Zmiana bazy przestrzeni wektorowej
Definicja 1.
(
B
e
B
)
(
)
1
2
1
2
, , ,
( , ,..., )
'
', ',..., '
n
n
X K
e
e
e e
e
+ ⋅
=
=
- nowa baza
- stara baza
- przestrzeń wektorowa nad ciałem K
Macierzą przejścia P od B do B’ nazywamy macierz odwzorowania
Identycznościowego przestrzeni X w siebie wyjściowo traktowanej z
bazą B’, a docelowo z bazą B
'
P
B
B
→
IdX
(
)
',
IdX
P M
B B
=
X
B’
X
B
WNIOSEK:
( )
[
]
( )
[
]
( )
[
]
1
1
11 1
21 2
1
11
21
1
2
2
12 1
22 2
2
12
22
2
1
1
2
2
1
2
'
'
...
...
'
'
...
...
'
'
...
...
n
n
n
B
n
n
n
B
n
n
n
n
nn n
n
n
nn B
e
e
a e
a e
a e
a
a
a
e
e
a e
a e
a e
a
a
a
e
e
a e
a e
a e
a
a
a
=
=
+
+ +
=
+
+ +
=
=
+
+ +
=
+
+ +
=
=
+
+ +
=
+
+ +
IdX
IdX
IdX
11
12
1
21
22
2
1
2
n
n
n
n
nn
a
a
a
a
a
a
P
a
a
a
=
…
…
…
Pierwszą kolumnę macierzy przejścia stanowią współrzędne pierwszego
wektora nowej bazy względem starej bazy.
Drugą kolumnę macierzy przejścia stanowią współrzędne drugiego
wektora nowej bazy względem starej bazy.
n-tą kolumnę macierzy przejścia stanowią współrzędne n-tego wektora
nowej bazy względem starej bazy.
Przykład 1.
(
)
dim
B
e
B
e
- prze
(
)
1
2
3
1
2
3
, , ,
3
( , , )
'
', ',
X K
X
e e
e e
+ ⋅
=
=
=
str
- nowa b
'
aza
- stara baza
zeń wektorowa
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 1 z 5
Część 8 - Zmiana bazy
e
e
e
e
e
e
Sprawdzamy, ze B’ jest bazą:
1
1
2
1
2
3
1
2
'
'
'
e
e
e
=
= +
= + +
3
(
)
(
) (
)
(
)
( )
1
2
3
1
1
2
1
2
3
1
2
'
'
' 0
0
0
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
α
β
γ
α
β
γ
α β γ
β γ
γ
+
+
=
+
+
+
+ +
=
+ +
+
+
+
=
3
e e
1
2
3
, , e
- wektory liniowo niezależne
0
0
0
α β γ
β γ
γ
+ + =
+ =
=
0
0
0
α
β
γ
=
⇒
=
=
i dimX=3, więc B’ jest bazą
e
e
e
e
e
e
WNIOSEK
[
]
[
]
[
]
1
1
2
3
2
1
2
3
2
1
2
3
' 1
0
0
1,0,0
' 1
1
0
1,1,0
' 1
1
1
1,1,1
B
B
B
e
e
e
e
e
e
=
+
+
=
=
+
+
=
=
+
+
=
1 1 1
0 1 1
0 0 1
P
=
macierz P jest macierzą nieosobliwą oraz
jest macierzą
odwrotną
P
P
1
'
B
B
−
→
1)
2)
'
B
B
→
[
] [
]
1
2
1
2
, ,...,
',
',...,
'
n
n
B
B
x
x x
x
x x
x
=
=
1
2
n
x
x
X
x
=
1
2
'
'
'
'
n
x
x
X
x
=
Na podstawie postaci macierzowej:
1
'
'
X
P X
X
P
X
−
= ⋅
⇒
=
⋅
Przykład 1’.
x e
[
] [
]
1
2
3
1
2
3
'
2
3
1, 2,3
',
', '
B
B
e
e
x x x
= −
+
= −
=
=
1
2
3
1
1 1 1
2
0 1 1
3
0 0 1
x
x
x
− =
'
'
'
1
1
2
3
2
3
3
'
'
'
'
'
2
' 3
x
x
x
x
x
x
+
+
=
+ = −
=
1
2
3
' 3
'
5
' 3
x
x
x
=
= −
=
=
−
[
]
'
3, 5,3
B
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 2 z 5
Część 8 - Zmiana bazy
Twierdzenie 1.
(o zmianie macierzy odwzorowania przy zmianie baz
przestrzeni)
(
) (
)
, , , ,
, , ,
dim
dim
X K
Y K
X
m
Y
n
+ ⋅
+ ⋅
=
=
(
)
(
)
1
1
2
1
1
2
, ,...,
'
', ',...,
'
m
m
B
e e
e
B
e e
e
=
=
bazy w X
- przestrzenie wektorowe
(
)
(
)
2
1
2
2
1
2
, ,...,
'
', ',..., '
n
n
B
l l
l
B
l l
l
=
=
bazy w Y
Z:
2
2
'
B
B
Q Q
→
=
1
1
'
B
B
P P
→
=
:
f X
Y
→
f jest odwzorowaniem liniowym
A M
(
)
(
)
1
2
1
2
,
',
'
f
f
B B
M
B B
=
=
B
T: B Q
1
A P
−
=
⋅ ⋅
Przykład 2.
(
B
e
B
e
e
e
e
e
e
e
)
(
)
(
)
1
1
2
3
1
1
2
3
1
1
2
2
2
3
3
1
2
3
, , ,
, ,
'
', ',
'
'
'
X K
e e
e e
e
e
e
e
+ ⋅
=
=
= +
= +
= + +
'
(
)
( )
(
)
2
1
2
2
1
2
1
1
2
2
1
2
, , ,
,
'
',
'
'
Y K
B
l l
B
l l
l
l
l
l
l
l
+ ⋅
=
=
= − +
= +
'
f
f
f e
( )
( )
( )
1
1
2
2
3
1
2
:
3
X
Y
e
l
l
e
l
l
→
= − +
=
= +
2
l
f
A M
B M
P
Q
B Q
(
)
(
)
1
1
2
2
1
2
1
2
'
'
1
1 0 1
,
1
3 1
',
'
1 0 1
1 1 1
0 1 1
1 1
1 1
f
f
B
B
B
B
B B
B B
A P
→
→
−
−
=
=
=
=
−
=
=
⋅ ⋅
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 3 z 5
Część 8 - Zmiana bazy
Macierz znajdujemy rozwiązując układ:
Q
1
−
1
1
2
2
1 1
1 1
x
y
x
y
−
=
1
1 1
2 2
1
1
2
2
−
−
=
Q
1 1
5 3 5
1 0 1
1 0 1
2 2
2 2 2
1 1 1
1
1
1
3 1
3 5 5
0 1 1
2
2
2 2 2
−
−
=
⋅
⋅
=
B
WNIOSEK:
(
)
f
, , ,
:
X K
X
X
+ ⋅
→
f- endomorfizm
(
)
(
)
1
1
1
1
1
1
'
,
',
'
f
f
B
B
A M
B B
B M
B B
P
→
=
=
1
1
'
B
B
1
1
'
B
B
1
B P
A P
−
=
⋅ ⋅
Definicja 2.
a) macierze nazywamy macierzami
równoważnymi
A ,
n m
n m
B
×
×
1
,
:
:
P Q nieosobliwe
B Q
A P
−
−
⇔ ∃
=
⋅ ⋅
b) macierze nazywamy macierzami
podobnymi
A ,
n n
n n
B
×
×
1
:
:
P nieosobliwa
B P
A P
−
−
⇔ ∃
=
⋅ ⋅
WNIOSEK:
1)
dwie macierze tego samego odwzorowania liniowego względem różnych
baz są równoważne
2)
dwie macierze tego samego endomorfizmu w różnych bazach są
podobne
UWAGA
Można udowodnić, że dwie macierze równoważne reprezentują to samo
odwzorowanie liniowe w odpowiednio wybranych i ustalonych
przestrzeniach i bazach, oraz że dwie macierze podobne reprezentują ten
sam endomorfizm w odpowiednio wybranych i ustalonych przestrzeniach i
bazach.
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 4 z 5
Część 8 - Zmiana bazy
Definicja 3.
Rzędem macierzy nazywamy maksymalną ilość kolumn liniowo
niezależnych (traktowanych jako wektory w przestrzeni )
A
n
K
n n
×
UWAGA
Maksymalna ilość kolumn i wierszy jest taka sama
WNIOSEK:
1) a)
A
b)
rz
=
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 5 z 5
Część 8 - Zmiana bazy
2)
A
3) a)
macierze A,B są równoważne
⇔
{ }
: rz
min ,
n m
A
n
×
≤
rz
T
A
A
r
rz
f
M
f
=
⇒
= A
m
rz
rz
A
B
=
rz
rz
A
B
⇔
=
b)
macierze są podobne
,
A
B
4)
rząd macierzy nie zmieni się, jeżeli
n n
n n
×
×
a)
macierz pomnożymy przez
α
b)
zmienimy kolejność wierszy albo kolejność kolumn
0
≠
c)
do jednego wiersza albo kolumny dodamy kombinacją liniową
pozostałych
Przykład 3.
rz
rz
1
2
1
5
1
2
1
5
1
2
1
5
rz 2
1
1
4
rz 0
3
3
6
rz 0
3
3
6
1
1
2
1
0
3
3
6
0
0
0
0
2
A
A
=
−
=
−
−
− =
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=