CIĄGI LICZBOWE

Definicja

Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb
rzeczywistych.
N-tym wyrazem ciągu nazywamy wartość tej funkcji dla liczby naturalnej n (oznaczamy np. przez a

n

).

Ciąg o takich wyrazach oznaczamy przez (a

n

).

Zbiór wyrazów ciągu (a

n

) tj. { a

n

:

n  

}, oznaczamy przez {a

n

}.

Ciągi można określić:

- wzorem

1

1

1

1

1

2

2

n

a

...

n

n

n

n















,

2

2

n

n

dla n parzystych

b

n dla n nieparzystych



 



- rekurencyjnie

1

1

3

3

n

n

c

, c

c







,

1

2

2

1

1

2

4

n

n

n

d

, d

, d

d

d













- opisowo

a

n

– n-ta liczba pierwsza,

h

n

– n-ta liczba po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym 3

Definicja

Ciąg (a

n

) jest ograniczony z dołu, jeżeli zbiór {a

n

} jest ograniczony z dołu, tzn.

n

m

n

a

m







 





Ciąg (a

n

) jest ograniczony z góry, jeżeli zbiór {a

n

} jest ograniczony z góry, tzn.

n

M

n

a

M







 





Ciąg (a

n

) jest ograniczony, jeżeli zbiór {a

n

} jest ograniczony, tzn.

n

m ,M

n

m

a

M









 





Definicja

Ciąg (a

n

) jest rosnący, jeżeli

1

n

n

n

a

a











.

Ciąg (a

n

) jest niemalejący, jeżeli

1

n

n

n

a

a











.

Uwaga
Analogicznie definiuje się ciąg malejący i nierosnący.
Ciągi rosnący, malejący, niemalejący i nierosnący nazywamy monotonicznymi.
Monotoniczność dowolnego ciągu (a

n

) możemy ustalić badając znak różnicy a

n+1

- a

n

,

a monotoniczność dowolnego ciągu (b

n

) o wyrazach dodatnich porównując iloraz

1

n

n

b

b



z 1.

a

n+1

- a

n

1

n

n

b

b



Ciąg

0



1



rosnący

0



1



malejący

0



1



niemalejący

0



1



nierosnący

2

Definicja

Ciąg (a

n

) ma granicę właściwą (granicę)

a  

, wtedy i tylko wtedy, gdy









0

0

0

n

n

n

n

n

a

a

.



























  





Ciąg, który ma granicę właściwą nazywamy ciągiem zbieżnym.

„Ciąg (a

n

) ma granicę

a  

” zapisujemy symbolicznie w postaci równości

n

n

lim a

a





lub

n

n

a

a







.

Twierdzenie (o jednoznaczności granicy ciągu)

Każdy ciąg zbieżny ma dokładnie jedną granicę.

Twierdzenie (o ograniczoności ciągu zbieżnego)

Jeżeli ciąg jest zbieżny, to jest ograniczony.

Definicja

Ciąg (a

n

) ma granicę niewłaściwą ∞ (

n

n

lim a



  ), wtedy i tylko wtedy, gdy









0

0

0

n

n

n

n

n

a

.

























  





Ciąg (a

n

) ma granicę niewłaściwą - ∞ (

n

n

lim a



  ), wtedy i tylko wtedy, gdy









0

0

0

n

n

n

n

n

a

.

























  





Uwaga
O ciągach z granicami niewłaściwymi ∞ i - ∞ mówimy, że są rozbieżne odpowiednio do ∞ lub do - ∞.

Granica właściwa ani niewłaściwa ciągu nie zależy od wartości skończenie wielu jego wyrazów.

Twierdzenie (o arytmetyce granic ciągów)

Jeżeli ciągi (a

n

) i (b

n

) mają granice właściwe, to:





n

n

n

n

n

n

n

lim a

b

lim a

lim b













,





n

n

n

n

n

n

n

lim a

b

lim a

lim b



















 



n

n

n

n

n

n

n

lim a b

lim a

lim b













,

0

n

n

n

n

n

n

n

n

n

lim a

a

lim

,

lim b

b

lim b













 





p

p

n

n

n

n

lim a

lim a

,

p











,

k

k

n

n

n

n

lim a

lim a ,

k







 

Twierdzenie (o trzech ciągach)

Jeżeli ciągi (a

n

), (b

n

) i (c

n

) spełniają warunki:

n

n

n

a

b

c





dla każdego

0

n

n



oraz

n

n

n

n

lim a

lim c

b,









to

n

n

lim b

b



 .

3

Definicja

Liczbę e definiujemy jako granicę ciągu liczb

1

1

n

n

e

n

















:

1

1

n

def

n

e

lim

n



















e = 2,7182818...≈ 2,72

Uwaga
Można również liczbę e zdefiniować następująco:

Jeżeli

0

n

n

lim a



 oraz

0

n

a 

dla

n  

, to|:





1

1

n

a

n

n

lim

a

e







Twierdzenie (o granicach niewłaściwych ciągów)

a

dla

a

   

  

 

0

a

dla

a

   



 

0

a

dla

a



  

 



0

0

a

dla

a



 



 

0

0

1

a

dla

a











1

a

dla

a



 



 

0

0

b

dla

b

 

  



0

b

dla

b

  



 

Uwaga

Równość

0

a

dla

a



  

 



(podobnie jak pozostałe równości), jest symboliczną formą zapisu

twierdzenia:

Jeżeli

n

n

lim a

a





, gdzie

0

a



 

oraz

0

n

n

lim b



 ,

0

n

b 

dla każdego

n  

, to

n

n

n

a

lim

b



  .

Wyrażenia nieoznaczone:

0

0

0

0

1

0

0

,

,

,

,

,

,





  

 





4

CIĄGI LICZBOWE

Obliczyć granice ciągów:

a)

3

2

3

2

1

lim

3

n

n

n

n

n









b)

2

2 5

10

lim

3

5

n

n

n

n









c)

1 2 ...

lim

n

n

n



 



d)

2

3

2

3

1

lim

2

4

n

n

n

n

n











e)





4

2

4

2

lim

n

n

n

n

n









f)





2

lim

16

5

4

4

n

n

n

n









g)





2

2

lim

2

7

13

2

n

n

n

n

n





 





h)





2

2

lim

2

1

2

n

n

n

n







 















i)

2

2

5

lim

2

n

n

n

n

n



 





j)

2

2

2

2

3

lim

1

n

n

n

n

n

n



 







k)

2

lim

4

5

2

n

n

n







 





l)

2

1

lim

5

n

n

n







m)





2

lim

5

n

n

n

n







n)





3

4

3

lim

3

1

n

n

n

n

n











o)

2

3

1

1

3

3 4

lim

1

9

6 4

5

n

n

n

n

n









 



 

p)

2

3

2

3

lim

5 3 4

n

n

n







 

r)

lim 2

3

6

n

n

n

n

n













s)

2

2

2

1

1

1

lim

...

1

2

n

n

n

n

n

n







































t)

5 8

4

2

lim

4

3

n

n

n

n





















u)

2

3 2

7

lim

9

n n

n

n

n























v)

9

7

2

2

3

2

lim

3

1

n

n

n

n

n





















w)

5

2

2

2

5

lim

3

n

n

n

n

n

n























y)

2

2

2

1

lim

1

n

n

n

n

n

n







 





 





z)

2

6

3

2

5

lim

2

1

n

n

n

n





















aa)

2

2

2

lim

1

n

n

n

n





















bb)

1

lim

1

n

n

n

n



















cc)

3

lim

1

n

n

n

n



















dd)

6

3

5

lim

3

n

n

n

n





















ee)

3

2

lim

2

1

n

n

n

n



















ff)

2

3

lim

2

1

n

n

n

n



















gg)

7

lim ln

n

n

n

n

































hh)













2

2

1

ln

4

ln

10

lim

1





 



 



n

n

n

n

n

n

Dane są ciągi: {a

n

}, {b

n

}, gdzie

3

2

3







n

n

n

a

n

,

n

b

n

2

...

4

2









. Obliczyć granicę

n

n

n

b

a







lim

.