Ciągi liczbowe

Określenie ciągu liczbowego

Ciąg liczbowy (krótko: ciąg) jest to przyporządkowanie
każdej liczbie naturalnej dokładnie jednej liczby
rzeczywistej.

Liczbę przyporządkowaną liczbie naturalnej n nazywamy
n-tym wyrazem ciągu i oznaczamy

n

a

.

Cały ciąg oznaczamy

)

(

n

a

albo

,...)

,

,

(

3

2

1

a

a

a

.

Przykład. Rozważmy ciąg

)

(

n

a

, gdzie

1

3

1

2







n

n

a

n

.

Podamy trzy początkowe wyrazy tego ciągu:

8

7

1

3

3

1

3

2

,

1

5

5

1

2

3

1

2

2

,

2

3

1

1

3

1

1

2

3

2

1







































a

a

a

itd., np.

299

201

1

100

3

1

100

2

100













a

Własności ciągów

Ciąg

)

(

n

a

nazywamy rosnącym, gdy każdy wyraz tego

ciągu jest mniejszy od wyrazu następnego, tzn. gdy dla
każdego n zachodzi nierówność:

0

1







n

n

a

a

.

Ciąg

)

(

n

a

nazywamy malejącym, gdy każdy wyraz tego

ciągu jest większy od wyrazu następnego, tzn. gdy dla
każdego n zachodzi nierówność:

0

1







n

n

a

a

.

Ciąg

)

(

n

a

nazywamy monotonicznym, gdy jest on

rosnący lub jest on malejący.

Uwaga. Nie każdy ciąg jest monotoniczny, np. ciąg
(0,1,0,1,0,1,…) nie jest monotoniczny.

Przykład. Zbadaj monotoniczność ciągu

)

(

n

a

określonego

wzorem

1

3

1

2







n

n

a

n

.

Rozwiązanie.

2

3

3

2

1

)

1

(

3

1

)

1

(

2

1



















n

n

n

n

a

n

, zatem:



















1

3

1

2

2

3

3

2

1

n

n

n

n

a

a

n

n



















)

1

3

)(

2

3

(

)

2

3

)(

1

2

(

)

1

3

)(

3

2

(

n

n

n

n

n

n























)

1

3

)(

2

3

(

2

3

4

6

3

9

2

6

2

2

n

n

n

n

n

n

n

n

0

)

1

3

)(

2

3

(

5











n

n

. Ciąg jest malejący.

Własności ciągów c.d.

Ciąg

)

(

n

a

nazywamy niemalejącym, gdy dla każdego n

zachodzi nierówność:

0

1







n

n

a

a

.

Ciąg

)

(

n

a

nazywamy nierosnącym, gdy dla każdego n

zachodzi nierówność:

0

1







n

n

a

a

.

Ciąg

)

(

n

a

nazywamy słabo monotonicznym, gdy jest on

nierosnący lub jest on niemalejący.

Przykład. Ciąg: (1,1,2,2,3,3,4,4,…) nie jest ciągiem
monotonicznym, gdyż nie jest on rosnący i nie jest
malejący. Jest to ciąg słabo monotoniczny, gdyż jest
niemalejący.

Własności ciągów c.d.

Ciąg

)

(

n

a

nazywamy stałym, gdy dla każdego n zachodzi

równość:

0

1







n

n

a

a

.

Ciąg stały jest zarówno niemalejący jak i nierosnący.

Ciąg

)

(

n

a

nazywamy ograniczonym z góry, gdy istnieje

liczba M, która jest większa od każdego wyrazu tego
ciągu.

Ciąg

)

(

n

a

nazywamy ograniczonym z dołu, gdy istnieje

liczba m, która jest mniejsza od każdego wyrazu tego
ciągu.

Ciąg

)

(

n

a

nazywamy ograniczonym, gdy jest on

ograniczony z dołu i z góry.

Przykłady.

Ciąg (9 9,9 9,99 9,999 9,9999 …) jest ograniczony
(i z dołu i z góry)

Ciąg (9 99 999 9999 99999 …) jest ograniczony z
dołu, ale nie jest ograniczony z góry.

Ciąg

...)

99999

9999

999

99

9

(





nie jest

ograniczony ani z dołu, ani z góry.

Otoczenie liczby

Otoczeniem liczby g o promieniu



nazywamy przedział

)

;

(









g

g

.

Otoczenie plus nieskończoności

Otoczeniem plus nieskończoności nazywamy każdy
przedział

)

;

(



A

gdzie

A

jest dowolną liczbą.

Otoczeniem minus nieskończoności nazywamy każdy
przedział

)

;

(

A



gdzie

A

jest dowolną liczbą.

Prawie wszystkie wyrazy ciągu

Dany jest ciąg

)

(

n

a

i pewna własność W dotycząca

wyrazów tego ciągu. Zdanie „Prawie wszystkie wyrazy
ciągu

)

(

n

a

mają własność W” oznacza, że tej własności

może nie mieć co najwyżej skończona liczba wyrazów
tego ciągu.

Przykład 1.

Dany jest ciąg

,...)

10

,

8

,

6

,

4

,

2

(

.

Prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są większe niż 15 (bo
tylko 7 początkowych wyrazów nie jest).

Przykład 2.

Dany jest ciąg

...)

,

0

,

1

,

0

,

1

,

0

,

1

,

0

(

.

Nie jest prawdą, że prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są
równe zero, gdyż warunku tego nie spełnia nieskończenie
wiele wyrazów tego ciągu.

Określenie granicy ciągu

Mówimy, że ciąg

)

(

n

a

ma granicę g jeżeli do każdego

otoczenia

g należą prawie wszystkie wyrazy tego ciągu.

Piszemy:

g

a

n

n







lim

.

Uwaga.

g może być to liczba albo





albo





Przykład. Rozważmy ciąg określony wzorem

n

a

n

1



,

czyli ciąg:













...

,

6

1

,

5

1

,

4

1

,

3

1

,

2

1

,

1

.

Ciąg ten ma granicę równą zero, gdyż do każdego
otoczenia zera (czyli przedziału

)

;

(







) należą prawie

wszystkie wyrazy tego ciągu.

Fakt ten zapisujemy:

0

1

lim







n

n

Przykład. Rozważmy ciąg określony wzorem

n

a

n



,

czyli ciąg:





...

,

6

,

5

,

2

,

3

,

2

,

1

.

Ciąg ten ma granicę równą nieskończoność, gdyż do
każdego otoczenia nieskończoności (czyli przedziału

)

;

(



A

) należą prawie wszystkie wyrazy tego ciągu.

Fakt ten zapisujemy:









n

n

lim

Przykład. Rozważmy ciąg określony wzorem

n

n

a

)

1

(





,

czyli ciąg:





...

,

1

,

1

,

1

,

1

,

1

,

1







.

Ciąg ten nie ma żadnej granicy – ani skończonej, ani
nieskończonej;

 

n

n

1

lim







nie istnieje.

Ciąg zbieżny, ciąg rozbieżny

Ciąg

)

(

n

a

nazywamy zbieżnym, gdy ma on granicę i ta

granica jest liczbą.

Ciąg

)

(

n

a

nazywamy rozbieżnym, gdy ma on granicę

nieskończoną lub gdy granica tego ciągu nie istnieje.

Rachunek granic skończonych

Jeżeli ciągi

)

(

n

a

i

)

(

n

b

są zbieżne i

R

c



, to ciągi:

)

/

(

),

(

),

(

),

(

),

(

n

n

n

n

n

n

n

n

n

b

a

b

a

b

a

b

a

a

c









są zbieżne

(ten ostatni przy dodatkowym założeniu:

0



n

b

dla

N

n



i

0

lim







n

n

b

).

Ponadto:

1.

n

n

n

n

a

c

a

c















lim

)

(

lim

2.

n

n

n

n

n

n

n

b

a

b

a



















lim

lim

)

(

lim

3.

n

n

n

n

n

n

n

b

a

b

a



















lim

lim

)

(

lim

4.

n

n

n

n

n

n

n

b

a

b

a



















lim

lim

)

(

lim

5.

n

n

n

n

n

n

n

b

a

b

a



























lim

lim

lim

Przykład. Obliczymy

0

0

0

5

1

lim

1

lim

5

1

1

lim

5

1

lim

5

1

5

lim

5

lim

)

4

(

2

)

1

(

2

2



























 



















 







































n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

W podobny sposób można wykazać, że:

0

lim



















k

n

n

c

dla

R

c



i

0



k

Tę granicę trzeba zapamiętać!

Rachunek granic nieskończonych – symbole oznaczone

Jeżeli









n

n

a

lim

i









n

n

b

lim

, to











)

(

lim

n

n

n

b

a

.

Zapis symboliczny:











.

Dalsze twierdzenia podamy w tym zapisie:











,

0





c

,









c

,























0

0

c

gdy

c

gdy

c

Rachunek granic nieskończonych – symbole
nieoznaczone

Przykład. Rozważmy ciągi:

)

1

(

1

),

1

(

1

),

1

(

1

2

2



















n

n

c

n

n

b

n

n

a

n

n

n

Każdy z tych ciągów jest iloczynem ciągu zbieżnego do
zera i ciągu rozbieżnego do plus nieskończoności (czyli:
jest symbolem





0

).

Obliczmy granice tych ciągów:

1

0

1

1

1

lim

1

lim

)

1

(

1

lim

lim

















 































n

n

n

n

n

a

n

n

n

n

n





















 































0

1

lim

1

lim

)

1

(

1

lim

lim

2

2

n

n

n

n

n

n

b

n

n

n

n

n

0

0

0

1

1

lim

1

lim

)

1

(

1

lim

lim

2

2

2

















 































n

n

n

n

n

n

c

n

n

n

n

n

W każdym przypadku otrzymaliśmy inny wynik! Oznacza
to, że bez dodatkowych badań nie można wnioskować o
symbolu





0

. Jest to tzw. symbol nieoznaczony.

Inne symbole nieoznaczone:







,









1

,

0

,

,

0

0

,

0

0

Przykład. Oblicz granicę:

4

7

5

3

lim

2

2









n

n

n

n

Rozwiązanie. Ta granica jest symbolem nieoznaczonym





. Podzielimy licznik i mianownik przez

2

n :





















2

2

2

2

2

2

4

7

5

3

lim

4

7

5

3

lim

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

7

3

0

7

0

3

4

7

5

3

lim

2

















n

n

n

Przykład. Oblicz granicę:





n

n

n

n







3

lim

2

Rozwiązanie. Ta granica jest symbolem nieoznaczonym







. Pomnożymy i podzielimy dane wyrażenie przez

wyrażenie sprzężone:



































n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

3

)

3

(

)

3

(

lim

3

lim

2

2

2

2



























n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

3

1

3

lim

)

3

1

(

3

lim

2

2

2

2

3

1

3

1

3

lim

)

1

3

1

(

3

lim

























n

n

n

n

n

n

Dwie ważne granice

1. Jeżeli c jest stałą dodatnią, to

1

lim







n

n

c

2.

1

lim







n

n

n

Przykład. Oblicz

n

n

n

2

5

lim



.

Rozwiązanie.

1

1

1

1

lim

lim

5

lim

)

5

(

lim

5

lim

2











































n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

Monotoniczność a zbieżność

1. Jeżeli ciąg jest rosnący i ograniczony z góry, to jest

zbieżny.

2. Jeżeli ciąg jest rosnący i nie jest ograniczony z góry,

to jest rozbieżny do





.

3. Jeżeli ciąg jest malejący i ograniczony z dołu, to jest

zbieżny.

4. Jeżeli ciąg jest malejący i nie jest ograniczony z

dołu, to jest rozbieżny do





.

Liczba e

Rozpatrujemy ciąg określony wzorem:

n

n

n

a











 



1

1

.

Można wykazać, że jest on rosnący i ograniczony, zatem
jest zbieżny. Jego granica jest liczbą niewymierną równą
2,71828... Oznaczamy ją literą e.

e

n

n

n













 



1

1

lim

Inna ważna granica:

e

e

n

n

n

1

1

1

lim

1















 





Twierdzenie. Jeżeli









n

n

b

lim

, to:

e

b

n

b

n

n



















1

1

lim

oraz

e

b

n

b

n

n

1

1

1

lim



















.

Przykład. Oblicz granicę:

n

n

n

3

2

1

lim











 





.

Rozwiązanie

6

6

2

3

3

2

1

1

lim

2

1

1

lim

2

1

lim

e

n

n

n

n

n

n

n

n

n

























































































 













Przykład. Oblicz granicę:

n

n

n

n

2

5

4

lim





















.

Rozwiązanie.

.

1

5

1

1

lim

5

1

1

lim

5

1

5

lim

5

4

lim

2

5

2

5

2

2

2



























































































































e

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

Twierdzenie o trzech ciągach

Dane są ciągi:

)

(

n

a

,

)

(

n

b

,

)

(

n

c

takie, że dla prawie

wszystkich n jest:

n

n

n

c

b

a





.

Jeżeli ciągi

)

(

n

a

i

)

(

n

c

są zbieżne i

g

c

a

n

n

n

n













lim

lim

, to

ciąg

)

(

n

b

też jest zbieżny i

g

b

n

n







lim

Przykład. Oblicz granicę:

n

n

n

n

3

2

lim







.

Przyjmijmy:

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

c

b

a

3

3

,

3

2

,

3











Zauważmy, że dla każdego n:

n

n

n

n

n

n

n

n

3

3

3

2

3









Ponadto:

3

3

lim







n

n

n

i

3

3

1

3

2

lim

3

2

lim

3

3

lim





























n

n

n

n

n

n

n

n

n

Z tw. o 3-ch ciągach wynika, że

3

3

2

lim









n

n

n

n