W

W

Y

Y

K

K

Ł

Ł

A

A

D

D

 

 

8

8

 

 

P

P

R

R

Ę

Ę

D

D

K

K

O

O

Ś

Ś

Ć

Ć

 

 

D

D

E

E

F

F

O

O

R

R

M

M

A

A

C

C

J

J

I

I

,

,

 

 

T

T

E

E

N

N

S

S

O

O

R

R

 

 

P

P

R

R

Ę

Ę

D

D

K

K

O

O

Ś

Ś

C

C

I

I

 

 

D

D

E

E

F

F

O

O

R

R

M

M

A

A

C

C

J

J

I

I

 

 

,

,

 

 

 

 

Z

Z

W

W

I

I

Ą

Ą

Z

Z

K

K

I

I

 

 

K

K

O

O

N

N

S

S

T

T

Y

Y

T

T

U

U

T

T

Y

Y

W

W

N

N

E

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

“Gallery of Fluid Motion”-M. Samimy, K.S. Breuer

 

 

 

Równanie  ruchu Cauchy’ego – Lagrange’a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

opisuje ruch dowolnego ośrodka ciągłego

. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dla płynu Pascala - płynu idealnego, w którym styczne siły 
powierzc

hniowe są równe zero – tensor zależy jedynie od 

ciśnienia 

p

 

 

 

 

dv

F

dt







 

 

Aby otrzymać równanie ruchu konkretnego ośrodka należy 

zdefiniować tensor 



 

 

 
 

 

 
 
 
 

 

 

 

 

 

 
 
 
 
 
 
 

Naszym celem będzie określenie składnika prędkości 

wynikającego z odkształcenia. Otrzymamy go odejmując od 

całkowitej prędkości ośrodka ciągłego prędkość występującą 

w ciele sztywnym. 

 

Ciało sztywne: przemieszcza się i obraca

 

Płyn: przemieszcza się, obraca i ulega 

odkształceniu

 

W rzeczywistości określenie 



 jest bardziej z

łożone.  Tensory 

naprężenia dla  ośrodków ciągłych zależą od odkształcenia 

oraz prędkości odkształcenia(deformacji).

 

Dla ciała sztywnego możemy zapisać:  
 

 

0

v t, r

v (t)

(t) r









 

 

0

v

 

 - 

prędkość ciała określająca przesunięcie  

 

r





 - 

iloczyn wektorowy prędkości kątowej 



 z wektorem 

  

przesunięcia 

r

. J

est to człon związany z obrotem.

 

 

 
Można pokazać, że dla obrotów z dowolną  prędkością 



 jest 

 
 
 

 

Rozpatrzmy teraz ruch dwu bliskich punktów materialnych w ciele 
odkształcalnym. Odległość między nimi jest znikoma, a więc 
 





i

i

v

v r

dr

v(r)

dx

x













 

rot v

2





 

0

1

v(t, r)

v

rot v r

2







 

wtedy

 

Dla 

dr 

→ 0 

możemy zaniedbać wyrazy wyższego rzędu. Wtedy 

powyższe równanie dla składowych 

k

v (r)

 

 

przyjmuje postać: 

 





k

k

k

i

i

v

v

r

dr

v (r)

dx

x











 

 
Zapiszmy to w nieco inny sposób 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

i

k

i

k

k

k

k

i

i

i

k

i

k

v

v

v

v

1

1

v (r

dr)

v

dv

v

dx

dx

2

x

x

2

x

x

























































 

Składnik związany z 

odkształceniem  

(dv

k

) 

def 

Składnik związany z 

obrotem (w nawiasie są 

składowe rotacji 

prędkości) 

(dv

k

) 

rot 

 

T

T

E

E

N

N

S

S

O

O

R

R

 

 

P

P

R

R

Ę

Ę

D

D

K

K

O

O

Ś

Ś

C

C

I

I

 

 

D

D

E

E

F

F

O

O

R

R

M

M

A

A

C

C

J

J

I

I

 

 

 

Składnik związany z odkształceniem nazywa się 

prędkością deformacji

. 

Zapiszmy go 

wektorowo z użyciem 

ten

sora prędkości deformacji: 

 

 
 
 
 

Macierz  tensora 

prędkości deformacji 

 

 

określa się następująco:

 

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tensor ten jest symetryczny bo 

ki

ik

D

D



 

 

 

 

 

 

 

def

dv

dr

 

 

k

i

ki

i

k

v

v

1

D

2

x

x

























 

T

T

E

E

N

N

S

S

O

O

R

R

 

 

P

P

R

R

Ę

Ę

D

D

K

K

O

O

Ś

Ś

C

C

I

I

 

 

O

O

B

B

R

R

O

O

T

T

U

U

 

 

 

Składnik związany z obrotem zapiszmy wektorowo z użyciem 

tensora prędkości obrotu 
 

 
 
 
 
 

Macierz  

tensora prędkości obrotu 

 

 

określa się następująco:

 

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rot

dv

dr

 

 

k

i

ki

i

k

v

v

1

O

2

x

x

























 

 

Z

Z

W

W

I

I

Ą

Ą

Z

Z

K

K

I

I

 

 

K

K

O

O

N

N

S

S

T

T

Y

Y

T

T

U

U

T

T

Y

Y

W

W

N

N

E

E

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Dla ciała sprężystego podlegającemu prawu Hooke’a tensor 



zależy od odkształceń. Tensor odkształcenia ma postać:

 

 
 
 
 
 
 

Gdzie wektor 

w

 

 to przemieszczenie. 

Płyn prosty to ośrodek ciągły, w którym tensor 

naprężenia 



 

jest funkcją tensora prędkości 

odkształcenia  

  

( )



 

k

i

ki

i

k

w

w

1

D

2

x

x

























 

 

 
 

 

 

 

 

Dla ciał o dowolnych własnościach pośrednich  można pisać:

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
Na

uka o własnościach naprężeniowo – odkształceniowych 

ośrodków ciągłych nazywa się reologią.

 

Ciało proste to takie ciało, dla którego zachodzi związek 

 

( )



 

 





, , ,

0



 

Jest to 

równanie konstytutywne

 

wiążące 



z

 

, ,

 

 

w sposób odpowiadający 

własnościom rozważanego ciała