Kolokwium II
rok 2012/2013
Zadanie 2:
Wyznaczyć zbiór tych
R
x
, dla których szereg
1
2
2
)
3
(
n
n
n
n
x
jest zbieżny (ustalić także rodzaj
zbieżności). Podać promień zbieżności tego szeregu oraz obliczyć jego sumę wewnątrz przedziału zbieżności.
Rozwiązanie:
1) Ustalenie zbieżności szeregu:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
1
3
)
2
2
(
*
2
*
*
3
lim
2
2
2
*
3
lim
*
3
2
*
2
2
3
*
3
*
*
lim
3
2
*
2
2
3
lim
)
3
(
2
*
2
2
)
3
(
lim
)
(
)
(
lim
x
n
n
n
x
n
n
x
x
n
n
x
x
x
n
n
x
x
n
n
x
x
f
x
f
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Szereg jest zbieżny dla
1
)
(
)
(
lim
1
x
f
x
f
n
n
n
wtedy:
3
3
3
1
3
1
1
3
2
2
x
x
x
x
Dla
3
3
x
szereg jest bezwzględnie zbieżny, a dla
3
3
x
szereg jest rozbieżny.
2) Ustalenie zbieżności na krańcach przedziału:
a)
3
3
x
1
1
1
1
2
2
)
1
(
2
3
1
*
3
*
)
1
(
2
)
3
1
(
*
)
3
(
2
)
3
3
(
*
)
3
(
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Szereg naprzemienny
n
n
n
2
1
2
)
1
(
Szereg naprzemienny nie jest bezwzględnie zbieżny, sprawdzam więc zbieżność z kryterium Leibniza
0
2
1
n
a
n
ciąg malejący
0
1
2
1
lim
lim
n
a
n
n
n
Wniosek szereg jest zbieżny warunkowo dla
3
3
x
b)
3
3
x
1
1
1
1
2
2
)
1
(
2
3
1
*
3
*
)
1
(
2
)
3
1
(
*
)
3
(
2
)
3
3
(
*
)
3
(
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Szereg naprzemienny
n
n
n
2
1
2
)
1
(
Szereg naprzemienny nie jest bezwzględnie zbieżny, sprawdzam więc zbieżność z kryterium Leibniza
