Kolokwium II
rok 2012/2013
Zadanie 1 :
a) Sformułować kryterium porównawcze.
b)
Zbadać zbieżność szeregu
∑
n=1
∞
ns i n
2
2
n
t g
4
n
c) Wykazać, że :
lim
n→ ∞
a
n
=
0
jeżeli 0≤a
n
<b
n
i
lim
n→ ∞
n
√
b
n
=
0.1
Rozwiązanie:
a)
Kryterium porównawcze:
Niech dane będą szeregi
∑
n=1
∞
a
n
i
∑
n=1
∞
b
n
takie, że
∃
n
0
ϵ R
∀
n≥n
0
0≤a
n
≤b
n
. Wówczas:
-ze zbieżności szeregu
∑
n=1
∞
b
n
wynika zbieżność szeregu
∑
n=1
∞
a
n
-z rozbieżności szeregu
∑
n=1
∞
a
n
wynika rozbieżność szeregu
∑
n=1
∞
b
n
b)
Zbadać zbieżność szeregu:
c)
∑
n=1
∞
ns i n
2
2
n
t g
4
n
Badać zbieżność tego szeregu będę za pomocą kryterium porównawczego. Przydatne tu będą
zależności sinusa i tangensa:
2
π
α≤s i n α≤α d l a α∈[0 ;
π
2
]
α≤t g α≤2 α d l a α∈[ 0 ;
π
2
]
Szukam b
n
większego od naszego szeregu zgodnie z zależnościami wypisanymi na górze:
n s i n
2
2
n
t g
4
n
≤
n ∙
2
n
∙
2
n
∙
4
n
∙ 2=32∙
1
n
2
Szereg
∑
n=1
∞
1
n
2
jest harmoniczny o
α=2
co oznacza, że jest on zbieżny.
Ze zbieżności szeregu
32 ∙
∑
n=1
∞
1
n
2
wynika zbieżność szeregu
∑
n=1
∞
ns i n
2
2
n
t g
4
n
Odpowiedź do podpunktu b:
Szereg
∑
n=1
∞
ns i n
2
2
n
t g
4
n
jest zbieżny.
c) Wykazać, że :
lim
n→ ∞
a
n
=
0
jeżeli 0≤a
n
<b
n
i
lim
n→ ∞
n
√
b
n
=
0.1
