lim
1
lim
)
1
(
1
lim
lim
2
2
2
n
n
n
n
n
n
c
n
n
n
n
n
W każdym przypadku otrzymaliśmy inny wynik! Oznacza
to, że bez dodatkowych badań nie można wnioskować o
symbolu
0
. Jest to tzw. symbol nieoznaczony.
Inne symbole nieoznaczone:
,
1
,
0
,
,
0
0
,
0
0
Przykład. Oblicz granicę:
4
7
5
3
lim
2
2
n
n
n
n
Rozwiązanie. Ta granica jest symbolem nieoznaczonym
. Podzielimy licznik i mianownik przez
2
n :
2
2
2
2
2
2
4
7
5
3
lim
4
7
5
3
lim
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
7
3
0
7
0
3
4
7
5
3
lim
2
n
n
n
Przykład. Oblicz granicę:
n
n
n
n
3
lim
2
Rozwiązanie. Ta granica jest symbolem nieoznaczonym
. Pomnożymy i podzielimy dane wyrażenie przez
wyrażenie sprzężone:
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
3
)
3
(
)
3
(
lim
3
lim
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
3
1
3
lim
)
3
1
(
3
lim
2
2
2
2
3
1
3
1
3
lim
)
1
3
1
(
3
lim
n
n
n
n
n
n
Dwie ważne granice
1. Jeżeli c jest stałą dodatnią, to
1
lim
n
n
c
2.
1
lim
n
n
n
Przykład. Oblicz
n
n
n
2
5
lim
.
Rozwiązanie.
1
1
1
1
lim
lim
5
lim
)
5
(
lim
5
lim
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Monotoniczność a zbieżność
1. Jeżeli ciąg jest rosnący i ograniczony z góry, to jest
zbieżny.
2. Jeżeli ciąg jest rosnący i nie jest ograniczony z góry,
to jest rozbieżny do
.
3. Jeżeli ciąg jest malejący i ograniczony z dołu, to jest
zbieżny.
4. Jeżeli ciąg jest malejący i nie jest ograniczony z
dołu, to jest rozbieżny do
.
Liczba e
Rozpatrujemy ciąg określony wzorem:
n
n
n
a
1
1
.
Można wykazać, że jest on rosnący i ograniczony, zatem
jest zbieżny. Jego granica jest liczbą niewymierną równą
2,71828... Oznaczamy ją literą e.
e
n
n
n
1
1
lim
Inna ważna granica:
e
e
n
n
n
1
1
1
lim
1
Twierdzenie. Jeżeli
n
n
b
lim
, to:
e
b
n
b
n
n
1
1
lim
oraz
e
b
n
b
n
n
1
1
1
lim
.
Przykład. Oblicz granicę:
n
n
n
3
2
1
lim
.
Rozwiązanie
6
6
2
3
3
2
1
1
lim
2
1
1
lim
2
1
lim
e
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Przykład. Oblicz granicę:
n
n
n
n
2
5
4
lim
.
Rozwiązanie.
.
1
5
1
1
lim
5
1
1
lim
5
1
5
lim
5
4
lim
2
5
2
5
2
2
2
e
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Twierdzenie o trzech ciągach
Dane są ciągi:
)
(
n
a
,
)
(
n
b
,
)
(
n
c
takie, że dla prawie
wszystkich n jest:
n
n
n
c
b
a
.
Jeżeli ciągi
)
(
n
a
i
)
(
n
c
są zbieżne i
g
c
a
n
n
n
n
lim
lim
, to
ciąg
)
(
n
b
też jest zbieżny i
g
b
n
n
lim
Przykład. Oblicz granicę:
n
n
n
n
3
2
lim
.
Przyjmijmy:
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
c
b
a
3
3
,
3
2
,
3
Zauważmy, że dla każdego n:
n
n
n
n
n
n
n
n
3
3
3
2
3
Ponadto:
3
3
lim
n
n
n
i
3
3
1
3
2
lim
3
2
lim
3
3
lim
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Z tw. o 3-ch ciągach wynika, że
3
3
2
lim
n
n
n
n