CIĄGI LICZBOWE
Definicja
Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb
rzeczywistych.
N-tym wyrazem ciągu nazywamy wartość tej funkcji dla liczby naturalnej n i oznaczamy
przez a
n
.
Ciąg o takich wyrazach oznaczamy wtedy przez (a
n
).
Zbiór wyrazów ciągu (a
n
) tj. { a
n
:
N
n
}, oznaczamy przez {a
n
}.
Ciągi można określić:
- wzorem
1
1
1
1
1
2
2
n
a
...
n
n
n
n
- rekurencyjnie
1
1
3
3
n
n
c
, c
c
- opisowo
a
n
– n-ta liczba pierwsza
Definicja
Ciąg (a
n
) jest ograniczony z dołu, jeżeli zbiór {a
n
} jest ograniczony z dołu, tzn.
m
a
n
N
n
R
m
Ciąg (a
n
) jest ograniczony z góry, jeżeli zbiór {a
n
} jest ograniczony z góry, tzn.
M
a
n
N
n
R
M
Ciąg (a
n
) jest ograniczony, jeżeli zbiór {a
n
} jest ograniczony, tzn.
M
a
m
n
N
n
R
M
m
,
Definicja
Ciąg (a
n
) jest rosnący, jeżeli
1
n
n
N
n
a
a
Ciąg (a
n
) jest niemalejący, jeżeli
1
n
n
N
n
a
a
Ciąg (a
n
) jest malejący, jeżeli
1
n
n
N
n
a
a
Ciąg (a
n
) jest nierosnący, jeżeli
1
n
n
N
n
a
a
Ciągi rosnący, malejący, niemalejący i nierosnący nazywamy ciągami monotonicznymi.
B
ADANIE MONOTONICZNOŚCI CIĄGÓW
a
n+1
- a
n
1
n
n
b
b
Ciąg
0
1
rosnący
0
1
malejący
0
1
niemalejący
0
1
nierosnący
20
Definicja
Ciąg (a
n
) ma granicę właściwą (granicę)
R
a
, wtedy i tylko wtedy, gdy
a
a
n
n
n
N
n
N
n
0
0
0
„Ciąg (a
n
) ma granicę
R
a
” zapisujemy symbolicznie w postaci równości
n
n
lim a
a
lub
n
n
a
a
.
Definicja
Ciąg (a
n
) ma granicę niewłaściwą „∞” (
n
n
lim a
), wtedy i tylko wtedy, gdy
n
N
n
N
n
a
n
n
0
0
0
Ciąg (a
n
) ma granicę niewłaściwą „– ∞” (
n
n
lim a
), wtedy i tylko wtedy, gdy
n
N
n
N
n
a
n
n
0
0
0
Ciągi, które mają granicę (właściwą lub niewłaściwą) nazywamy ciągami zbieżnymi.
Ciągi, które nie mają granicy właściwej ani niewłaściwej nazywamy ciągami rozbieżnymi.
Twierdzenie (o jednoznaczności granicy ciągu)
Każdy ciąg zbieżny ma dokładnie jedną granicę.
Twierdzenie (o ograniczoności ciągu zbieżnego)
Jeżeli ciąg jest zbieżny, to jest ograniczony.
Twierdzenie (o arytmetyce granic ciągów)
Jeżeli ciągi (a
n
) i (b
n
) mają granice właściwe, to:
1.
n
n
n
n
n
n
n
lim a
b
lim a
lim b
2.
n
n
n
n
n
n
n
lim a
b
lim a
lim b
3.
n
n
n
n
a
lim
c
ca
lim
4.
n
n
n
n
n
n
n
lim a b
lim a
lim b
5.
0
n
n
n
n
n
n
n
n
n
lim a
a
lim
,
lim b
b
lim b
6.
0
\
,
Z
p
a
lim
a
lim
p
n
n
p
n
n
,
7.
1
\
,
N
k
a
lim
a
lim
k
n
n
k
n
n
Twierdzenie (o trzech ciągach)
Jeżeli ciągi (a
n
), (b
n
) i (c
n
) spełniają warunki:
1.
n
n
n
a
b
c
dla każdego
0
n
n
2.
n
n
n
n
lim a
lim c
b,
to
n
n
lim b
b
.
21
Definicja
Granicę ciągu liczb
1
1
n
n
e
n
oznaczamy przez e:
1
1
n
def
n
e
lim
n
e = 2,7182818...≈ 2,72
Jeżeli
n
n
a
lim
oraz
0
n
a
dla
N
n
, to:
e
a
lim
n
a
n
n
1
1
Twierdzenie (o granicach niewłaściwych ciągów)
a
dla
a
0
a
dla
a
0
a
dla
a
0
0
a
dla
a
0
0
1
a
dla
a
1
a
dla
a
0
0
b
dla
b
0
b
dla
b
Definicja
Wyrażenia nieoznaczone:
0
0
0
0
1
0
0
,
,
,
,
,
,
.
Wartości powyższych symboli zależą od postaci ciągów je tworzących.
Literatura
1. M. Gewert, Z. Skoczylas: Analiza matematyczna 1. Definicje, twierdzenia, wzory.
2. M. Gewert, Z. Skoczylas: Analiza matematyczna 1. Przykłady i zadania.
3. W. Krysicki, L. Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach, część I.