Egzamin 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rok 2012/2013

 

 

 

Zadanie 5:

 

Dana jest gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej X: 

 

        

                 

           

  

Obliczyć P(1-

 

 

      Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej X oraz narysować jej wykres. 

Obliczyć EX, 

 

 

     

 

        . 

.

 

Rozwiązanie:

   

 

1.  Pomocniczo tworzymy wykres funkcji f(x):

 

 

        

                 

           

  

 
 

 

 

2.  Obliczamy 

       

 

    . 

 

     

 

    

 

  

 

     

 

 

 

    

 

           wiec, 

 

       

 

    

   

 

          

 

  

                                      

 
 

 

 

    

 

  

   

 
 

     

 
 

 

 

 

  

 

  

 

 
 

3.  Wyznaczamy dystrybuantę zmiennej X. 

 

Dla 

      

                                      

 

  

 

  

 

 

Dla 

          

                                        

 

 

 

  

 

  

  

 
 

 

 

+t)

 
 

=

 

 
 

 

 

    

 
 

Dla x

        

             

 

  

                                      

 

 

 

 

 

  

 

    

 
 

 

 

    

 
 

   

 
 

 

 

    

 
 

 

 
 

 

 

        

 

Dla x

          

 

F(x)=

      

 

  

                                              

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 
 

   

 
 

 

 

    

 
 

 

 
 

         

 
 

        

 

A więc: 

 

      

 

 

 

 

 

                              

 

 
 

 

 

                  

 
 

 

 

                      

                              

  

 
Wykres dystrybuanty: 
 

 

4.  Obliczenie EX. 

 

                   

 

  

                                                      

 

 

 

 

 

 

 

  

 

  

 
 

 

 

 

 
 

 

 

 

 
 

   

 
 

 

 

 

 
 

 

 

 

 
 

         

 

 

 

5.  Obliczenie 

 

 

     

 

        . 

 
 

 

 

    E 

 

-(EX

 

 

 

 

(EX

 

 

    

 

E

 

 

     

 

          

 

  

   

 

           

 

                

 

               

 

       

 

 

 

 

 

 

 

  

 

  

 
 

 

 

 

 
 

 

 

 

 
 

   

 
 

 

 

 

 
 

 

 

 

 
 

          

 
 

 

 
 

 

 

 

 

    E 

 

-(EX

 

 

 

 

 

 

    

 
 

     

 
 

 

 
 

Z własności wartości oczekiwanej:  Jeżeli istnieje D

2

X , to dla dowolnych liczb a, b 

  R   

            

D

2

(aX) = a

2

D

2

X,    D

2

(X+b) = D

2

X

 

 

 

 

        .=     

 

 =    

 
 

 

     

 

 

Autor: 

Michał P.  grupa 9 

 

29.01.2014